2020-2021学年北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明单元培优提升训练（Word版 含解析）

北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明单元培优提升训练
一、选择题
1．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
3．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．7cm B．9cm C．7cm或12cm D．12cm
5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE垂直平分AB，交AB于点E．若AC＝m，BC＝n，则△BDE的周长为（　　）
A．m+n B．2m+2n C．m+2n D．2m+n
6．下列命题正确的是（　　）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．有两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等
7．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25° B．25°或40° C．25°或 35° D．40°
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，AB＝AE，BC＝CD，则∠DBE的度数为（　　）
A．35° B．40° C．42° D．50°
9．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠C，则∠BAC的度数为（　　）
A．20? B．40? C．60? D．80?
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是高，AE⊥AB交BC于E，则DE与BC之间的数量关系是（　　）
A．BC＝3DE B．BC＝6DE C．BC＝2DE D．BC＝5DE
11．已知O为原点，A（2，2）为坐标平面内一点，B是y轴上一点，且△AOB为等腰三角形，那么符合条件的点B的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
12．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠B＝50°，则∠AOC＝　 　．
13．如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为　 　．
14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于　 　．
15．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是　 　．
16．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，动点P在线段BC上从B点向C点运动，连接AP，则AP的最小值为等于　 　．
17．如图，已知△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．CE为△ACD的角平分线，若CD＝12，BC＝13，且△BCE的面积为48，则点E到AC的距离为　 　．
18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝8，∠B＝15°，则EC的长为　 　．
19．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为　 　．
20．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于点H，∠CAD＝30°，若AC＝4，则点H到BC的距离是　 　．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为　 　度．
三、解答题
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．
（1）求△AEN的周长．
（2）求∠EAN的度数．
（3）判断△AEN的形状．
23．如图△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，D为垂足，交AC于E，连接BE．
（1）若∠A＝42°，求∠EBC的度数；
（2）若AB＝12，△BEC的周长是20，求△ABC的周长．
24．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．
（1）试说明∠ABC＝2∠C；
（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．
25．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
27．（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式．
参考答案
1．解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故选：B．
2．解：设CD＝x，
∵在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴AD＝BD，
∵在△ACD中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝2x，
即BD＝AD＝2x，
∵BC＝3＝BD+CD＝2x+x，
解得：x＝1，
即BD＝2x＝2，
故选：B．
3．解：作DE⊥OB于E，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DP＝4，
∴S△ODQ＝×3×4＝6．
故选：D．
4．解：若腰长为7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，
解得x＝17，
此时三边长7cm、7cm、17cm，
∵7+7＜17
∴此三角形不成立；
若底边长为7cm，设腰长为xcm，由题意得
7+x+x＝31，
解得x＝12，
此时三边长7cm、12cm、12cm．
答：该等腰三角形的腰长为12cm．
故选：D．
5．解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAE，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，∠CAD＝∠BAD，
∴∠B＝∠CAD＝∠BAD，
∵∠B+∠CAD+∠BAD＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，
∴BE＝AE＝m，
∵BE＝m，BC＝n，
∴△BDE的周长为BE+DE+DB＝BE+CD+BD＝BC+BE＝m+n，
故选：A．
6．解：A、等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、高线互相重合，原命题是假命题；
B、在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上，是真命题；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题；
D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
故选：B．
7．解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
8．解：∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB；
∴∠A+∠ABE+∠AEB＝180°＝∠A+2∠AEB；
同理：∠C+2∠CDB＝180°．
∴（∠A+∠C）+2（∠AEB+∠CDB）＝360°；
即：80°+2（∠AEB+∠CDB）＝360°，∠AEB+∠CDB＝140°．
∴∠DBE＝180°﹣（∠ADB+∠CEB）＝40°．
故选：B．
9．解：∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C．
