山西省忻州市2011-2012学年高二上学期期末联考数学（理，A）试题

山西省忻州市2011-2012学年高二上学期期末联考数学（理，A）试题
注意事项：
1．考生答卷前务必用0.5mm黑色中性笔，将学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题选出答案后，填写在答题卡上；交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上的无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合A＝{x|x2－1＜0}，集合B＝{x|y＝log2x}，则A∩B＝
A．{x|0＜x＜1} B．{x|－1＜x＜1}
C．{x|－1＜x＜0} D．{x|x＞0}
2．坐标原点O到直线3x＋4y－5＝0的距离为
A．1 B． C．2 D．
3．已知直线a，b及平面，若a∥，b，则“a，b共面”是“a∥b”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4,－2)，点(x,y)在ABC的内部(包括边界)，则z＝2x－5y的最大值是
A．－11 B．－9 C．9 D．18
5．已知、是不重合的两个平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是
A．若m∥n，m，则n B．若m，m，则
C．若m，∥，则m D．若，m，则m
6．直线(a＋1)x－(2a＋5)y－6＝0被圆(x＋4)2＋(y＋2)2＝9所截得弦长为
A．2 B．3 C．6 D．与a有关
7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心，若＝，＝，
＝，则＝
A．＋＋ B．－＋
C．－－ D．＋－


第8题图
8．如图给出的是计算＋＋…＋的值的一个程序框图，
则图中判断框内应填的语句是
A．i＞33
B．i≤33
C．i＞100
D．i≥100
9．已知A(1,－2,3)，B(4,－4,－3)，则向量在向量＝(6,2,3)的方向上的投影是
A．－ B．－ C． D．
10．三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OA＝2，OB＝，OC＝，则三棱锥OABC外接球的表面积为
A．4 B．12 C．16 D．40
11．直线y＝kx＋1与双曲线－＝1有一个公共点，则实数k＝
A．或 eq \f(,2) B．或 eq \f(,2) C．或 eq \f(,2) D． eq \f(,2)
12．已知直线y＝kx－2(k＞0)与抛物线C：x2＝8y相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝4|FB|，则k＝
A．3 B． C． D． eq \f(3,2)
二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)
13．已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，
C＝30，则c＝ ．
14．在平面中，若一个三角形的高被平行底边的线段分为1:2两段，则截得的小三角形与原三角形的面积比为1:9；类似地：在空间中，若一个三棱锥的高被平行于底面的截面分成的比为1:2，则截得的小棱锥与原三棱锥的体积比为___________．
15．一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该
几何体的体积为____________．
16．下列命题中________为真命题．
①“xR，x2+1＞1”的否定是“ xR，x2+1≤1”；
②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题；
③“若{an}为等比数列，则an＝a1qn1”的逆命题；
④“若sin＋cos＝(0<<)，则为锐角”的否命题．
三．解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17．(本小题满分10分)
已知f(x)＝x2＋x，数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝f(n)．
(1)证明：数列{an}成等差数列；
(2)bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．(本小题满分12分)
已知向量＝(sinx,cosx)，＝(cosx,cosx)，设函数f(x)＝＋．
(1)写出函数f(x)的最小正周期；
(2)若x[,]，求函数f(x)的最大值及取得最大值时对应的x的值；
19．(本小题满分12分)


第19题图
在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD＝90，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD=2，PA底面ABCD．
(1)若AEPD于点E，求证：PD平面ABE；
(2)在(1)的条件下，若PD与底面ABCD成45角．求平面
ABE与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．
20．(本小题满分12分)
某校从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段及各段人数：[40, 50)，5人；[50, 60)，10人；[60, 70)，20人；[70, 80)，30人；[80, 90)，25人；[90, 100]，10人．完成下列问题：
(1)画出频率分布直方图；
(2)从频率分布直方图估计学生数学成绩的平均数．
21．(本小题满分12分)
设p：函数f(x)＝x2－2x－a在x[0,3]内有零点；q：函数g(x)＝x2＋(2a－1)x＋1在
(－∞,上是减函数．若p和q有且只有一个为真，求实数a的取值范围．
22．(本小题满分12分)
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1,0)，且椭圆经过点A(1,)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l过椭圆的右焦点与椭圆交于M，N两点，求MN的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围．
忻州市20112012学年第一学期高中联考
高二数学（理科A类）参考答案及评分标准
一．选择题(每小题5分，共60分)
AACDD CDABC AB
二．填空题(每小题5分，共20分)
13．1 14．1:27 15． 16. ①②
三．解答题(本大题共6小题，共70分)
18．(本题满分12分)
解：由已知得f(x)＝＋＝＋ ……2分
＝ eq \f(,2)sin2x－＋＝ eq \f(,2)sin2x－cos2x＝sin(2x－)． ……6分
(1) f(x)的最小正周期为T＝＝． ……8分
(2)∵≤x≤，∴≤2x－≤．∴≤sin(2x－)≤1． ……10分
∴f(x)的最大值为1，当且仅当x＝时取得最大值． ……12分
19．(本题满分12分).
解：(1)∵BAAD，BAPA，∴BA平面PAD．……2分
∴BAPD．又PDAE，∴PD平面ABE． ……4分
(2)∵PD与底面成的角为PDA＝45，∴PA＝2．
如图建立坐标系，则B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0),
∴＝(0,1,0)，＝(1,0,－2)． ……6分
设平面PBC的一个法向量为＝(x,y,z)，则，，∴＝0，＝0.
得，令z＝1，∴＝(2,0,1)． ……8分
由(1)知，PD平面ABE，∴＝(0,2,－2)是平面ABE的一个法向量．
设平面PAE与平面PBC所成的角为，
则cos＝ eq \f(,||||)＝ eq \f((2,0,1)(0,2,2),×2)＝－ eq \f(,10)． ……11分
∴平面ABE与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为 eq \f(,10)． ……12分
21．(本题满分12分)
解：函数f(x)＝x2－2x－a在x[0,3]内有零点等价于a在函数y＝x2－2x(x[0,3])的值域内． ……2分
而函数y＝x2－2x在x[0,3]值域为[－1,3],
∴p：a[－1,3]． ……5分
函数g(x)＝x2＋(2a－1)x＋1在(－∞,上是减函数，∴≥，即a≤0．
∴q：a(－,0]． ……7分
当p真q假时，a[－1,3]∩(0,＋)＝(0,3]；
当p假q真时，a(－,－1)∪(3,＋)∩(－,0]＝(－,－1)． ……11分
综上，a的取值范围为(－,－1)∪(0,3]． ……12分
22．(本题满分12分)
解：(1)由椭圆的定义，2a＝ eq \r((1＋1)2＋()2)＋＝4, ……2分
∴a＝2,c＝1,b＝．
所以椭圆的方程为＋＝1． ……4分
(2)设AB方程为y＝k(x－1)，代入＋＝1并整理得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0．
显然△>0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点为M(x0,y0)，
……6分
直线AB的垂直平分线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝，
当k≠0时，y＝ eq \f(1, 4k＋)， ……8分
注：各题如有其它解法可参照以上标准斟情给分