(共44张PPT)
阶段复习课
第一章
知识体系构建
【核心速填】
①IlBsinθ ②有效 ③左 ④运动 ⑤qvB ⑥0 ⑦左 ⑧不做功
⑨匀速圆周 ⑩______
核心考点突破
一、速度选择器类的模型分析
【典例1】(多选)目前世界上有一种新型发电机叫磁流体发电机,如图表示它的原理:将一束等离子体(包含正、负离子)喷射入磁场,在磁场中有两块金属板A、B,于是金属板上就会聚集电荷,产生电压。以下说法正确的是( )
A.B板带正电
B.A板带正电
C.其他条件不变,只增大射入速度,UAB增大
D.其他条件不变,只增大磁感应强度,UAB增大
【解析】选A、C、D。根据左手定则,正离子进入磁场受到的洛伦兹力向下,A
正确,B错误;最后,离子受力平衡有qBv=
,可得UAB=Bvd,C、D正确。
【典例2】(多选)如图所示,有一金属块放在垂直于表面C的匀强磁场中,当有稳恒电流沿平行表面C的方向通过时,下列说法中正确的是
( )
A.金属块上表面M的电势高于下表面N的电势
B.金属块上表面M的电势低于下表面N的电势
C.电流增大时,M、N两表面间的电压UH增大
D.磁感应强度增大时,M、N两表面间的电压UH减小
【解析】选B、C。金属块导电的载流子为自由电子,根据电流方向可判断,电
子向左定向移动,用左手判断电子所受的洛伦兹力可知向上,所以电子向上聚
集从而使M板的电势低于N板的电势,故A错误、B正确;随着电荷的聚集,MN两板
间的电场越来越强,电子除了受到洛伦兹力以外,还受到电场力作用。当电场
力与洛伦兹力相平衡时,上下两面间的电场恒定(电势差恒定),根据:qE=q
=qvB得:UH=Bdv。电子定向移动速率:v=
MN两板间的电压:UH=
,
由该式可知,C项正确、D项错误。
【方法技巧】
磁流体发电机和霍尔效应,都属于电场、磁场共同作用下粒子的运动,最终电场力和洛伦兹力达到平衡,从这个角度来说,这两种模型最终的情景跟速度选择器很类似。分析方法如下:
(1)先判断洛伦兹力方向,进而知道电荷向哪个方向偏转。
(2)根据电荷的偏转判断两个面电势的高低,判断电场的方向。
(3)利用最终电场力与洛伦兹力相等解决题中的问题。
【素养训练】
1.如图所示是磁流体发电机原理示意图。A、B两极板间的磁场方向垂直于纸面向里。等离子束从左向右进入板间。下列描述正确的是
( )
A.A极板电势高于B极板,负载R中电流向上
B.B极板电势高于A极板,负载R中电流向上
C.A极板电势高于B极板,负载R中电流向下
D.B极板电势高于A极板,负载R中电流向下
【解析】选C。等离子束指的是含有大量正、负离子,整体呈中性的离子流,进入磁场后,正离子受到向上的洛伦兹力向A极板偏,负离子受到向下的洛伦兹力向B极板偏,这样正离子聚集在A极板,而负离子聚集在B极板,A极板电势高于B极板,电流方向从A→R→B。
2.截面为矩形的载流金属导线置于磁场中,导线中电流方向向右,如图所示,将出现下列哪种情况
( )
A.在b表面聚集正电荷,而a表面聚集负电荷
B.在a表面聚集正电荷,而b表面聚集负电荷
C.开始通电时,电子做定向移动并向b偏转
D.两个表面电势不同,a表面电势较高
【解析】选A。金属导体靠电子导电,金属正离子并没有移动,而电流由金属导体中的自由电子的定向移动(向左移动)形成。应用左手定则,四指应指向电流的方向,让磁感线垂直穿过手心,拇指的指向即为自由电子的受力方向。也就是说,自由电子受洛伦兹力方向指向a表面一侧,实际上自由电子在向左移动的同时,受到指向a表面的作用力,并在a表面进行聚集,由于整个导体是呈电中性的(正、负电荷总量相等),所以在b的表面“裸露”出正电荷层,并使b表面电势高于a表面电势。
【补偿训练】如图所示为磁流体发电机发电原理示意图,将一束等离子体(高温下电离的气体,含有大量带正电和负电的微粒)射入磁场,磁场中有两块金属板P、Q,这时金属板上就会聚集电荷,产生电压。两金属板的板长为L1,板间距离为L2,匀强磁场的磁感应强度为B且平行于两金属板,等离子体充满两板间的空间。等离子体的初速度v与磁场方向垂直,当发电机稳定发电时,P板和Q板间电势差UPQ为(
)
A.vBL1
B.vBL2
C.