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠BAD＝∠C，
设∠C＝2x°
可得：2x+2x+x+4x＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠BAC＝x+2x＝60°，
故选：C．
10．解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是高，
∴AB＝2AD，BD＝AD，
∵AE⊥AB交BC于E，
∴2DE＝AE，AD＝DE，
∴BC＝2AD＝6DE，
故选：B．
11．解：如图，满足条件的点B有四种情形，
故选：B．
12．解：如图，连接OB，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠A，
∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO，
∵OE垂直平分BC，
∴OC＝OB，
∴∠CBO＝∠C，
∴∠COB＝180°﹣2∠CBO，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，
∴∠AOC＝360°﹣（180°﹣2∠CBO+180°﹣2∠ABO）＝2（∠CBO+∠ABO）＝2∠ABC＝2×50°＝100°，
故答案为：100°．
13．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
连接BD，
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE＝AB＝，∠DEB＝90°，AD＝BD，
设AD＝BD＝x，则CD＝4﹣x，
在Rt△DCB中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，
即（4﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝，
即BD＝，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：DE＝＝＝，
故答案为：．
14．解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE，
∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，
∴DF＝DE＝4．
故答案为：4．
15．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝AB?DE+BC?CD，＝×12×8+×18×8，＝120．
故答案为：120．
16．解：如图，P在BC上运动时，由垂线段最短知，
P在AP⊥BC时，AP最短，
作AM⊥BC，
∵AB＝BC，
∴BM＝MC＝BC＝3，
在Rt△ABM中，BM2+AM2＝AB2，
即32+AM2＝52，
∴AM＝4，
即AP最最小值为4．
故答案为：4．
17．解：如图，过点E作EF⊥AC于F，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
由勾股定理得：BD＝＝＝5，
∵S△BEC＝BE?CD，且CD＝12，且△BCE的面积为48，
∴48＝，
∴BE＝8，
∴DE＝8﹣5＝3，
∵CE为△ACD的角平分线，DE⊥CD，EF⊥AC，
∴EF＝DE＝3，即点E到AC的距离为3．
故答案为：3．
18．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，BE＝8，
∴BE＝AE＝8，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝×8＝4，
∴EC＝AC＝4，
故答案为：．
19．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B＝30°，
∵∠A＝90°，AN＝1，
∴MN＝2AN＝2，
∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°，
∴∠AMC＝∠NMC＝60°，
∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝ACB＝30°，
∴∠ACM＝∠NMC，
∴MN＝CN＝2，
∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC＝2×3＝6，
故答案为：6．
20．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠HBD+∠BHD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AC＝4，
∴CD＝AC＝2，
∵BE⊥AC，
∴∠HBD+∠C＝90°，
∴∠BHD＝∠C，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，
在△BDH和△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴HD＝CD＝2，
故点H到BC的距离是2．
故答案为2．
21．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝40°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝70°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20．
22．解：（1）∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∵BC＝12，
∴△AEN周长l＝AE+EN+AN＝BE+EN+NC＝BC＝12；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠CAN＝30°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝60°；
（3）∵∠AEN＝∠B+∠BAE＝60°，∠ANE＝∠C+∠CAN＝60°，
∴△AEN为等边三角形．
23．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵DE⊥AB AD＝DB，
∴AE＝EB，
∴∠A＝∠EBA，
∵∠A＝42°，
∴∠EBA＝42°，∠C＝∠ABC＝69°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝27°；
（2）由（1）得BE＝AE AB＝AC，
∴AC＝AE+EC＝BE+EC，
∵△BEC的周长＝BE+EC+BC＝20，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BE+EC+BC＝12+20＝32．
24．证明：（1）∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∴∠ABC＝2∠C；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠CAD，
∵BE∥AD，
∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，
∴∠ABE＝∠E，
∴AE＝AB．
25．解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
26．解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
27．解：（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE；
②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；
（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∴∠FAP＝∠PAC，
∴∠FAC＝2∠PAC，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，
∴2∠PAC+∠BAC＝180°．