6.4.3.1余弦定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件

(共21张PPT)
余弦定理
一般地，我们把三角形的三个角A、B、C和它们
的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个
元素求其他元素的过程就叫做解三角形。
B
A
C
a
b
c
依条件可知，
同理可得
c=？
探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的
夹角为C，试求AB边的长c.
A
B
C
a
b
D
你能用其他方法证明余弦定理吗？
探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的
夹角为C，试求AB边的长c.
分析：作AD⊥BC于D
∵在Rt△ADC中，CD=bcosC
∴BD=a-bcosC
又∵AD=bsinC
∴在Rt△ADB中，
c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2
=b2sin2C+a2-2abcosC+b2cos2C
=a2+b2-2abcosC
A
B
C
a
b
D
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
余弦定理：
用法：知两边及其夹角求
三角形的第三条边.
用法：知三边求三角形
的三个角.
利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：
（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角；
（2）已知三边，求三个角.
7
7
45o
练习巩固
变式：
C
B
A
b
a
c
C
B
A
b
a
c
余弦定理的运用：
450
300
变式：已知△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则
角C＝________.
变式：已知△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则
角C＝________.
答案：60°
60°
例2、三边长分别为3、7、8的三角形的形状是（
）
A.
钝角三角形
B.
直角三角形
C.
锐角三角形
D.
无法确定
A
判断三角形是锐角、直角或钝角三角形的方法：
判断最大角的余弦值的符号！
余弦定理的运用：
推广：在△ABC中，假设角A最大
（1）若A为直角，则a?
____
b?+c?
（2）若A为钝角，则a?
____
b?+c?
（3）若A为锐角，则a?
____
b?+c?
=
>
<
例3、若一钝角三角形三条边的长度分别为2、3、x，
试求x的取值范围.
解：设该三角形最大角为q
（1）若q
所对边长为3，则有
（2）若q
所对边长为x，则有
锐角
解：依题意可得
例3、若一钝角三角形三条边的长度分别为2、3、x，
试求x的取值范围.
锐角
1、在△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长
。
解：∵∠B＝60o，∠ADC＝150o
∴∠BDA＝30o，∠BAD＝90o，
∵BD=2
四、针对性练习
例3、在△ABC中，若　　　　　　，
则△ABC的形状为（　）
Ａ、钝角三角形　　　　　　Ｂ、直角三角形
Ｃ、锐角三角形　　　　　　Ｄ、不能确定
三、判断三角形的形状
三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（
）
Ａ、钝角三角形　
　　Ｂ、直角三角形
Ｃ、锐角三角形
　　　Ｄ、不能确定
A
A
【答案】A
4．在△ABC中，若a2【答案】锐角
【解析】由余弦定理及已知得
a2＝b2＋c2－2bccos
A所以－2bccos
A<0，即cos
A>0.所以A为锐角
小结：余弦公式的应用
思考：
B
作业：
思考：已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c.
（要求：不用计算器）
1、在△ABC中，已知a=
,b=2,c=
,
解三角形(依次求解A、B、C).
例2、在△ABC中，已知a=
,b=2,c=
,
解三角形(依次求解A、B、C).
解：由余弦定理得
二、已知三角函数的三边解三角形
思考：已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c.
解：由余弦定理得
练习：已知在△ABC中，a=1，b=
，B=60o，求c.
c=3