6.4.3.2正弦定理（第一课时）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（20张）

(共20张PPT)
正弦定理
B
A
C
a
b
c
依条件可知，
同理可得
c=？
复习回顾：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与
AC的夹角为C，试求AB边的长c.
A
B
C
a
b
D
探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的
夹角为C，试求AB边的长c.
分析：作AD⊥BC于D
∵在Rt△ADC中，CD=bcosC
∴BD=a-bcosC
又∵AD=bsinC
∴在Rt△ADB中，
c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2
=b2sin2C+a2-2abcosC+b2cos2C
=a2+b2-2abcosC
A
B
C
a
b
D
热身：
B
2、在△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长
。
解：∵∠B＝60o，∠ADC＝150o
∴∠BDA＝30o，∠BAD＝90o，
∵BD=2
热身：
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，明
月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁
会问，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？
早在1671年，两个法国天文学家就测出了
地球与月球之间的距离大约为38
5400km。他
们是怎样测出两者之间距离的呢？
这节课就让我们一起探讨解决不可到达的距离的测量问题。
1、情景导入：
(2)设A,B两点在河的两岸,
只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?
A
B
C
C
1、情景导入：
回忆一下直角三角形的边角关系?
A
B
C
c
b
a
两等式间有联系吗？
思考:
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?
2.定理的推导
1.1.1
正弦定理
(1)当
是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
D
如图:作AB上的高是CD,根椐
三角形的定义,得到
1.1.1
正弦定理
B
A
C
a
b
c
E
且
D
(2)
若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
此时也有
交BC延长线于D,
过点A作AD⊥BC，
C
A
c
b
B
图2
(2)当
是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
所以AD=csinB=bsinC,
即
a
.
O
A
C
B
a
b
c
在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c.
作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B’，
B’
设BB’=2R.
则根据直径所对的圆周角是直角
以及同弧所对圆周角相等可以得到:
正弦定理的推论：
其中，R是△ABC的外接圆的半径
公式变形：
a
=_______，b
=________，c
=________
2RsinA
2RsinB
2RsinC
拓展：任意△ABC中，a
:
b
:
c
=_________________
sinA
:
sinB
:
sinC
sinA
>
sinB
>
sinC
特别地：
“边角互化”
练习：
1、已知△ABC中，a
=8，B=60o，C=75o，则b
=_____；
2、在△ABC中，已知a
=
，A=45o，
C=30o，
则△ABC的最小边长是_____；
10
一个常用的结论：在△ABC中，a>b>c
A>B>C
即“大边对大角，小边对小角”
B=1050
正弦定理可解决的第一类问题：
知三角形任意两角及其中一边，求其它边和角
正弦定理可解决的第二类问题：
知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它边和角
练习：
（1）在△ABC中，a=2，b=
，A=45o，求角B.
（2）在△ABC中，a=
，c=1，A=60o，解这个三角形.
变题：在△ABC中，a=2，b=
，A=135o，解这个三角形.
60o或120o
无解
例1
在
已知
,
解三角形.
通过例题你发现了什么一般性结论吗?
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利
用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
1.1.1
正弦定理
3.定理的应用举例
变式：若将a=2
改为c=2，结果如何？
例
1、
已知a=16，
b=
，
A=30°
.
解三角形
已知两边和其中一边
的对角,求其他边和角
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝60°,
或Ｂ＝120°
当
时
Ｂ＝60°
C=90°
C=30°
当Ｂ＝120°时
B
16
300
A
B
C
16
3
16
8
3
变式:
a=30,
b=26,
A=30°，解三角形
300
A
B
C
26
30
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝25.70,
或Ｂ＝1800－25.70=154.30
由于154.30
+300>1800
故B只有一解　（如图）
C=124.30,
小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出
三角形的其他的边和角。
变式:
a=30,
b=26,
A=30°，解三角形
300
A
B
C
26
30
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝25.70,
C=1800-A-B=124.30,
∵a
>
b
　∴
A
>
B
,
三角形中大边对大角
正弦定理的推论：
其中，R是△ABC的外接圆的半径
公式变形：
a
=_______，b
=________，c
=________
2RsinA
2RsinB
2RsinC
拓展：任意△ABC中，a
:
b
:
c
=_________________
sinA
:
sinB
:
sinC
sinA
>
sinB
>
sinC
特别地：
“边角互化”
作业：