2020-2021学年高一下学期数学人教A版必修第二册第6章6.3平面向量基础定理及坐标表示同步练习（Word含解析）

2020-2021学年必修第二册高一数学下册第6章6.3平面向量基础定理和坐标表示同步练
一、单选题
1．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于（ ）
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
2．设，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（ ）
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
4．已知向量， 若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．边长为6的正三角形中，为中点，在线段上且，若与交于，则（ ）
A．-12 B．-9 C． D．
7．如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．3 B．2 C． D．
9．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )
A． B． C． D．
10．已知向量，若，则的最小值为（ ）.
A．12 B． C．16 D．
二、多选题
11．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影为
13．下列说法中错误的为（ ）
A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影为
D．非零向量和满足，则与的夹角为60°
14．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角为45° D．
三、填空题
15．已知，.若，，三点共线，则实数___________。
16．在中，已知D是边的中点，E是线段的中点若，则的值为______.
17．已知，，若，则m等于______.
18．在中，点满足，若存在点，使得，且，则的取值范围是______.
19．关于平面向量，，有下列三个命题：①若，则；②若，，，则；③非零向量和满足，则与的夹角为；④在中，，，，则；其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号)
四、解答题
20．在中，E、F分别是BC、DC的中点，G为交点，若，，试以为基底表示.
21．已知是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.
22．已知平面向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，与共线，求实数m的值.
23．已知向量，的夹角为，且.
（1）若，求的坐标；
（2）若，，求的最小值.
24．在三角形ABC中，，，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围；
（3）若为线段的中点，直线与相交于点，求．
25．已知向量，，且
（1）求及的值；
（2）若的最小值是，求实数的值．
参考答案
1．D
∵△DEF∽△BEA，
2．D
因为，，
所以．
3．A
在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以.又，所以，，所以.
4．A
∵， 且，
∴，即x=-4
∴
∴
5．B
由两边同时平方可得：，
整理得：，而，
解得：，
6．D
如图所示：取的中点，连接，
因为，所以为的中点.
又因为为中点，所以，即.
因为为的中点，所以为的中点.
以为坐标原点，，分别为，轴，建立直角坐标系，如图所示：
因为正三角形的边长为，
所以，，，，
，，所以.
故选：D
7．C
解：由图可得
，
所以，，
则，
8．D
点是所在平面上一点，过作，如下图所示：
由，
故，
所以与的面积之比为，
9．D
取中点,将放入平面直角坐标系中,如图所示,
则,设,
连接,则,
所以,,
所以,
易知当,时, 取得最小值,
10．B
因为，所以，所以，
又因为，
取等号时即，
所以.
11．ACD
A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．
12．BCD
由题E为AB中点，则，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，，
设，∥，
所以，解得：，
即O是CE中点，，所以选项B正确；
，所以选项C正确；
因为，，所以选项A错误；
，，
在方向上的投影为，所以选项D正确.
13．ACD
对于A，∵，，与的夹角为锐角，
∴
，
且(时与的夹角为0)，
所以且，故A错误；
对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；
对于C，若，则在方向上的正射影的数量为，故C错误；
对于D，因为，两边平方得，
则，
，
故，
而向量的夹角范围为，
得与的夹角为30°，故D项错误.
故错误的选项为ACD
14．AC
由向量，，
则，故A正确；
，故B错误；
，
又，所以与的夹角为45°，故C正确；
由，，，故D错误.
15．
三点共线，，
，
解得：.
16．；
解：由题意，，
∵
∴．
17．
，，
，解得
18．
由平面向量的减法法则可得，
所以，，
，又，，
，即，即，解得.
故答案为：.
19．②④
①若，则；取，则对于任意成立，故①错误；
②若，，，则；得到，解得，②正确；
③非零向量和满足，则与的夹角为；如图所示：形成等边三角形，与的夹角为，③错误；
④在中，，，，则；根据余弦定理得到
，，④正确；
故答案为：②④.
20．解：根据图形得：
连接BD，由条件可知G为的重心，设BD的中点为O
因此
21．
（1）设，
则，解得：或，
所以 或，
（2），
，
，
整理为，
解得：
22．
(1)，
所以；
(2)，
因为与共线，所以，解得m＝4.
23．（1）设的坐标为：，
因为向量的夹角为，且，.
所以，解得，
所以，解得，
所以.
（2）因为，
所以，
由于，所以，
所以
，
当时， 取的最小值为.
24．
（1）因为，所以，即，
所以，又，所以，
因此；
（2）因为在三角形ABC中，，，，
所以，，
因此，
设，由题意，，
所以
，
因为，所以；
（3）因为为线段的中点，所以，
因为直线与相交于点，不妨设，，
所以，
因此，
又 ，
所以，
因此，
所以，解得：，
所以.
25．
解：（1）因为向量，，
所以，
，
所以
因为，所以，
所以，
（2）由（1）可得，
令，则，
令，其图像的对称轴为直线，
则问题转化为当为何值时，函数在上有最小值，
①当时，则函数在上递增，最小值为，不合题意，舍去，
②时，则函数在上递减，在上递增，则最小值为，解得或（舍去），
③当时，则函数在上递减，最小值为，解得，不合题意，舍去，
综上，