9.1.2 不等式的性质 课件 （57张）

(共57张PPT)
第九章
9.1.2
不等式的性质
人教版数学七年级下册
1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
2.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式。
学习目标
1
知识点
不等式的性质1
我们知道，等式两边加或减同一个数(或式子)，
乘或除以同一个数(除数不为0)，结果仍相等.
不等
式是否也有类似的性质呢？
合作探究
如果在不等式的两边都加或都减同一个整式，
那么结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流.
思考
用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律：
(1)
5＞3,
5+2
3+2,
5-2
3-2；
(2)
1＜3，-1
+
2
3
+
2，
-1-3
3
–
3.
不等式的性质1
不等式两边加(或减)同一个数(或
式子)
，不等号的方向不变.
如果a＞b，那么a±c＞b±c.
新知小结
从变形来看，是利用了不等式的性质1.
(1)根据不等式性质1，不等式两边同时减去6；
(2)根据不等式性质1，不等式两边同时减去6x．
分析：
例1
指出下列不等式是如何变形的，并说明其变形的依据．
(1)若6＋y＞－7，则y＞－13；
(2)若7x＜6x＋3，则x＜3．
解：
合作探究
判断某个不等式变形的根据，
一看不等号的方向是不是改变，
二看式子的变化情况.
新知小结
1
已知a＜b，用“＞”或“＜”填空：
(1)a＋2________b＋2；
(2)a－3________b－3；
(3)a＋c________b＋c；
(4)a－b________0.
＜
＜
＜
＜
巩固新知
2
设“
”“
”表示两种不同的物体，现用天平
称，情况如图所示，设“
”的质量为a
kg，
“
”的质量为b
kg，则可得a与b的关系是
a
_____b.
＜
2
知识点
不等式的性质2
比较大小
由此我们可以得到：不等式的两边都乘以(或除以)
同一个正数，不等号的方向不变．
(－16)＿＿(－
24)；
(－16)×4＿＿(－
24)×4；
(－16)÷3＿＿(－24)÷3
8＿＿12；
8×4＿＿12×4；
8÷3＿＿12÷3
合作探究
不等式的性质2
不等式两边乘(或除以)同一个
正数，不等号的方向不变.即
如果
a＞b，c＞0，那么ac＞bc
新知小结
已知实数a、b
，若a＞b
，则下列结论正确的是
(
)
A．a－5＜b－5
B．2＋a＜2＋b
C．
D．3a＞3b
不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号的方
向不变，不等式的两边同时除以或乘以一个正数，
不等号的方向也不变，所以A、B、C错误，选D.
解析：
例2
D
合作探究
在应用不等式的基本性质2时，除了注意“两同”
要求外，还要注意“正数”的要求；另外，乘除运
算可以灵活选择．
新知小结
用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x+5＞－1；
(2)4x＜3x－5.
(4)－8x＞10.
1
巩固新知
(1)根据不等式的性质1，不等式两边都减去5，
得x＋5－5>－1－5，
所以x>－6.
在数轴上表示这个不等式的解集如图所示．
解：
(2)根据不等式的性质1，不等式两边都减去3x，
得4x－3x<3x－5－3x，
所以x<－5.
在数轴上表示这个不等式的解集如图所示．
(3)根据不等式的性质2，不等式两边都乘以7
(或除以
)，
得
，
所以x<6.
在数轴上表示这个不等式的解集如图所示．
(4)根据不等式的性质3，不等式两边都除以－8
(或乘以
)，
得(－8x)÷(－8)<10÷(－8)
(或(－8x)×
<10×
)，
所以x<
在数轴上表示这个不等式的解集如图所示．
2
若a是实数，x＞y，则下列不等式中，正确的
是(　　)
A．ax＞ay
B．a2x≤a2y
C．a2x＞a2y
D．a2x≥a2y
D
3　(中考·南充)若m＞n，则下列不等式不一定成立的是(　　)
A．m＋2＞n＋2
B．2m＞2n
C.
D．m2＜n2
D
3
知识点
不等式的性质3
做一做
完成下列填空：
2×(－1)_______3×(－1);
2×(－5)_______3×(－5)；
你发现了什么？请再举几例试一试，还有类似的结
论吗？与同伴交流.
＞
＞
＞
合作探究
不等式的性质3
不等式两边乘(或除以)同一个负数
不等号的方向改变.
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc
利用不等式的性质解下列不等式：
(1)
x－7＞26；
(2)
3x＜2x+1；
(3)
x＞50;
(4)
－4x＞3.
例3
解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式
逐步化为x＞a或
x＜a
(a为常数)的形式.
分析：
(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7,
不等号
的方向不变，所以
x－7+7＞26+7,
x＞33.
(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等
号的方向不变，所以
3x－2x＜2x+1－2x，
x＜1.
解：
(3)根据不等式的性质2,
不等式两边乘
.
不等号
的方向不变，所以
x＞75.
(4)根据不等式的性质3,
不等式两边除以－4,
不等
号的方向改变，所以
利用不等式的性质1可简化为“移项”；利用不
等式的性质2或性质3就是把未知数的系数化为1，要
注意不等式两边乘(或除以)同一个负数时，不等号要
改变方向．
新知小结
设a＞b，用“＜”或“＞”填空：
a＋2_____b＋2；
(2)
a－3_____b－3；
(3)
－4a_____－4b；
(4)
1
＞
＞
＜
＞
巩固新知
2
【中考·株洲】已知实数a，b满足a＋1>b＋1，则下列选项错误的为(　　)
A．a>b
B．a＋2>b＋2
C．－a<－b
D．2a>3b
D
3
实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是(　　)
A．a－c>b－c
B．a＋cC．ac>bc
D.
