6.4.3.2正弦定理（第二课时）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（28张）

(共28张PPT)
第二课时
在任意△ABC中，各边和它所对角的正弦的比
相等，即
D
如图:作AB上的高是CD,根椐
三角形的定义,得到
复习回顾
正弦定理
B
A
C
a
b
c
E
.
O
A
C
B
a
b
c
B’
则根据直径所对的圆周角是直角
以及同弧所对圆周角相等可以得到:
因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法研究。
思考
向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦。如何实现转化？
由诱导公式
可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系。
我们希望获得
中的边a,b,c与他们所对角A,B,C的正弦之间的关系式。在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来研究。
下面先研究锐角三角形的情形。
在锐角
中，过点A作与
垂直的单位向量
，则
与
的夹角为
，
与
的夹角为
即
同理，过点C作与
垂直的单位
向量
，可得
当
是钝角三角形时
不妨设A为钝角，过点A作与
垂直的单位向量
，则
与
的夹角为
，
与
的夹角为
仿照上述方法，同样可得
正弦定理的推论：
其中，R是△ABC的外接圆的半径
公式变形：
a
=_______，b
=________，c
=________
2RsinA
2RsinB
2RsinC
拓展：任意△ABC中，a
:
b
:
c
=_________________
sinA
:
sinB
:
sinC
sinA
>
sinB
>
sinC
特别地：
“边角互化”
热身：
课前训练2、在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小.
例
1、
已知a=16，
b=
，
A=30°
.
解三角形
已知两边和其中一边
的对角,求其他边和角
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝60°,
或Ｂ＝120°
当
时
Ｂ＝60°
C=90°
C=30°
当Ｂ＝120°时
B
16
300
A
B
C
16
3
16
8
3
变式:
a=30,
b=26,
A=30°，解三角形
300
A
B
C
26
30
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝25.70,
或Ｂ＝1800－25.70=154.30
由于154.30
+300>1800
故B只有一解　（如图）
C=124.30,
小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出
三角形的其他的边和角。
变式:
a=30,
b=26,
A=30°，解三角形
300
A
B
C
26
30
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝25.70,
C=1800-A-B=124.30,
∵a
>
b
　∴
A
>
B
,
三角形中大边对大角
变式2：在△ABC中，a=2，b=
，A=135o，解这个三角形.
无解
对于任意给定的a,b,A的值，是否必能确定一个三角形?
(但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质)
二、基础知识讲解
60°
A
B
C
b
练习
a
A
C
b
A
C
b
无解
仅有一个解
A
C
b
H
a
H
H
H
a
有两个解
A
C
b
a
仅有一个解
无解
一解
有两个解
一解(B为锐角)
A
B
C
b
a
无解
A
B
C
b
一解
a
无解
一解(B为锐角)
讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解：
A为钝角或直角
A为锐角
a＞b
a≤b
a≥b
a＜bsinA
a=bsinA
b>a＞bsinA
一解
无解
一解
无解
一解
两解
A的范围
a,b关系
解的情况
（按角A分类）
不解三角形，判断三角形的个数
小结：正弦定理可解决的两类三角问题
1、知两角及一边，求其它的边和角；
2、知两边及其中一边的对角，求其它的边和角。
注意：第二种类型的问题可能有一解、两解、无解三种情况.
正弦定理的推论：
其中，R是△ABC的外接圆的半径
公式变形：
a
=_______，b
=________，c
=________
2RsinA
2RsinB
2RsinC
拓展：任意△ABC中，a
:
b
:
c
=_________________
sinA
:
sinB
:
sinC
sinA
>
sinB
>
sinC
特别地：
“边角互化”
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
①a＝bsin
A②a≥b
bsin
A＜a＜b
a＜bsin
A
a＞b
a≤b
解的个数
一解
两解
无解
一解
无解
已知两边一对角，三角形解的个数
思考：在△ABC中，已知a=bcosC，试判断△ABC的形状。
解：∵a=bcosC
∴2RsinA=2RsinBcosC，即sinA=sinBcosC
∵在△ABC中，A=p-(B+C)
∴sinA=sin[p-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
故cosBsinC=0
又∵0∴sinC>0
∴cosB=0，即B=
∴△ABC是直角三角形
（1）三角形常用公式：
（2）正弦定理应用范围：
①
已知两角和任意边，求其他两边和一角
②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角。(注意解的情况)
正弦定理：
＝
2R
课堂小结：
作业：