2020-2021学年高一下学期数学苏教版（2019）第二册第9章平面向量基础卷（Word含解析）

2020-2021学年苏教版第二册高一数学下学期第9章平面向量基础卷
一、单选题
1．下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足，且与同向，则；
③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；
④的充要条件是A与C重合，B与D重合.
其中错误的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在中，点在边上，点在边上，且，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，.若，则实数（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是（ ）
A．＝(0，0)，＝(1，2)
B．＝(－1，2)，＝(5，－2)
C．＝(3，5)，＝(6，10)
D．＝(2，－3)，＝(－2，3)
7．已知为的外心，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．中，，是中点，是线段上任意一点，且，则的最小值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
9．若，点C在∠AOB外，且，设实数m，n满足，则等于（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
10．已知在中，，，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知向量，则（ ）
A． B．
C．向量在向量上的投影是 D．向量的单位向量是
13．已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且(﹣)·(﹣)=0，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．，的夹角是钝角
14．如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在边AD上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
15．已知向量，，若，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
16．下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，,若,则
B．单位向量，，则
C．若且，则
D．若点为的重心，则
17．已知是边长为2的等边三角形，是上的点，，是的中点，与交于点，那么（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
18．已知单位向量满足，则|___________.
19．平行四边形ABCD中，M，N，P分别为BC，CD，AD边上的点，，设，，则___________.
20．已知，，，则与的夹角为______.
21．已知向量，及实数满足，若，则的最大值是________．
22．如图，已知四边形，，，是的中点，，若，则的最小值为___________.
23．已知平面单位向量，满足．设向量与向量的夹角为，则的最大值为______．
四、解答题
24．已知向量与的夹角，且，．
（1）求，；
（2）求与的夹角的余弦值．
25．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.
（1）用向量，表示；
（2）假设，用向量，表示并求出的值.
26．已知向量，．
（1）求的值;
（2）若，求实数的值．
27．在中，，，，D为边的中点，M为中线的中点.
（1）求中线的长；
（2）求与的夹角的余弦值.
28．已知向量.
（1）求向量与的夹角；
（2）若，求实数的值.
29．设两个非零向量与不共线．
（1）若，，且与平行，求实数的值；
（2）若，，，求证：，，三点共线．
30．已知内接，点为边上一点，点为边中点，与交于点，且．
（Ⅰ）若（，），求的值；
（Ⅱ）若，则是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．C
①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量.
④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.
2．A
【分析】
.
3．D
因为，所以，即.
因为，，所以，
，所以.
4．C
解：因为，，
所以，
，
，
解得．
故选：．
5．D
,
即，得.
故选：D.
6．B
A．＝(0，0)，， 不可以作为平面的基底；不能表示出；
B．由于，不共线，， 可以作为平面的基底；能表示出；
C．，， 不可以作为平面的基底；不能表示出；
D．，， 不可以作为平面的基底；不能表示出．
故选：B．
7．A
设的外接圆的半径为R，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
∴
同理可求：
根据圆心角等于同弧对应的圆周角的两倍得：
∴
解得：=
8．C
解：在直角三角形中，，则，因为M为BC的中点，所以.设，



所以当，即时，原式取得最小值为.
故选：C.
9．C
∵，
∴①
∵且，两边同时平方得，
∴②
①②联立得：.
10．C
因为在中，，，所以，所以

，当且仅当时取等号，因此在中，
所以向量与的夹角的余弦值为，
故选：C.
11．AC
A．由于，因此共线，不能作基底，
B．两向量不共线，可以作基底，
C．由于，不能作基底，
D．两向量不共线，可以作基底，
12．ABD
对于A: ，故A正确；
对于B: ，故B正确；
对于C: 向量在向量上的投影是，故C错误；
对于D: 向量的单位向量是，故D正确．
故选：ABD．
13．BC
如图，，，，，则，即，B正确；
，由(﹣)·(﹣)=0得，点在以直径的圆上（可以与重合）．中点是，
则，A错；
的最大值为，C正确；
与同向，由图，与的夹角不可能为钝角．D错误．
故选：BC．
14．BD
解：，点在边上，
，
15．AC
因为向量，，所以，
若，则，即，解得或，
故A正确，B错；
当时，；
当时，；
故C正确，D错.
16．AC
对于选项A：因为，则，解得：，故选项A不正确；
对于选项B：，所以
，故选项B正确；
对于选项C：根据向量的几何意义可知若且，则不一定成立，故选项C不正确；
对于选项D：若点为的重心，取的中点，则
，故选项D正确，
故选：AC
17．ACD
以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，，，
，，
，即选项正确；
设，则点，，
、、三点共线，
不妨设，即，，，
，
解得，，
，，即点为的中点，故选项正确；
为等边三角形，且为的中点，，即，故选项错误；
为的中点，为的中点，
，，
，即选项正确．
18．
因为，，
所以，所以，
所以，
19．
选作为基向量，则有，，
因为，，
所以
所以，解得，所以
故答案为：
20．
由得，
所以，
所以，
因为，所以，即与的夹角为.
故答案为：
21．
因为，
所以，
两边平方得，
因为，即，
所以，
而，
所以，
解得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值是
故答案为：
22．
令，因为，，，
所以，，
又因为是的中点，，所以，，，，
故可得，，
所以
，
当时，取得最小值，
23．
是单位向量，，设的夹角为，
则由可得，即，可得，
则
，
当时，取得最大值为.
故答案为：.
24．（1），；（2）.
（1）由已知，得，
；
（2）设与的夹角为，
则，
因此，与的夹角的余弦值为.
25．（1）；（2），.
解：由题意得，，所以，
（1）因为，，
所以
.
（2）由（1）知，而
而
因为与不共线，由平面向量基本定理得
解得
所以，即为所求.
26．（1）28；（2）.
（1）因为，，
所以
所以．
（2），，
因为，
所以，
整理得
故．
27．（1）；（2）.
解:（1）由已知，，
又，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，从而.
，
所以.
解法2：（1）以点A为原点，为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建系，
则，，，
因为D为边的中点，所以，
，所以.
（2）因为M为中线的中点，由（1）知，，
所以，
所以，，
所以.
28．（1）；（2）．
（1）因为向量，所以，
又，所以.所以向量与的夹角；
（2）因为向量，所以，
又，则，解得，所以实数的值为.
29．
（1），，则，
因为与平行，所以有，解得．
（2）因为，，，所以
，即与共线，
因此，，三点共线．
30．（Ⅰ）因为点为边中点，与交于点，且，
所以，
又点为边上一点，所以存在实数，使得，
因此，
因为，，三点共线，所以，则，
即，所以，整理得：，
又，所以，因此；
（Ⅱ）分别取，的中点，，连接，，则，，
所以，，
又，
所以
.