D.
【解析】选B。等离子体进入两金属板间,在洛伦兹力作用下带正电的离子向P板运动、带负电的离子向Q板运动,平行板间形成一个向下的匀强电场,并且场强越来越大,当离子受到的洛伦兹力和电场力平衡时,正负离子便做匀速直线运动通过金属板,发电机便稳定发电了。则有qE=qvB,又UPQ=EL2,可得UPQ=vBL2,选项B对。
二、安培力与力学知识的综合应用
【典例3】如图所示,光滑的平行导轨倾角为θ,处在磁感应强度为B的竖直向下的匀强磁场中,导轨中接入电动势为E、内阻为r的直流电源。电路中有一阻值为R的电阻,其余电阻不计,将质量为m、长度为L的导体棒由静止释放,求导体棒在释放瞬间的加速度的大小。
【解析】受力分析如图所示,
导体棒受重力mg、支持力FN和安培力F,
由牛顿第二定律:
mgsinθ-Fcosθ=ma
①
F=BIL
②
I=
③
由①②③式可得
a=gsinθ-
答案:gsinθ-
【方法技巧】通电导体在安培力的作用下可能处于平衡状态,也可能处于运动状态。对导体进行正确的受力分析是解决该类问题的关键。分析的一般步骤是:
(1)明确研究对象,研究对象一般是通电导体。
(2)正确进行受力分析并画出导体的受力分析图,必要时画出侧视图、俯视图等。
(3)根据受力分析确定通电导体所处的状态或运动过程。
(4)运用平衡条件或动力学知识列式求解。
【素养训练】
1.(多选)如图所示,在倾角为α的光滑斜面上,垂直斜面放置一根长为L、质量为m的直导体棒,当通以图示方向电流I时,欲使导体棒静止在斜面上,可加一平行于纸面的匀强磁场,当外加匀强磁场的磁感应强度B的方向由垂直斜面向上沿逆时针方向转至水平向左的过程中,下列说法中正确的是
( )
A.此过程中磁感应强度B逐渐增大
B.此过程中磁感应强度B先减小后增大
C.此过程中磁感应强度B的最小值为
D.此过程中磁感应强度B的最大值为
【解析】选A、C。导体棒受重力、支持力、安培力作用而处于平衡状态,当外
加匀强磁场的磁感应强度B的方向由垂直斜面向上逆时针转至水平向左的过程
中,安培力由沿斜面向上转至竖直向上,导体棒受力的动态变化如图所示,由图
知安培力逐渐增大,即此过程中磁感应强度B逐渐增大,选项A正确,选项B错误;
刚开始安培力F最小,有sinα=
,所以此过程中磁感应强度B的最小值为
选项C正确;最后安培力最大,有F=mg,即此过程中磁感应强度B的最大值为
选项D错误。
2.(多选)在同一光滑斜面上放同一导体棒,如图所示是两种情况的剖面图。它们所处空间有磁感应强度大小相等的匀强磁场,但方向不同,一次垂直斜面向上,另一次竖直向上,两次导体棒A分别通有电流I1和I2,都处于静止平衡。已知斜面的倾角为θ,则
( )
A.I1∶I2=cosθ∶1
B.I1∶I2=1∶1
C.导体棒A所受安培力大小之比F1∶F2=sinθ∶cosθ
D.斜面对导体棒A的弹力大小之比FN1∶FN2=cos2
θ∶1
【解析】选A、D。分别对导体棒受力分析,如图,
利用平衡条件即可求解
第一种情况:F1=BI1L=mgsinθ,FN1=mgcosθ
解得:I1=
第二种情况:F2=BI2L=mgtanθ,FN2=
解得:I2=
所以
=cosθ,
=cos2θ
可见,A、D正确,B、C错误。
三、带电粒子在电场中的“电偏转”与在磁场中的“磁偏转”的区别
【典例4】如图所示,在虚线所示的宽度范围内,用场强为E的匀强电场可使以初速度v0垂直于电场入射的某种正离子偏转θ角。在同样宽度范围内,若改用方向垂直于纸面向外的匀强磁场,使该离子穿过磁场区域的偏转角度也为θ,则匀强磁场的磁感应强度大小为多少?
