【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册 基础知识检测5（第9章平面向量、第10章两角和与差的余弦及正弦）-

高一下学期数学基础知识检测（5）
考查知识点：苏教版必修第二册
第九章《平面向量》、第十章《两角和与差的余弦及正弦》
总分100分
时间60分钟
第I卷（选择题）
一、单选题
1．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（
）
A．单位圆
B．一段弧
C．线段
D．直线
2．已知向量满足，且，则（
）
A．
B．2
C．
D．4
3．已知向量，，若，则实数（
）
A．0
B．
C．1
D．3
4．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知是坐标原点，，有向线段绕点逆时针旋转到的位置，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2
m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10
m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（
）
A．10
m/s
B．
m/s
C．m/s
D．12
m/s
8．cos
56°cos
26°＋sin
56°cos
64°的值为（
）
A．
B．－
C．
D．－
二、多选题
9．下列各式中能化简为的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．在△ABC中，，
若△ABC是直角三角形，则k的值可能为（
）
A．－
B．
C．
D．
11．已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（　　）
A．?1
B．与的夹角为钝角
C．向量在方向上的投影为
D．2m+n＝4
12．(多选题)下列对等式的描述正确的是（
）
A．对任意的角α，β都成立
B．α=β=0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．已知向量，的夹角为30°，||＝2，||，则|2|＝__.
14．若，是两个非零向量，且，，则与的夹角取值范围是______．
15．求值：______.
16．已知，则的值为_______.
四、解答题
17．已知点A（2，3），B（6，1），O为坐标原点，P为x轴上一动点.
（1）若⊥，求点P的坐标；
（2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值.
18．已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β的值．
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4
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高一下学期数学基础知识检测（5）
考查知识点：苏教版必修第二册
第九章《平面向量》、第十章《两角和与差的余弦及正弦》
总分100分
时间60分钟
参考答案
1．A
【分析】
根据单位向量的概念，以及圆的定义，即可得出结果.
【详解】
平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是单位圆．
故选：A.
2．A
【分析】
利用向量的关系式求解向量的模，即可得到结果
【详解】
解：因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，
故选：A.
3．B
【分析】
根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得的值.
【详解】
因为向量，，且，
所以，即，
所以有，解得，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：
（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；
（2）根据向量数量积运算法则进行化简；
（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.
4．D
【分析】
利用平面向量的减法法则，将用基底表示，化简可得．
【详解】
化简得，即
故选：D
5．B
【分析】
设的坐标为，
由已知用坐标表示及可得答案.
【详解】
设的坐标为，由有向线段绕点逆时针旋转到，
可知且，可得，解得，
得点坐标是.
故选：B.
6．A
【分析】
假设是等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，求得点坐标，由此求得与的面积比.
【详解】
假设是等腰直角三角形，且是直角，，
建立如图所示平面直角坐标系，设，
则,，
依题意，
即，
，
.
所以与的面积比为.
故选：A
7．B
【分析】
根据题意，得到，结合向量的运算，即可求解.
【详解】
设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为，
则，所以，
所以，即小船在静水中的速度大小为.
故选：B.
8．C
【分析】
根据两角差的余弦公式，准确化简，即可求解.
【详解】
由
.
故选：C.
9．ABC
【分析】
根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案.
【详解】
A中.，故A正确；
B中.，故B正确；
C中.
故C正确；
D中.，故D不正确.
故选：ABC
10．ABC
【分析】
由题意，若是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.
【详解】
若为直角，则即
解得
若为直角，则即
解得
若为直角，则，即
解得
综合可得，的值可能为
故选：ABC.
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想和计算能力.
11．AD
【分析】
根据向量数量积的坐标运算计算，从而可判断A，B，代入投影公式判断C，根据向量共线列方程化简判断D.
【详解】
2×1+1×（﹣1）＝1，故A正确；
∵1＞0，∴，的夹角不是钝角，故B错误；
向量在方向上的投影为||?，故C错误；
（1，2），∵，
∴﹣n﹣2（m﹣2）＝0，∴2m+n＝4，故D正确.
故选：AD.
12．BD
【分析】
首先利用正弦两角和公式得到等式成立需满足且，即，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】
因为，
所以，解得且可使等式成立，
所以，
对选项A，因为，故A错误；
对选项B，因为，包含，故B正确；
对选项C，D，因为，所以，有无限多个，故C错误，D正确.
故选：BD
13．
【分析】
根据平面向量的数量积计算模长即可.
【详解】
解：因为向量，的夹角为30°，||＝2，||，
所以（）24422+4428，
所以||＝2.
故答案为：2.
14．
【分析】
设，则，令，以为邻边作平行四边形，则平行四边形为菱形，则与的夹角为，设，在中，由余弦定理求得的范围，得到的范围，得到答案.
【详解】
如图所示，因为，
不妨设，则，
令，以为邻边作平行四边形，则平行四边形为菱形，
则与的夹角为，设且
在中，，由
所以，因为，所以，
即向量与的夹角的取值范围是.
故答案为：.
15．
【分析】
用诱导公式变形后，再由两角差的余弦公式化简求值．
【详解】
原式＝．
故答案为：．
16．
【分析】
先由已知条件求出，再利用两角差的正弦公式求解即可
【详解】
解：因为，
所以，
，
所以
=，
故答案为：
17．（1）(3,0)或(5,0)；（2）.
【分析】
（1）根据题意设出点P(x,0)，利用坐标表示出、，根据0列方程求出x的值；
（2）由是关于x的二次函数，求出最小值对应的、的值，再求与夹角的余弦值.
【详解】
根据题意，设点P(x,0)，又A(2,3)，B(6,1)，得(x-2,-3)，(x-6,-1)，
（1）由⊥，即(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝0，解得x＝3或x＝5，
∴P的坐标为(3,0)或(5,0)；
（2）由(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝(x-4)2-1，
当x＝4时，取得最小值-1，此时(2,-3)，(-2,-1)，||，||，
∴与夹角的余弦值为：cosθ.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；
（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．
【详解】
（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），
∵，，
∴sinα，cos（α﹣β），
∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα
cos（α﹣β）+
sinα
sin（α﹣β）
，
又∵，∴β．
【点睛】
关键点点睛：拆角，是本题解题关键.
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2
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答案第!异常的公式结尾页，总11页
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1
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