山西省忻州市2011-2012学年高二上学期期末联考数学（文，A）试题

山西省忻州市2011-2012学年高二上学期期末联考数学（文，A）试题
注意事项：
1．考生答卷前务必用0.5mm黑色中性笔，将学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题选出答案后，填写在答题卡上；交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上的无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(CRB)＝
A．{x|x≤1} B．R
C．{x|x≥2} D．{x|x≠2}


第2题图[来
2．如图，框图表示的算法是
A．求和S＝2＋22＋…＋264
B．求和S＝1＋2＋22＋…＋263
C．求和S＝1＋2＋22＋…＋264
D．以上均不对
3．在空间直角坐标系中，点(1，2，3)关于z轴对称的点的坐标是
A．(1，－2，－3) B．(1，－2，3)
C．(－1，－2，3) D．(1，2，－3)
4．“方程ax2＋3x－1＝0有一个实根”是“a＝－”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．直线l1:mx－y＋n＝0和l2:nx－y＋m＝0垂直，且垂足为(1，2)，则m2＋n2的值为
A．10 B．9
C．7 D．6
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．相交或平行
7．已知＝3，则sin2等于
A． B． C． D．
8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为
A． B．
C．12 D．6
9．设x、y满足x＋4y＝40，且x、y都是正实数，则lgx＋lgy的最大值是
A．40 B．10
C．4 D．2
10．过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
11．若直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是
A．(0，＋1) B．(－1，＋1)
C．(－－1，－1) D．(0，－1)
12．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，，3，且四面体的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为
A．16π B．32π
C．36π D．64π
二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上)
13．下列命题中，真命题的个数有_________个．.
①；②；
③；③．
14．焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为________．
15．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小时的切线方程为_________．
16．若方程＋＝－1表示椭圆，则实数k的取值范围是_________．
三．解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上)
17．(本题满分10分)
已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a7＝7．
(1)求数列{an}的通项；
(2)求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值．
18．(本题满分12分)
已知向量＝(sinx，－cosx)，＝(cosx，cosx)，设函数f(x)＝＋．
(1)写出函数f(x)的最小正周期；
(2)若x[，]，求函数f(x)的最大值及取得最大值时对应的x的值．
19．(本题满分12分)
已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点．
(1)若正方体棱长为2，求几何体B－OCC1的体积；
(2)求证：C1O//平面AB1D1．
20．(本题满分12分)
某校从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段及各段人数：[40，50)，5人；[50，60)，10人；[60，70)，20人；[70，80)，30人；[80，90)，25人；[90，100]，10人．完成下列问题：
(1)画出频率分布直方图；
(2)从频率分布直方图估计学生数学成绩的平均数．
21．(本题满分12分)
已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0．
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数m的值．
22．（本题满分12分）
若x(0，e]，f(x)＝x－lnx，g(x)＝，其中e是自然常数．
(1)讨论f(x)的单调性，并求极小值；
(2)求证： f(x)＞g(x)＋．
忻州市20112012学年第一学期高中联考[
高二数学(文科A类)参考答案及评分标准
一．选择题(每小题5分，共60分)
BCCBD DAADB DA
二．填空题(每小题5分，共20分)
13．3 14． 15．3x－y－11＝0 16．{k|k＜－2，且k≠－4}
三．解答题(本大题共6小题，共70分)
19．(本题满分12分)
证明：(1)∵正方体棱长为2，又∵AC⊥BD，∴OB＝OC＝．
∴SOBC＝OBOC＝1． ……3分
又∵CC1⊥平面ABCD，VB－OCC＝VC－COB＝SΔOBC×CC1＝． ……6分
(2)连结A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，连结AO1， ……7分
∵ ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴A1ACC1是平行四边形．∴A1C1∥AC，且A1C1＝AC．
又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO，且O1C1＝AO．
∴AOC1O1是平行四边形． ……9分
∴C1O∥AO1，AO1面AB1D1，C1O面AB1D1． ……11分
∴C1O∥面AB1D1． ……12分
20．(本题满分12分)
解：(1)如图为频率分布直方图 ……6分
(2)学生数学成绩的平均数为：
45×0.05＋55×0.1＋×65×0.2＋75×0.3＋85×0.25
＋95×0.1＝74． ……11分
所以学生数学成绩的平均分数约为74． ……12分
21．(本题满分12分)
解：(1)原方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m. ……2分
所以5－m>0，即m＜5，∴m的取值范围是m＜5. ……4分
(2)由，得5y2－16y＋8＋m＝0． ……6分
∵＝162－4×5×(8＋m)＝96－20 m＞0，得m＜． ……7分
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝，y1＋y2＝，
所以x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16＋4y1y2－8(y1＋y2)＝． ……9分
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0． ……10分
即＋＝0，解得m＝，
又∵＜，∴m的值为． ……12分
(2)由(1)可以知道f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为1，∴f(x)min＝1．
g(x)＝． ……8分
当时，g(x)＞0，g(x)在(0，e]上单调递增， ……10分
∴g(x)max＝g(e)＝＜．
∴在(1)的条件下，f(x)＞g(x)＋． ……12分
注：各题如有其它解法可参照以上标准给分．