【解析】设电场区域的宽度为d,带电离子在电场中做类平抛运动。
离子在电场中的加速度为a=
沿电场方向的分速度为vy=at=
因为偏转角为θ,故有tanθ=
解得:d=
离子在磁场中做匀速圆周运动,
qv0B=m
圆半径R=
由图可得:sinθ=
由以上各式简化得:B=
。
答案:
【方法技巧】磁偏转和电偏转对比分析
【素养训练】
如图所示,带电粒子(不计重力)以初速度v0从a点进入匀强磁场,运动过程中经过b点,Oa=Ob。若撤去磁场加一个与y轴平行的匀强电场,带电粒子仍以速度v0从a点进入电场,仍能通过b点,则电场强度E和磁感应强度B的比值为( )
A.v0
B.
C.2v0
D.
【解析】选C。设Oa=Ob=d,因带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,所以圆
周运动的半径正好等于d,即d=
,得B=
。如果换成匀强电场,带电粒子
做类平抛运动,那么有d=
,得E=
,所以
=2v0。选项C正确。
四、带电粒子在复合场中的运动
【典例5】如图所示,竖直平面内,匀强电场方向水平向右,匀强磁场方向垂直于纸面向里,一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v与磁场方向垂直,与电场方向成45°角射入复合场中,恰能做匀速直线运动,求电场强度E和磁感应强度B的大小。(重力加速度为g)
【解析】假设粒子带负电,则其所受电场力方向水平向左,洛伦兹力方向斜向右下方与v垂直,可以从力的平衡条件判断出这样的粒子不可能做匀速直线运动,所以粒子应带正电荷,受力情况如图所示。
根据合外力为零得
mg=qvBsin45°
qE=qvBcos45°
联立以上两式可得B=
,E=
。
答案:
【方法技巧】带电粒子在复合场中运动问题的分析方法
(1)带电粒子在组合场中的运动:
①要依据粒子运动过程的先后顺序和受力特点辨别清楚在电场中做什么运动,在磁场中做什么运动。
②带电粒子在组合场中的运动的解题思路:
(2)带电粒子在叠加场中的运动:
①当带电粒子(带电体)在叠加场中做匀速运动时,根据平衡条件列方程求解。
②当带电粒子(带电体)在叠加场中做匀速圆周运动时,往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程求解。
③当带电粒子(带电体)在叠加场中做非匀变速曲线运动时,常选用动能定理或能量守恒定律列方程求解。
【素养训练】
1.(多选)一个带电微粒在如图所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动,重力不可忽略,已知圆的半径为r,电场强度的大小为E,磁感应强度的大小为B,重力加速度为g,则
( )
A.该微粒带正电
B.带电微粒沿逆时针旋转
C.带电微粒沿顺时针旋转
D.微粒做圆周运动的速度为
【解析】选B、D。带电微粒在重力场、匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动,可知,带电微粒受到的重力和电场力是一对平衡力,重力竖直向下,所以电场力竖直向上,与电场方向相反,故可知带电微粒带负电荷,A错误;磁场方向向外,洛伦兹力的方向始终指向圆心,由左手定则可判断微粒的旋转方向为逆时针(四指所指的方向与带负电的微粒的运动方向相反),B正确,C错误;由微粒做匀速圆周运动,得知电场力和重力大小相等,得:mg=qE
①
带电微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动的半径为:
r=
②
联立①②得:v=
,D正确。
2.(多选)如图所示,某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场,电场方向水平向右,磁场方向垂直纸面向里,一带电微粒从a点进入场区并刚好能沿ab直线向上运动,不可忽略重力,下列说法中正确的是
( )
A.微粒一定带负电
B.微粒的动能一定减小
C.微粒的电势能一定增加
D.微粒的机械能一定增加
【解析】选A、D。微粒进入场区后沿直线ab运动,则微粒受到的合力为零,或者合力方向在ab直线上(
垂直于运动方向的合力仍为零)。若微粒所受合力不为零,则必然做变速运动,由于速度的变化会导致洛伦兹力变化,则微粒在垂直于运动方向上的合力不再为零,微粒就不能沿直线运动,因此微粒所受合力只能为零而做匀速直线运动;若微粒带正电,则受力分析如图甲所示,合力不可能为零,故微粒一定带负电,受力分析如图乙所示,故A正确,B错误;静电力做正功,微粒电势能减小,机械能增加,故C错误,D正确。
