2019-2020学年黑龙江省哈尔滨四十七中八年级下期月考数学试卷（3月份）（五四学制）（word版含解析）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨四十七中八年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下面选项中的四边形不是轴对称图形的是（　　）
A． 平行四边形 B． 矩形
C． 菱形 D． 正方形
2．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是（　　）
A． B． C． D．2
3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 （　　）
A．1、2、3 B．3、4、5 C．1、1、 D．6、7、8
4．在?ABCD中，∠A：∠B＝7：2，则∠C等于（　　）
A．40° B．80° C．120° D．140°
5．如图，?ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（　　）
A．1 B．l.5 C．2 D．3
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD
7．平行四边形和矩形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AB＝5，则斜边上的中线BO长是（　　）
A．2.5 B．4 C．6 D．6.5
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）
A．32° B．64° C．77° D．87°
10．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（　　）
①△DOC是等边三角形；
②△BOE是等腰三角形；
③BC＝2AB；
④∠AOE＝150°；
⑤S△AOE＝S△COE．
A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．在?ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于　 　．
12．平行四边形的周长等于16cm，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为　 　cm．
13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝2，斜边AB的长为　 　．
14．如图，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，若S1＝9，S2＝16，则S3＝　 　．
15．如图，在?ABCD中，AB＝，AD＝4，将?ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　 　．
16．一个三角形的面积是12，则连接这个三角形各边中点围成的三角形的面积是　 　．
17．一架长为10m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端与墙的距离为6m，如果梯子顶端沿墙下滑2m，那么梯子底端将滑动　 　m．
18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝　 　．
19．在?ABCD中，AB＝5，AC＝，BC边上的高为4，则BC＝　 　．
20．在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，CD＝9，CE＝20，∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE，则线段AF的长为　 　．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣2．
22．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：
（1）在图①中画一个面积为18的正方形；
（2）在图②中画一个面积为12的菱形，并直接写出所画菱形的周长．
23．如图所示的一块地ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积．
24．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；
（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．
25．植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元，若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．
（1）求购进A、B两种树苗的单价；
（2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？
26．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD的延长线上，CF⊥AE于点F，交AD于点G．
（1）求证：AE＝CG；
（2）点H为BC延长线上一点，连接EH，∠HEF＝∠DGF，求证：∠CEH＝2∠DAE；
（3）在（2）的条件下，AB＝4，CH＝，求线段CG的长度．
27．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC落在x轴上，连接AC，AC＝4，OC＝1．
（1）求点A的坐标；
（2）点P为线段AB上一动点，连接CP，点E为CP的中点，设点P的纵坐标为t，△PEA的面积为S，求S与t的关系式；
（3）在（2）的条件下，在x轴的负半轴上取点F（﹣5，0），连接DF，点Q为线段DF上一点，连接EQ，且EQ＝AE，当△PEA的面积为3时，求线段DQ的长度．
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨四十七中八年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下面选项中的四边形不是轴对称图形的是（　　）
A． 平行四边形 B． 矩形
C． 菱形 D． 正方形
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意．
故选：A．
2．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是（　　）
A． B． C． D．2
