2020-2021学年山东省烟台市莱州市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年山东省烟台市莱州市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-23 07:03:35 | ||
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文档简介
2020-2021学年山东省烟台市莱州市九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（共12小题）.
1．如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，∠BAC＝20°，则∠ADC等于（ ）
A．40° B．60° C．65° D．70°
5．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．56° D．68°
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
9．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
10．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）
（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
11．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③c﹣4a＝1；
④b2＞4ac；
⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共6小题）.
13．若2sin（A+20°）＝，则锐角∠A＝ ．
14．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1＝（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为 ．（结果用含k的式子表示）
16．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高为12，则该圆锥的母线长AB为 ．
17．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于 ．
18．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移一个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，则抛物线C3的表达式为 ．
三、解答题（本题共7个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）
19．计算：2sin45°﹣+．
20．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴、y轴分别交于点C，D，连接OA、OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
22．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
23．某工艺品厂设计了一款每件成本为12元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
每件售价x（元） … 15 16 17 18 …
每天销售量y（件） … 150 140 130 120 …
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数关系式；
（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
24．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的表达式及C点坐标；
（2）D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
2．若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
解：∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣5＝﹣，即x1＝2，
2＝﹣，即x2＝﹣5；
5＝﹣，即x3＝﹣2，
∵﹣5＜﹣2＜2，
∴x2＜x3＜x1；
故选：C．
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，
∴AB＝2CD＝4．
∴sinB＝．
故选：C．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，∠BAC＝20°，则∠ADC等于（ ）
A．40° B．60° C．65° D．70°
解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝∠ABC＝70°，
故选：D．
5．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：sinA＝＝＝0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
6．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，不可能；
B、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，c＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的正半轴同一点，不可能；
C、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，c＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的负半轴同一点，有可能．
D、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，c＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于y轴同一点，不可能；
故选：C．
7．如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．56° D．68°
解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝68°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝68°，
∴∠COD＝44°，
∴∠AOC＝112°，
∴∠B＝∠AOC＝56°．
故选：C．
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
所以，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故选：B．
9．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，
∵DF∥x轴，
∴得矩形OFDH，
∴DF＝OH，DH＝OF，
∵E（1，0）和点F（0，1），
∴OE＝OF＝1，
∴∠OEF＝45，
∴AE＝EF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠AEG＝∠OEF＝45°，
∴AG＝AE＝，
∴EG＝2，
∵DH＝OF＝1，
∠DHG＝90°，∠DGH＝∠AGE＝45°，
∴GH＝DH＝1，
∴DF＝OH＝OE+EG+GH＝1+2+1＝4，
∴D（4，1），
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∵k＝4．
则k的值为4．
故选：C．
10．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）
（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AB?sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，
∴tan∠E＝，
∴DE≈＝2.8（m），
故选：B．
11．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（ ）
A． B． C． D．
解：∵第一个的半径是R，△AOC是等腰直角三角形，
∴OC＝OA＝R，第二个的半径是R，
同理，第三个的半径是（）2R，
∴依此类推得到第n个圆，它的半径是．
∵第n个内切圆恰好是第n+1个圆，
∴第n个内切圆，它的半径是．
故选：A．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③c﹣4a＝1；
④b2＞4ac；
⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴a＜0，b＞0，c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知，x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（2，1），
∴﹣＝2，b＝﹣4a，
∵4a+2b+c＝1，
∴4a﹣8a+c＝1，即c﹣4a＝1，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故④正确．
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，1），
∴am2+bm+c≤1（m为任意实数），故⑤正确．
故选：B．
二、填空题（本题共6个小题）.
