年 级 六年级 学 科 数学 版 本 苏教版
内容标题 比的意义和基本性质、按比例分配问题
编稿老师
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
比的意义和基本性质、按比例分配问题
二. 本周学习目标:
1、了解比的意义,掌握比的读、写方法,知道比的各部分名称以及比与分数、除法的关系。
2、理解并掌握比的基本性质,能应用比的意义和基本性质求比值、化简比,能应用比的知识解答按比例分配的实际问题。
3、经历比的概念的抽象过程,经历探索比与分数、除法的关系以及比的基本性质的过程,积累数学活动的经验,进一步体会数学知识之间的内在联系,培养观察、比较、抽象、概括以及推理的能力。
三. 考点分析:
1、两个数相除又叫做两个数的比。如:3÷2也就是3:2。比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可以是整数。3:2的比值是1.5。
2、同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商;同分数比较,比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
3、比的基本性质相当于除法中的商不变性质和分数中的基本性质。因此应用比的基本性质可以将比进行化简。比的前项和后项为互质数时,这个比就是最简整数比。
4、求比值和化简比的核心区别在于结果的表达形式不同,求比值的结果一定要是一个数,化简比的结果一定要是一个比。
5、把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配的方法叫做按比例分配。
【典型例题】
例1. (重点展示)从甲地到乙地共300千米,甲车要行8小时,乙车要行6小时。甲车所行的路程与所用时间的比是( ),比值是( );乙车所行的路程与所用时间的比是( ),比值是( )。
例2. (重点展示)化简。(1)20:25 (2)0.3:0.27 (3):
例3. (误点诊所)化简。
(1)0.4:0.16 (2):
例4. (难点突破)的前项加上8,如果要使比值不变,后项应该加上( )。
例5. (重点展示)公园里柳树和杨树的棵数比是5:3,柳树和杨树共40棵。柳树和杨树各多少棵?
例6. (误点诊所)商店运来一批洗衣机,卖出24台,卖出的台数与剩下的台数的比是3:5,这批洗衣机一共有多少台?
例7. (难点突破)已知A、B、C三个数的比是2:3:5,这三个数的平均数是90,这三个数分别是多少?
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
一、基础巩固题
1、一辆汽车上午3小时行驶96千米,下午4小时行驶140千米。
(1)上、下午行车时间的比是( )。
(2)上、下午所行路程的比是( )。
(3)下午与上午行驶速度的比是( )。
2、在括号里填上适当的数。
5:4=( ):24 1.5:0.18=( ):18
8:15=24:( ) 36:12=9:( )
( ):0.5=9:5 14:( )=7:1.6
3、化简下面各比,并求出比值。
比 35:14 : 0.9:1.35 2:
最简整数比
比值
4、甲数与乙数的比是5:4,甲数是乙数的,乙数是甲数的,甲数是甲乙和的,乙数是甲乙和的。
5、一批货物按3:4:5分配给甲、乙、丙三个队去运。甲队运了这批货物的,乙队运了这批货物的,丙队运了这批货物的。
二、思维拓展题
6、桃树有48棵,梨树是桃树的,桃树和梨树的比是( )。
7、被减数是150,减数与差的比是3:2,减数是( ),差是( )。
8、分别写出下列正方体棱长的比和体积的比,并化简。
9、图书室买来540本新书,其中三分之一是连环画,其余的是文艺书和科技书,文艺书和科技书的比是3:2。三种书各是多少本?
三、自主探索题
10、把10克糖放入100克水中,糖与糖水的比是多少?
11、把2:5的前项增加4,要使比值不变,后项应增加多少?
12、一个长方形操场,周长76米,长与宽的比是10:9。这个操场的面积是多少平方米?
【试题答案】
一、基础巩固题
1、一辆汽车上午3小时行驶96千米,下午4小时行驶140千米。
(1)上、下午行车时间的比是( )。
(2)上、下午所行路程的比是( )。
(3)下午与上午行驶速度的比是( )。
2、在括号里填上适当的数。
5:4=( ):24 1.5:0.18=( ):18
8:15=24:( ) 36:12=9:( )
( ):0.5=9:5 14:( )=7:1.6
3、化简下面各比,并求出比值。
比 35:14 : 0.9:1.35 2:
最简整数比
比值
4、甲数与乙数的比是5:4,甲数是乙数的( ),乙数是甲数的( ),甲数是甲乙和的( ),乙数是甲乙和的( )。
5、一批货物按3:4:5分配给甲、乙、丙三个队去运。甲队运了这批货物的( ),乙队运了这批货物的( ),丙队运了这批货物的( )。
二、思维拓展题
6、桃树有48棵,梨树是桃树的,桃树和梨树的比是( )。
7、被减数是150,减数与差的比是3:2,减数是( ),差是( )。
8、分别写出下列正方体棱长的比和体积的比,并化简。
棱长的比
体积的比
9、图书室买来540本新书,其中三分之一是连环画,其余的是文艺书和科技书,文艺书和科技书的比是3:2。三种书各是多少本?
三、自主探索题
10、把10克糖放入100克水中,糖与糖水的比是多少?