3.在平面直角坐标系xOy中,第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场,第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场,磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场,经x轴上的N点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场,最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场,如图所示。不计粒子重力,求:
(1)M、N两点间的电势差UMN;
(2)粒子在磁场中运动的轨道半径r;
(3)粒子从M点运动到P点的总时间t。
【解析】粒子在电场中做类平抛运动,在磁场中做匀速圆周运动,两者的衔接点是N点的速度。
(1)设粒子过N点时的速度为v,
有
=cosθ,v=2v0。
粒子从M点运动到N点的过程,
有qUMN=
所以UMN=
。
(2)如图所示,粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周运动,半径为O′N,
有qvB=
,
所以r=
(3)由几何关系得ON=rsinθ,
设粒子在电场中运动的时间为t1,
有ON=v0t1,
所以t1=
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=
,
设粒子在磁场中运动的时间为t2,
有t2=
所以t=t1+t2=
。
答案:
【补偿训练】
如图所示装置中,区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场,
电场强度分别为E和
;Ⅱ区域内有垂直平面向外的水平匀强磁场,磁感应强
度为B。一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)从左边界O点正上方的M
点以速度v0水平射入电场,经水平分界线OP上的A点与OP成60°角射入Ⅱ区域的
磁场中,并垂直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强电场中。求:
(1)粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨迹半径;
(2)O、M间的距离;
(3)粒子从M点出发到第二次通过CD边界所用的时间。
【解析】(1)粒子在匀强电场中做类平抛运动,
设粒子过A点时速度为v,
由类平抛运动规律知v=
=2v0
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,
由牛顿第二定律得Bqv=m
所以R=
。
(2)设粒子在Ⅰ区域电场中运动时间为t1,加速度为a。
则有qE=ma
v0tan60°=at1
即t1=
O、M两点间的距离为
L=
(3)如图所示,设粒子在Ⅱ区域磁场中运动时间为t2。
则由几何关系知
t2=
设粒子在Ⅲ区域电场中运动时间为t3,
a′=
则t3=2·
粒子从M点出发到第二次通过CD边界所用时间为
t=t1+t2+t3=
答案:(共59张PPT)
3.带电粒子在匀强磁场中的运动
课前自主学习
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)运动轨迹:
带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时:
①当v∥B时,带电粒子将做_________运动。
②当v⊥B时,带电粒子将做_________运动。
匀速直线
匀速圆周
(2)圆周运动的轨道半径和周期:
洛伦兹力提供向心力,即qvB=
。
①轨道半径r=_______。
②运动周期T=
=______。带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期与粒子
的_________和_____无关。
运动速率
半径
2.带电粒子在有界匀强磁场中的运动
(1)运动轨迹是一段圆弧。
(2)对圆弧的研究方法:_________、_________。
(3)带电粒子在有界磁场中的运动时间:t=
T=
。
寻找圆心
确定半径
课堂合作探究
主题一 带电粒子在匀强磁场中的运动
【实验情境】
如图所示,观察洛伦兹力演示仪,当不存在磁场时观察电子的径迹,加上磁场之后,再观察电子的径迹。利用“洛伦兹力演示仪”观察电子束在磁场中的运动。
【问题探究】
(1)不加磁场时,电子束的运动轨迹有什么特点?