13．若2sin（A+20°）＝，则锐角∠A＝ 40° ．
解：∵2sin（A+20°）＝，
∴sin（A+20°）＝，
故A+20°＝60°，
则锐角∠A＝40°．
故答案为：40°．
14．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤且k≠1 ．
解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤且k≠1；
故答案为：k≤且k≠1．
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1＝（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为 k﹣1 ．（结果用含k的式子表示）
解：∵D是反比例函数图象上一点
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为＝1．
∵点B在函数（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k．
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝k﹣1．
故答案为：k﹣1．
16．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高为12，则该圆锥的母线长AB为 13 ．
解：根据题意得2π×OB＝10π，
所以OB＝5，
所以AB＝＝＝13．
故答案为13．
17．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于 π ．
解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝，
∴的长为：＝π，
故答案为：π．
18．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移一个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，则抛物线C3的表达式为 y＝x2+2 ．
解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相同，顶点为（0，2），
∴抛物线C3的解析式为y＝x2+2．
故答案是：y＝x2+2．
三、解答题（本题共7个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）
19．计算：2sin45°﹣+．
解：原式＝
＝
＝．
20．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AD?AB＝2×3＝6，
∴AC＝．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴、y轴分别交于点C，D，连接OA、OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A（1，5），
∴把x＝1，y＝5代入上式并解得k＝5．
∴反比例函数的表达式为y＝．
∵点B（m，1）在y＝上，
∴m＝5．
∴B点坐标为（5，1）；
把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；
（2）当x＝0时，y＝6．
∴D点坐标为（0，6）．
∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝6×5﹣＝12．
22．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
解：作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝x，则CD＝x，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，tan30°＝，
∴，
∴AD＝x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB＝，
∴BC＝x，
∵CD+AD＝30+30，
∴x+，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60，BC＝，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
23．某工艺品厂设计了一款每件成本为12元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
每件售价x（元） … 15 16 17 18 …
每天销售量y（件） … 150 140 130 120 …
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数关系式；
（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
解：（1）设y与x的关系式为：y＝kx+b．
把x＝15，y＝150和x＝16，y＝14（0分）别代入上式，得
解得
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+300；
（2）w＝（x﹣12）（﹣10x+300）＝﹣10x2+420x﹣3600；
（3）w＝﹣10x2+420x﹣3600
＝﹣10（x﹣21）2+810，
∵﹣10＜0，
∴当x＝21时，w取得最大值，最大值为810，
∴当工艺品每件售价为21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润时810元．
24．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
解：（1）CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，
∴∠APO＝60°，
∴∠BPD＝∠APO＝60°，
∵PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴∠OBP＝∠POB＝30°，
∴OP＝PB＝PC＝1，
∴BC＝1，
∴OB＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD＝1×﹣＝﹣．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的表达式及C点坐标；
（2）D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），
把A，B两点的坐标代入关系式，得，
解得 ，
∴抛物线的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，
∴C点坐标为（0，3）；
（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，
设D点坐标为（1，m），
①当CD＝AD时，如图1，
由题意得：1+（3﹣m）2＝22+m2，
解得：m＝1，
∴D点坐标为（1，1）；
②当AC＝AD时，如图2，
由题意得：12+32＝22+m2，
解得：m＝，
∵D点在第一象限，
∴m＝，
∴D点坐标为（1，），
因此D点坐标为（1，1）或（1，）．
一、选择题（共12小题）.
1．如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，∠BAC＝20°，则∠ADC等于（ ）
A．40° B．60° C．65° D．70°
5．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．56° D．68°
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
9．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
10．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）
（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
11．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③c﹣4a＝1；
④b2＞4ac；
⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共6小题）.
13．若2sin（A+20°）＝，则锐角∠A＝ ．
14．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1＝（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为 ．（结果用含k的式子表示）
16．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高为12，则该圆锥的母线长AB为 ．
17．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于 ．
18．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移一个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，则抛物线C3的表达式为 ．
三、解答题（本题共7个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）
19．计算：2sin45°﹣+．
20．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴、y轴分别交于点C，D，连接OA、OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
22．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
23．某工艺品厂设计了一款每件成本为12元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
每件售价x（元） … 15 16 17 18 …
每天销售量y（件） … 150 140 130 120 …
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数关系式；
（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
24．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的表达式及C点坐标；
（2）D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
2．若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
解：∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣5＝﹣，即x1＝2，
2＝﹣，即x2＝﹣5；
5＝﹣，即x3＝﹣2，
∵﹣5＜﹣2＜2，
∴x2＜x3＜x1；
故选：C．
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，
∴AB＝2CD＝4．
∴sinB＝．
故选：C．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，∠BAC＝20°，则∠ADC等于（ ）
A．40° B．60° C．65° D．70°
解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝∠ABC＝70°，
故选：D．
5．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：sinA＝＝＝0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
6．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，不可能；
B、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，c＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的正半轴同一点，不可能；
C、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，c＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的负半轴同一点，有可能．
D、由一次函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，c＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于y轴同一点，不可能；
故选：C．
7．如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．56° D．68°
解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝68°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝68°，
∴∠COD＝44°，
∴∠AOC＝112°，
∴∠B＝∠AOC＝56°．
故选：C．
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
所以，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故选：B．
9．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，
∵DF∥x轴，
∴得矩形OFDH，
∴DF＝OH，DH＝OF，
∵E（1，0）和点F（0，1），
∴OE＝OF＝1，
∴∠OEF＝45，
∴AE＝EF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠AEG＝∠OEF＝45°，
∴AG＝AE＝，
∴EG＝2，
∵DH＝OF＝1，
∠DHG＝90°，∠DGH＝∠AGE＝45°，
∴GH＝DH＝1，
∴DF＝OH＝OE+EG+GH＝1+2+1＝4，
∴D（4，1），
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∵k＝4．
则k的值为4．
故选：C．
10．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）
（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AB?sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，
∴tan∠E＝，
∴DE≈＝2.8（m），
故选：B．
11．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（ ）
A． B． C． D．
解：∵第一个的半径是R，△AOC是等腰直角三角形，
∴OC＝OA＝R，第二个的半径是R，
同理，第三个的半径是（）2R，
∴依此类推得到第n个圆，它的半径是．
∵第n个内切圆恰好是第n+1个圆，
∴第n个内切圆，它的半径是．
故选：A．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③c﹣4a＝1；
④b2＞4ac；
⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴a＜0，b＞0，c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知，x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（2，1），
∴﹣＝2，b＝﹣4a，
∵4a+2b+c＝1，
∴4a﹣8a+c＝1，即c﹣4a＝1，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故④正确．
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，1），
∴am2+bm+c≤1（m为任意实数），故⑤正确．
故选：B．
二、填空题（本题共6个小题）.