把2:5的前项增加4,要使比值不变,后项应增加多少?
12、一个长方形操场,周长76米,长与宽的比是10:9。这个操场的面积是多少平方米?
年 级 六年级 学 科 数学 版 本 苏教版
内容标题 比的意义和基本性质、按比例分配问题
编稿老师
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
比的意义和基本性质、按比例分配问题
二. 本周学习目标:
1、了解比的意义,掌握比的读、写方法,知道比的各部分名称以及比与分数、除法的关系。
2、理解并掌握比的基本性质,能应用比的意义和基本性质求比值、化简比,能应用比的知识解答按比例分配的实际问题。
3、经历比的概念的抽象过程,经历探索比与分数、除法的关系以及比的基本性质的过程,积累数学活动的经验,进一步体会数学知识之间的内在联系,培养观察、比较、抽象、概括以及推理的能力。
三. 考点分析:
1、两个数相除又叫做两个数的比。如:3÷2也就是3:2。比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可以是整数。3:2的比值是1.5。
2、同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商;同分数比较,比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
3、比的基本性质相当于除法中的商不变性质和分数中的基本性质。因此应用比的基本性质可以将比进行化简。比的前项和后项为互质数时,这个比就是最简整数比。
4、求比值和化简比的核心区别在于结果的表达形式不同,求比值的结果一定要是一个数,化简比的结果一定要是一个比。
5、把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配的方法叫做按比例分配。
【典型例题】
例1. (重点展示)从甲地到乙地共300千米,甲车要行8小时,乙车要行6小时。甲车所行的路程与所用时间的比是( ),比值是( );乙车所行的路程与所用时间的比是( ),比值是( )。
分析与解:求哪两个量的比就把这两个量按先后顺序写下来,再在中间添上比号。求比值,就用前项除以后项。
从甲地到乙地共300千米,甲车要行8小时,乙车要行6小时。甲车所行的路程与所用时间的比是(300:8),比值是(37.5);乙车所行的路程与所用时间的比是(300:6),比值是(50)。
点评:比与除法、分数之间有着密切的联系。但不是说它们之间是等同的。它们之间的区别是:比是两个量之间的关系,除法是一种运算,而分数是一个数。在理解意义的时候要注意区分。
比与除法、分数之间的联系
比(2:5) 前项 比号(:) 后项 比值
分数() 分子 分数线(-) 分母 分数值
除法(2÷5) 被除数 除号(÷) 除数 商
例2. (重点展示)化简。(1)20:25 (2)0.3:0.27 (3):
分析与解:根据比的基本性质,第(1)题比的前项和后项直接除以5;第(2)题要先把前项和后项同时乘100,再化简;第(3)题要将比的前项和后项同时乘12,再化简。
正确解答:
(1)20:25=(20÷5):(25÷5)=4:5
(2)0.3:0.27=(0.3×100):(0.27×100)=30:27=(30÷3):(27÷3)=10:9
(3):=(×12):(×12)=9:8
点评:在化简过程中,如果比的前项和后项都是整数,那就同时除以它们的最大公约数;如果前项和后项是小数或是分数,先将它们同时乘一个数化成整数,再化简。要注意:最后化简到比的前项和后项是互质数的比是最简整数比。
例3. (误点诊所)化简。
(1)0.4:0.16 (2):
错误解法:(1)0.4:0.16 (2):
=4:16 =×
=1:4 =
分析与解:将比的前项和后项同时乘或除以同一个数,进行化简。
(1)0.4:0.16 (2):
=40:16 =(×20):(×20)
=5:2 =15:8
点评:第(1)题两个小数,一个是两位小数,一个是一位小数,要将两个数同时乘100化成整数,再化简,而不能一个乘10,一个乘100,那样比的大小就改变了;第(2)题不能为了约分而用乘法,应该将比的前项和后项同时乘20,化成整数比,再化简。
例4. (难点突破)的前项加上8,如果要使比值不变,后项应该加上( )。
分析与解:把的前项增加8之后前项就变成了16,相当于前项乘了2,要使比值不变,后项也应当乘2,变成30,后项应该加上15。
的前项加上8,如果要使比值不变,后项应该加上( 15 )。
点评:比的基本性质中讲的是前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。加上8,就要把这种加法之间的关系转化为乘法,再去判断。
例5. (重点展示)公园里柳树和杨树的棵数比是5:3,柳树和杨树共40棵。柳树和杨树各多少棵?
分析与解:公园里柳树和杨树的棵数比是5:3,也就是40棵树中,柳树占5份,杨树占3份,一共是(5+3)份,即柳树占总棵数的,杨树占总棵数的。
柳树的棵数:40×=25(棵)
杨树的棵数:40×=15(棵)
答:柳树有25棵,杨树有15棵。
点评:在解答按比例分配应用题时,还可以直接用份数来解。这道题目通过分析,已经知道柳树和杨树共8份,就可以用40÷8,求出每份有5棵,柳树有5份,用5×5=25(棵),求出柳树的棵数。同样,用5×3=15(棵),求出杨树的棵数。
例6. (误点诊所)商店运来一批洗衣机,卖出24台,卖出的台数与剩下的台数的比是3:5,这批洗衣机一共有多少台?