提示:不加磁场时,电子枪射出的电子做匀速直线运动,径迹是一条直线。
(2)给励磁线圈通电,在玻璃泡中产生沿两线圈中心轴线方向、由内指向外的匀强磁场时,电子束的径迹有什么特点?原因是什么?
提示:径迹为圆周,原因是电子所受洛伦兹力的方向与速度方向垂直,不改变速度的大小,只改变速度的方向,洛伦兹力提供向心力,所以电子做匀速圆周运动。
(3)保持电子束进入磁场的速度不变,改变磁感应强度的大小,电子束的径迹有什么变化?说明了什么?
提示:磁感应强度越大,半径越小,磁感应强度越小,半径越大,说明匀速圆周运动的半径与磁感应强度的大小有关。
(4)保持磁感应强度的大小不变,改变电子束进入磁场的速度,电子束的径迹有什么变化?说明了什么?
提示:速度越大,半径越大,速度越小,半径越小,说明匀速圆周运动的半径与速度的大小有关。
【结论生成】
1.洛伦兹力的特点:(物理观念)
由于洛伦兹力的方向总是与速度方向垂直,故洛伦兹力对粒子不做功。
2.带电粒子在匀强磁场中的运动:(科学思维)
(1)运动特点:沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子,在磁场中做匀速圆周运动。洛伦兹力提供向心力。
(2)半径和周期公式:
由洛伦兹力提供向心力,
即qvB=m
,
可得r=
。
周期T=
由此可知带电粒子做匀速圆周运动的周期与速率v和半径r无关。
【典例示范】
【典例1】(多选)在匀强磁场中,一个带电粒子做匀速圆周运动,如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度2倍的匀强磁场中做匀速圆周运动,重力不计,则
( )
A.粒子的速率加倍,周期减半
B.粒子的速率不变,轨道半径减半
C.粒子的速率减半,轨道半径变为原来的
D.粒子的速率不变,周期减半
【解析】选B、D。由r=
可知,磁场的磁感应强度加倍,带电粒子运动的半径
减半,洛伦兹力不做功,带电粒子的速率不变,由T=
可知,带电粒子运动的周
期减半,故B、D选项正确。
【典例2】质量和电荷量都相等的带电粒子M和N,以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场,运行的半圆轨迹如图中虚线所示。下列表述正确的是
( )
A.M带负电,N带正电
B.M的速率小于N的速率
C.洛伦兹力对M、N做正功
D.M的运行时间大于N的运行时间
【解析】选A。根据左手定则可知N带正电,M带负电,A正确;因为r=
,而M的半
径大于N的半径,所以M的速率大于N的速率,B错误;洛伦兹力不做功,C错误;M和N
的运行时间都为t=
,D错误。故选A。
【探究训练】
1.如图所示,水平导线中有电流I通过,导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同,则电子将
( )
A.沿路径a运动,轨迹是圆
B.沿路径a运动,轨迹半径越来越大
C.沿路径a运动,轨迹半径越来越小
D.沿路径b运动,轨迹半径越来越小
【解析】选B。由左手定则可判断电子运动轨迹向下弯曲,又由r=
知,B减
小,r越来越大,故电子的径迹是a。故选B。
2.p质子(
)和α粒子(