B
不等式的基本性质：
不等式的基本性质1
不等式的两边都加（或减）
同一个整式，不等号的方向不变.
不等式的基本性质2
不等式两边都乘(或除以)同一
个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3
不等式两边都乘(或除以)同一
个负数，不等号的方向改变.
1
知识小结
归纳新知
1．不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
即如果a>b，那么a±c______b±c.
＞
课后练习
2．下列推理正确的是(　　)
A．因为a＜b，所以a＋2＜b＋1
B．因为a＜b，所以a－1＜b－2
C．因为a＞b，所以a＋c＞b＋c
D．因为a＞b，所以a＋c＞b－d
C
3．(2020·杭州)若a＞b，则(　　)
A．a－1≥b
B．b＋1≥a
C．a＋1＞b－1
D．a－1＞b＋1
【点拨】举出反例即可判断A，B，D，根据不等式的传递性即可判断C.
A．设a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a－1＜b，不符合题意；
B．设a＝3，b＝1，a＞b，但是b＋1＜a，不符合题意；
C．∵a＞b，∴a＋1＞b＋1，∵b＋1＞b－1，∴a＋1＞b－1，符合题意；
D．设a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a－1＜b＋1，不符合题意．
【答案】C
＞
＞
5．(中考·常州)若3x>－3y，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．x＋y>0　
B．x－y>0
C．x＋y<0　
D．x－y<0
A
【点拨】两边除以3，得x>－y；两边加y，得x＋y>0.
【点拨】当c＝0时，ac2＞bc2不成立．
C
6．(中考·乐山)下列说法不一定成立的是(　　)
A．若a＞b，则a＋c＞b＋c
　
B．若a＋c＞b＋c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2
　
D．若ac2＞bc2，则a＞b
A
负
＜
＜
　　　　
D
D
11.若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac>bc
B．ab＞cb
C．a＋c＞b＋c
D．a＋b>c＋b
　　　
【点拨】由题图知a＜b＜0＜c，不等式a＜b的两边同乘c，得ac＜bc，∴A不符合题意；
不等式a＜c的两边同乘b，得ab＞cb，∴B符合题意；
不等式a＜b的两边同加c，得a＋c＜b＋c，∴C不符合题意；
不等式a＜c的两边同加b，得a＋b＜c＋b，∴D不符合题意．
【答案】B
D
C
14．若x＜y，试比较下列各式的大小并说明理由．
(1)3x－1与3y－1；
解：3x－1＜3y－1.理由如下：
∵x＜y，∴3x＜3y(不等式的性质2)．
∴3x－1＜3y－1(不等式的性质1)．
(2)由a＜b，得ma＞mb；
解：m＞0；
(3)由a＞－5，得a2≤－5a；
m＜0；
(4)由3x＞4y，得3x－m＞4y－m.
－5＜a≤0；
m为任意实数．
解：由已知得1－a＜0，即a＞1，
则|a－1|＋|a＋2|＝a－1＋a＋2＝2a＋1.
17．(1)①如果a－b<0，那么a________b；
②如果a－b＝0，那么a________b；
③如果a－b>0，那么a________b.
(2)由(1)你能归纳出比较a和b大小的方法吗？请写出来．
<
＝
＞
解：可以通过作差来比较a和b的大小，当a－b<0时，a当a－b＝0时，a＝b；
当a－b>0时，a>b.
(3)用(2)的方法你能否比较2x2－x＋7与x2－x－2的大小？
解：(2x2－x＋7)－(x2－x－2)＝2x2－x＋7－x2＋x＋2
＝x2＋9>0，
∴2x2－x＋7>x2－x－2.
18．阅读下列材料：
【提出问题】已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围．
【解决问题】∵x－y＝2，∴x＝y＋2.
又∵x＞1，∴y＋2＞1，∴y＞－1.
又∵y＜0，∴－1＜y＜0.①
同理得1＜x＜2.②
由②＋①得－1＋1＜y＋x＜0＋2，
∴x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2.
【尝试应用】完成任务：
(1)在提出问题中的条件下，求2x＋3y的取值范围；
【思路点拨】运用类比思想，参照数学问题中的解法，结合不等式的性质求解．
解：∵1＜x＜2，∴2＜2x＜4.
∵－1＜y＜0，∴－3＜3y＜0.
∴－1＜2x＋3y＜4.
(2)已知x＋y＝3，且x＞2，y＞0，求x－y的取值范围；
解：∵x＋y＝3，∴x＝3－y.
又∵x＞2，∴3－y＞2.∴y＜1.
又∵y＞0，∴0＜y＜1.
∴－1＜－y＜0.
同理得2＜x＜3，∴－1＋2＜x－y＜0＋3.
∴x－y的取值范围是1＜x－y＜3.
解：∵x－y＝a，∴x＝a＋y.
又∵x＜－1，∴a＋y＜－1.
∴y＜－1－a.
又∵y＞1，∴－1－a＞1.
∴a＜－2.
当a＜－2时，1＜y＜－1－a.
同理得1＋a＜x＜－1，∴2＋a＜x＋y＜－a－2.
∴当a＜－2时，x＋y的取值范围是2＋a＜x＋y＜－a－2.
(3)已知y＞1，x＜－1，若x－y＝a成立，求x＋y的取值范围(结果用含a的式子表示)．
再见