【分析】在平面直角坐标系中找出P点，过P作PE垂直于x轴，连接OP，由P的坐标得出PE及OE的长，在直角三角形OPE中，由PE及OE的长，利用勾股定理求出OP的长，即为P到原点的距离．
【解答】解：过P作PE⊥x轴，连接OP，
∵P（﹣2，3），
∴PE＝3，OE＝2．
在Rt△OPE中，根据勾股定理得：OP2＝PE2+OE2，
∴OP＝＝，则点P在原点的距离为．
故选：B．
3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 （　　）
A．1、2、3 B．3、4、5 C．1、1、 D．6、7、8
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形；
C、∵12+12≠（）2，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
D、∵62+72≠82，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形．
故选：B．
4．在?ABCD中，∠A：∠B＝7：2，则∠C等于（　　）
A．40° B．80° C．120° D．140°
【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B＝180°，又有∠A：∠B＝7：2，可求得∠A＝140°，∴∠C＝∠A＝140°
【解答】解：∵?ABCD
∴∠A+∠B＝180°
又∵∠A：∠B＝7：2
∴∠A＝140°
∵∠C＝∠A
∴∠C＝140°，
故选：D．
5．如图，?ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（　　）
A．1 B．l.5 C．2 D．3
【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，CD∥AB，求出∠DEA＝∠EAB，求出∠DEA＝∠DAE，即可求出DE＝AD＝3，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝3，AB＝5，
∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝3，
∴EC＝CD﹣DE＝5﹣3＝2，
故选：C．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，四个角都是直角对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴A、B、C各项结论都正确，
而OA＝AD不一定成立，
故选：D．
7．平行四边形和矩形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
【分析】根据平行四边形和矩形的性质即可得出结论．
【解答】解：平行四边形的性质为：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；
矩形的性质为：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等；
故选：A．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AB＝5，则斜边上的中线BO长是（　　）
A．2.5 B．4 C．6 D．6.5
【分析】先利用勾股定理求出斜边AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出BO的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AB＝5，
∴AC＝＝＝13，
∴斜边上的中线BO＝AC＝6.5．
故选：D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）
A．32° B．64° C．77° D．87°
【分析】如图，取CF的中点T，连接DT，AT．想办法证明AC＝AF，推出∠CFA＝45°即可解决问题．
【解答】解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故选：C．
10．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（　　）
①△DOC是等边三角形；
②△BOE是等腰三角形；
③BC＝2AB；
④∠AOE＝150°；
⑤S△AOE＝S△COE．
A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个
【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得S△AOE＝S△COE可判断⑤；即可求解．
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；
故选：B．
二．填空题
11．在?ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于　70°　．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，可得：∠A＝∠C，又由∠A+∠C＝140°，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴∠C＝70°．
故答案为：70°．
12．平行四边形的周长等于16cm，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为　6　cm．
【分析】利用平行四边形的对边相等，进而得出方程求出答案即可．
【解答】解：∵平行四边形的周长为16cm，相邻两边长的比为3：1，
∴设平行四边形较短边长为x，则较长边长为3x，
由题意得：3x+x＝×16，
解得：x＝2，
∴3x＝6，
即这个平行四边形较长的边长为6cm，
故答案为：6．
13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝2，斜边AB的长为　2　．
【分析】首先证明CA＝CB＝2，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝90°﹣45°＝45°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝CB＝2，
∴AB＝＝＝2．
故答案为：2．
14．如图，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，若S1＝9，S2＝16，则S3＝　25　．