错误解法:24÷3×5=40(台)
分析与解:卖出的台数与剩下的台数的比是3:5,即卖出的台数是3份,剩下的台数是5份,这批洗衣机的总台数是8份。24台对应的份数是3份,可以先求出每份是多少台,再求8份是多少台。
24÷3×(5+3)=64(台)
答:这批洗衣机一共有64台。
点评:在用份数来解按比例分配应用题时,要注意份数和量之间的对应关系。这道题目,是求的总台数,就要用每份数乘总台数所对应的份数。而3份和5份分别是卖出的份数和剩下的份数,它们的和才是总台数所对应的份数。在解题时要仔细思考。
例7. (难点突破)已知A、B、C三个数的比是2:3:5,这三个数的平均数是90,这三个数分别是多少?
分析与解:三个数的平均数是90,那么这三个数的和是90×3=270,A、B、C三个数的比是2:3:5,那么A是2份,B是3份,C是5份,总共是2+3+5=10(份),那么就可以求出每份是多少,再逐步求出A、B、C分别是多少?
90×3=270 270÷10=27
27×2=54 27×3=81 27×5=135
答:这三个数分别是54,81,135。
点评:按比例分配应用题的特点是告诉几个量的比,及这几个量的和或差,或其中的一个量,求出每个量或其中的某些量。但是有些题目,并不是直接知道和或差,而是通过间接条件求出和或差。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
一、基础巩固题
1、一辆汽车上午3小时行驶96千米,下午4小时行驶140千米。
(1)上、下午行车时间的比是( )。
(2)上、下午所行路程的比是( )。
(3)下午与上午行驶速度的比是( )。
2、在括号里填上适当的数。
5:4=( ):24 1.5:0.18=( ):18
8:15=24:( ) 36:12=9:( )
( ):0.5=9:5 14:( )=7:1.6
3、化简下面各比,并求出比值。
比 35:14 : 0.9:1.35 2:
最简整数比
比值
4、甲数与乙数的比是5:4,甲数是乙数的,乙数是甲数的,甲数是甲乙和的,乙数是甲乙和的。
5、一批货物按3:4:5分配给甲、乙、丙三个队去运。甲队运了这批货物的,乙队运了这批货物的,丙队运了这批货物的。
二、思维拓展题
6、桃树有48棵,梨树是桃树的,桃树和梨树的比是( )。
7、被减数是150,减数与差的比是3:2,减数是( ),差是( )。
8、分别写出下列正方体棱长的比和体积的比,并化简。
9、图书室买来540本新书,其中三分之一是连环画,其余的是文艺书和科技书,文艺书和科技书的比是3:2。三种书各是多少本?
三、自主探索题
10、把10克糖放入100克水中,糖与糖水的比是多少?
11、把2:5的前项增加4,要使比值不变,后项应增加多少?
12、一个长方形操场,周长76米,长与宽的比是10:9。这个操场的面积是多少平方米?
【试题答案】
一、基础巩固题
1、一辆汽车上午3小时行驶96千米,下午4小时行驶140千米。
(1)上、下午行车时间的比是( 3:4 )。
(2)上、下午所行路程的比是( 96:140 )。
(3)下午与上午行驶速度的比是( 35:32 )。
2、在括号里填上适当的数。
5:4=( 30 ):24 1.5:0.18=( 150 ):18
8:15=24:( 45 ) 36:12=9:( 3 )
( 0.9 ):0.5=9:5 14:( 3.2 )=7:1.6
3、化简下面各比,并求出比值。
比 35:14 : 0.9:1.35 2:
最简整数比 5:2 3:2 2:3 9:1
比值 2.5 1.5
9
4、甲数与乙数的比是5:4,甲数是乙数的,乙数是甲数的,甲数是甲乙和的,乙数是甲乙和的。
5、一批货物按3:4:5分配给甲、乙、丙三个队去运。甲队运了这批货物的,乙队运了这批货物的,丙队运了这批货物的。
二、思维拓展题
6、桃树有48棵,梨树是桃树的,桃树和梨树的比是( 8:7 )。
7、被减数是150,减数与差的比是3:2,减数是( 90 ),差是( 60 )。
8、分别写出下列正方体棱长的比和体积的比,并化简。
棱长的比 2:4=1:2
体积的比 8:64=1:8
9、图书室买来540本新书,其中三分之一是连环画,其余的是文艺书和科技书,文艺书和科技书的比是3:2。三种书各是多少本?
连环画 540×=180(本) 540-180=360(本)
文艺书 360×=216(本)
科技书 360×=144(本)
三、自主探索题
10、把10克糖放入100克水中,糖与糖水的比是多少?
10:110=1:11
11、把2:5的前项增加4,要使比值不变,后项应增加多少?
10
12、一个长方形操场,周长76米,长与宽的比是10:9。这个操场的面积是多少平方米?
76÷2=38(米)
38×=20(米)
38×=18(米)
20×18=360(平方米)