)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动,
轨道半径分别为Rp和Rα,周期分别为Tp和Tα,则下列选项正确的是
( )
A.Rp∶Rα=1∶2 Tp∶Tα=1∶2
B.Rp∶Rα=1∶1 Tp∶Tα=1∶1
C.Rp∶Rα=1∶1 Tp∶Tα=1∶2
D.Rp∶Rα=1∶2 Tp∶Tα=1∶1
【解析】选A。质子(
)和α粒子(
)带电荷量之比qp∶qα=1∶2,质量之比
mp∶mα=1∶4。由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动规律,R=
,T=
,
粒子速率相同,代入q、m可得Rp∶Rα=1∶2,Tp∶Tα=1∶2,故选项A正确。
【补偿训练】
如图所示,ab是一弯管,其中心线是半径为R的一段圆弧,将它置于一给定的匀强磁场中,方向垂直纸面向里。有一束粒子对准a端射入弯管,粒子的质量、速度不同,但都是一价负粒子,则下列说法正确的是
( )
A.只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
B.只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
C.只有质量和速度乘积大小一定的粒子可以沿中心
线通过弯管
D.只有动能大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
【解析】选C。由r=
可知,在粒子处于相同的磁场和带有相同的电荷量的情
况下,粒子做圆周运动的半径取决于粒子的质量和速度的乘积。
主题二 带电粒子在有界磁场中的运动
任务1 探究带电粒子在有界磁场中的运动
【实验情境】
有界磁场主要包括:单边界的有界磁场(图甲)、双边界的有界磁场(图乙),圆形有界磁场(图丙)。
【问题探究】
(1)带电粒子垂直进入有界磁场运动,有无边界对带电粒子的运动有什么影响?
提示:粒子在有界磁场由于洛伦兹力会做匀速圆周运动,由于磁场边界的影响,运动轨迹可能不再是一个整圆,而是一段圆弧。
(2)带电粒子在有界磁场中运动的这段圆弧应该如何分析?
提示:对于圆弧的分析主要有,找到这段圆弧的圆心、求出圆弧对应的半径,寻找这段圆弧对应的运动时间。
任务2 探究圆形有界磁场的几何关系
【实验情境】
如图所示,一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子沿着磁感应强度为B的圆形有界磁场圆心的方向射入磁场(如图),圆形有界磁场的半径为r,在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。
【问题探究】
(1)画出带电粒子的运动轨迹(圆弧),它有什么特点?
提示:用左手定则判断洛伦兹力的方向,也就是圆心所在的直线。画出圆弧所对应的圆,如图所示,
由图中可知,两个圆相交,圆形磁场的半径正好是圆周运动的切线方向,也就是说粒子对着磁场圆心的方向(AO)射入磁场,离开磁场的方向也正好沿着背离磁场圆心的方向(OB)。
(2)如果带电粒子运动圆弧所对的圆心角为θ,试分析带电粒子运动的轨迹半径
和在磁场中的运动时间?