【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，代入计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
∴S3＝S1+S2＝9+16＝25，
故答案为：25．
15．如图，在?ABCD中，AB＝，AD＝4，将?ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　3　．
【分析】由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．
【解答】解：∵翻折后点B恰好与点C重合，
∴AE⊥BC，BE＝CE，
∵BC＝AD＝4，
∴BE＝2，
∴AE＝＝＝3．
故答案为：3．
16．一个三角形的面积是12，则连接这个三角形各边中点围成的三角形的面积是　3　．
【分析】连接任意三角形两边的中点得三角形的一条中位线，且三条中位线所围成的三角形与原来三角形相似，相似比为1：2，则面积的比为1：4，从而根据原三角形的面积求得小三角形的面积即可．
【解答】解：三角形的中位线所围成的三角形与原来三角形相似，
∵中位线：第三边＝1：2，
∴三条中位线所围成的三角形的面积：原来三角形的面积＝1：4，
∵三角形的面积是12，
∴连接这个三角形各边中点围成的三角形的面积是3，
故答案为：3．
17．一架长为10m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端与墙的距离为6m，如果梯子顶端沿墙下滑2m，那么梯子底端将滑动　2　m．
【分析】首先在Rt△ABO中利用勾股定理计算出AO的长，在Rt△COD中计算出DO的长，进而可得BD的长．
【解答】解：在Rt△ABO中：AO＝＝＝8（米），
∵梯子的顶端下滑了2m，
∴AC＝2米，
∴CO＝6米，
在Rt△COD中：DO＝＝＝8（米），
∴BD＝DO﹣BO＝8﹣6＝2（米），
故答案为：2．
18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝　　．
【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝5，然后根据菱形的面积公式得到?AC?BD＝DH?AB，再解关于DH的方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝?AC?BD，
S菱形ABCD＝DH?AB，
∴DH?5＝?6?8，
∴DH＝．
故答案为．
19．在?ABCD中，AB＝5，AC＝，BC边上的高为4，则BC＝　5或1　．
【分析】分两种情况，根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：分两种情况；
①如图1所示：
在?ABCD中，BC边上的高AE为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC＝＝＝2，
BE＝＝＝3，
∴BC＝BE+CE＝3+2＝5；
②如图2所示：
同①得：EC＝2，AB＝CD＝5，BE＝3，
∴BC＝BE﹣EC＝3﹣2＝1；
综上所述，BC的长为5或1，
故答案为：5或1．
20．在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，CD＝9，CE＝20，∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE，则线段AF的长为　　．
【分析】设BF与CE的交点为G，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE＝2α，由矩形的性质及直角三角形的斜边中线性质得出BH＝CH＝EH＝10，∠HBC＝∠HCB＝α，再判定EF∥BH、△EFG和△BGH均为等腰三角形，最后由勾股定理求得AF即可．
【解答】解：设BF与CE的交点为G，取CE的中点H，连接BH，如图所示：
设∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE＝2α，则∠AFB＝3α，
在矩形ABCD中有AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴△BCE为直角三角形，
∵点H为斜边CE的中点，CE＝20，
∴BH＝CH＝EH＝10，
∴∠HBC＝∠HCB＝α，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC＝3α，
∴∠GHB＝3α﹣α＝2α＝∠EFB，
∴EF∥BH，
∴∠FEG＝∠GHB
＝∠HBC+∠HCB
＝2α
＝∠EFB
＝∠GBH，
∴△EFG和△BGH均为等腰三角形，
∴BF＝EH＝10，
在矩形ABCD中，AB＝CD＝9，
由勾股定理得：
AF＝
＝
＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝?﹣
＝﹣
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝＝＝．
22．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：
（1）在图①中画一个面积为18的正方形；
（2）在图②中画一个面积为12的菱形，并直接写出所画菱形的周长．
【分析】（1）作出边长为3的正方形即可．
（2）作出对角线为4，6的菱形即可．
【解答】解：（1）如图，正方形ABCD即为所求．
（2）如图，菱形EFGH即为所求．
23．如图所示的一块地ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积．
【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【解答】解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，
又∵AC＞0，
∴AC＝5，
又∵BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，
又∵AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝30﹣6＝24m2．
24．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；
（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．
【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．