13．若2sin（A+20°）＝，则锐角∠A＝ 40° ．
解：∵2sin（A+20°）＝，
∴sin（A+20°）＝，
故A+20°＝60°，
则锐角∠A＝40°．
故答案为：40°．
14．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤且k≠1 ．
解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤且k≠1；
故答案为：k≤且k≠1．
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1＝（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为 k﹣1 ．（结果用含k的式子表示）
解：∵D是反比例函数图象上一点
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为＝1．
∵点B在函数（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k．
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝k﹣1．
故答案为：k﹣1．
16．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高为12，则该圆锥的母线长AB为 13 ．
解：根据题意得2π×OB＝10π，
所以OB＝5，
所以AB＝＝＝13．
故答案为13．
17．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于 π ．
解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝，
∴的长为：＝π，
故答案为：π．
18．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移一个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，则抛物线C3的表达式为 y＝x2+2 ．
解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相同，顶点为（0，2），
∴抛物线C3的解析式为y＝x2+2．
故答案是：y＝x2+2．
三、解答题（本题共7个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）
19．计算：2sin45°﹣+．
解：原式＝
＝
＝．
20．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AD?AB＝2×3＝6，
∴AC＝．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴、y轴分别交于点C，D，连接OA、OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A（1，5），
∴把x＝1，y＝5代入上式并解得k＝5．
∴反比例函数的表达式为y＝．
∵点B（m，1）在y＝上，
∴m＝5．
∴B点坐标为（5，1）；
把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；
（2）当x＝0时，y＝6．
∴D点坐标为（0，6）．
∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝6×5﹣＝12．
22．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
解：作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝x，则CD＝x，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，tan30°＝，
∴，
∴AD＝x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB＝，
∴BC＝x，
∵CD+AD＝30+30，
∴x+，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60，BC＝，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
23．某工艺品厂设计了一款每件成本为12元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
每件售价x（元） … 15 16 17 18 …
每天销售量y（件） … 150 140 130 120 …
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数关系式；
（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
解：（1）设y与x的关系式为：y＝kx+b．
把x＝15，y＝150和x＝16，y＝14（0分）别代入上式，得
解得
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+300；
（2）w＝（x﹣12）（﹣10x+300）＝﹣10x2+420x﹣3600；
（3）w＝﹣10x2+420x﹣3600
＝﹣10（x﹣21）2+810，
∵﹣10＜0，
∴当x＝21时，w取得最大值，最大值为810，
∴当工艺品每件售价为21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润时810元．
24．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
解：（1）CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，
∴∠APO＝60°，
∴∠BPD＝∠APO＝60°，
∵PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴∠OBP＝∠POB＝30°，
∴OP＝PB＝PC＝1，
∴BC＝1，
∴OB＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD＝1×﹣＝﹣．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的表达式及C点坐标；
（2）D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），
把A，B两点的坐标代入关系式，得，
解得 ，
∴抛物线的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，
∴C点坐标为（0，3）；
（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，
设D点坐标为（1，m），
①当CD＝AD时，如图1，
由题意得：1+（3﹣m）2＝22+m2，
解得：m＝1，
∴D点坐标为（1，1）；
②当AC＝AD时，如图2，
由题意得：12+32＝22+m2，
解得：m＝，
∵D点在第一象限，
∴m＝，
∴D点坐标为（1，），
因此D点坐标为（1，1）或（1，）．
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