（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EDC，
∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴EF＝DE，∵AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，
∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，
∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．
25．植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元，若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．
（1）求购进A、B两种树苗的单价；
（2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？
【分析】（1）设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为y元．则由等量关系列出方程组解答即可；
（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式解答即可．
【解答】解：设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为y元，可得：，
解得：，
答：B树苗的单价为300元，A树苗的单价为200元；
（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，
可得：200a+300（30﹣a）≤8000，
解得：a≥10，
答：A种树苗至少需购进10棵．
26．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD的延长线上，CF⊥AE于点F，交AD于点G．
（1）求证：AE＝CG；
（2）点H为BC延长线上一点，连接EH，∠HEF＝∠DGF，求证：∠CEH＝2∠DAE；
（3）在（2）的条件下，AB＝4，CH＝，求线段CG的长度．
【分析】（1）证明△ADE≌△CDG（AAS），即可求解；
（2）在△AFG中，∠DGF＝∠DAE+∠AFG＝90°+∠DAE，而∠HEF＝∠HEC+∠AED＝∠HEC+∠FED＝∠HEC+90°﹣∠DAE，即可求解；
（3）在△CEH中，tan∠CEH＝＝＝＝tan∠NAK＝tan2α，在△AEK中，S△AKE＝×AD×EK＝×NK×AE，即4×2x＝NK×，求出NK，则AN＝AE﹣NE＝﹣EKcos∠AEK＝﹣2x?cos∠AED，则tan∠NAK＝＝＝，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
故AD＝CD，
∵∠GCD＝∠ADC﹣∠DGC＝90°﹣∠DGC，
∵∠EAD＝∠ADE﹣∠FGA＝90°﹣∠FGA，
而∠DGC＝∠FGA，
∴∠DCG＝∠EAD，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDG＝90°，
∴△ADE≌△CDG（AAS），
∴AE＝CG；
（2）在△AFG中，∠DGF＝∠DAE+∠AFG＝90°+∠DAE，
而∠HEF＝∠HEC+∠AED＝∠HEC+∠FED＝∠HEC+90°﹣∠DAE，
∵∠HEF＝∠DGF，
则90°+∠DAE＝∠HEC+90°﹣∠DAE，
∴∠CEH＝2∠DAE；
（3）如图，在CD上取DK＝DE，则∠EAK＝2∠EAD＝∠CEH，
过点K作KN⊥AE于点N，
设DE＝DK＝x，∠EAK＝2∠EAD＝∠CEH＝2α，则∠EAD＝α，
在△CEH中，tan∠CEH＝＝＝＝tan∠NAK＝tan2α，
在Rt△ADE中，tan∠EAD＝＝，则tan∠AED＝，则cos∠AED＝，
而AE＝，
在△AEK中，S△AKE＝×AD×EK＝×NK×AE，即4×2x＝NK×，解得NK＝，
则AN＝AE﹣NE＝﹣EKcos∠AEK＝﹣2x?cos∠AED，
则tan∠NAK＝＝＝，解得x＝﹣4（舍去）或1，
故x＝1，则AE＝＝，
由（1）知，CG＝AE＝．
27．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC落在x轴上，连接AC，AC＝4，OC＝1．
（1）求点A的坐标；
（2）点P为线段AB上一动点，连接CP，点E为CP的中点，设点P的纵坐标为t，△PEA的面积为S，求S与t的关系式；
（3）在（2）的条件下，在x轴的负半轴上取点F（﹣5，0），连接DF，点Q为线段DF上一点，连接EQ，且EQ＝AE，当△PEA的面积为3时，求线段DQ的长度．
【分析】（1）由正方形的性质得AB＝BC＝CD＝AD＝AC＝4，∠ABC＝90°，则OB＝BC﹣OC＝3，得A（3，4）；
（2）由题意得P（3，t），AP＝4﹣t，则E（1，），再由三角形面积公式求解即可；
（3）由题意得4﹣t＝3，则t＝1，得P（3，1），E（1，），由勾股定理得AE2＝，再由待定系数法求出直线DF的解析式为y＝x+5，设Q（x，x+5），如何由勾股定理得EQ2＝（1﹣x）2+（x+5﹣）2，则（1﹣x）2+（x+5﹣）2＝16，解得x＝﹣1或x＝﹣，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC＝4，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC＝4，∠ABC＝90°，
∴OB＝BC﹣OC＝4﹣1＝3，
∴A（3，4）；
（2）∵点P为线段AB上一动点，点P的纵坐标为t，
∴P（3，t），AP＝4﹣t，
∵OC＝1，
∴C（﹣1，0），
∵点E为CP的中点，
∴E（1，），
∴△PEA的面积为S＝×（4﹣t）×（3﹣1）＝4﹣t，
即S与t的关系式为S＝4﹣t；
（3）当△PEA的面积为3时，4﹣t＝3，
∴t＝1，
∴P（3，1），E（1，），
∴AE2＝（3﹣1）2+（4﹣）2＝，
由（1）得：D（﹣1，4），
设直线DF的解析式为y＝kx+b，
把D（﹣1，4），F（﹣5，0）代入得：，
解得：，
∴直线DF的解析式为y＝x+5，
设Q（x，x+5），
∵EQ2＝（1﹣x）2+（x+5﹣）2，EQ＝AE，
∴（1﹣x）2+（x+5﹣）2＝16，
整理得：2x2+7x+5＝0，
解得：x＝﹣1或x＝﹣，
即点Q的坐标为（﹣1，4）或（﹣，），
当点Q坐标为（﹣1，4）时，DQ＝0；
当点Q坐标为（﹣，）时，DQ＝＝；
综上所述，当△PEA的面积为3时，线段DQ的长度为0或．