提示:带电粒子穿过圆形磁场区域,画出运动轨迹,画好辅助线(如半径、速度、
轨迹圆的圆心、连心线、偏转角等),由学过的几何知识可以得出,△OAO′
≌△OBO′。
圆形磁场的半径为r,图中粒子做圆周运动的偏转角为θ、由几何关系可知,运动
轨迹对应的圆心角也等于θ,由图可知,圆周运动的半径:R=
运动时间:
t=
【结论生成】
1.带电粒子在有界磁场中的运动分析方法(科学思维)
(1)圆心的确定方法:两线定一点
①圆心一定在垂直于速度的直线上。
如图甲所示,已知入射点P和出射点M的速度方向,可通过入射点和出射点作速度的垂线,两条直线的交点就是圆心。
②圆心一定在弦的中垂线上。
如图乙所示,作P、M连线的中垂线,与其中一个速度的垂线的交点为圆心。
(2)半径的确定:
半径的计算一般利用几何知识解直角三角形。做题时一定要作好辅助线,由圆
的半径和其他几何边构成直角三角形。由直角三角形的边角关系或勾股定理求
解。
(3)粒子在磁场中运动时间的确定:
①粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时,
其运动时间t=
T(或t=
T)。
②当v一定时,粒子在磁场中运动的时间t=
,l为带电粒子通过的弧长。
2.带电粒子在磁场中运动的临界极值问题(科学思维)
借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点,然后利用数学方法求解极值。
注意:(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速度v一定时,弧长(或弦长)越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时,圆心角大的,运动时间长。
【典例示范】
【典例1】如图所示,有界匀强磁场边界线SP∥MN,速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场。其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直;穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角,设粒子从S运动到a、b所需时间分别为t1和t2,则t1∶t2为(重力不计)
( )
A.1∶3 B.4∶3
C.1∶1 D.3∶2
【解析】选D。如图所示,
可求出从a点射出的粒子对应的圆心角为90°。从b点射出的粒子对应的圆心角
为60°。由t=
T,可得:t1∶t2=3∶2,故选D。
【典例2】(2020·全国Ⅲ卷)真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为
( )
【解析】选C。电子从圆心沿半径方向进入磁场后做匀速圆周运动,为使该电子
的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,做匀速圆周运动的半径最大值为r,如
图所示,由勾股定理可得a2+r2=(3a-r)2,解得r=
a,由洛伦兹力提供向心力
qvB=m
得磁场的磁感应强度最小值B=
,故选C。
【典例3】一磁场宽度为L,磁感应强度为B,如图所示,一质量为m、电荷量为-q,不计重力的带电粒子,以某一速度(方向如图)射入磁场。若不使其从右边界飞出,则粒子的速度应为多大?
【解析】若要粒子不从右边界飞出,当达到最大速度时运动轨迹如图,
由几何知识可求得半径r,即r+rcosθ=L,
r=
,又Bqv=
,
所以v=
答案:v≤
【探究训练】
1.如图所示,MN为铝质薄平板,铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)。一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出,从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时,其动能损失一半,速度方向和电荷量不变。不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为
( )
A.2
B.
C.1
D.
【解析】选D。设带电粒子在P点时初速度为v1,从Q点穿过铝板后速度为v2,则
Ek1=
,Ek2=
;由题意可知Ek1=2Ek2,即
,则
。由洛伦
兹力提供向心力,即qvB=
,得r=
,由题意可知
,所以
故选项D正确。
2.如图所示,正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域,当速度大小为vb时,从b点离开磁场,在磁场中运动的时间为tb,当速度大小为vc时,从c点离开磁场,在磁场中运动的时间为tc,不计粒子重力。则
( )
A.vb∶vc=1∶2,tb∶tc=2∶1
B.vb∶vc=2∶1,tb∶tc=1∶2
C.vb∶vc=2∶1,tb∶tc=2∶1
D.vb∶vc=1∶2,tb∶tc=1∶2
【解析】选A。带正电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,
运动轨迹如图所示,
由几何关系得,rc=2rb,θb=120°,θc=60°,由qvB=m
得,v=
,则vb∶vc=
rb∶rc=1∶2,
又由T=
、t=
T和θb=2θc得tb∶tc=2∶1,故选项A正确,B、
C、D错误。
3.(多选)(2020·天津等级考)如图所示,在xOy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里,磁感应强度大小为B的匀强磁场,一带电粒子从y轴上的M点射入磁场,速度方向与y轴正方向的夹角θ=45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM=a,粒子电荷量为q,质量为m,重力不计。则
( )
A.粒子带负电
B.粒子速度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D.N与O点相距(
+1)a
【解析】选A、D。由题意可画出粒子的运动轨迹如图所示,通过左手定则可知,
粒子带负电,故A正确;在三角形OMO′中,由几何关系可知粒子运动半径为
a,
又Bqv=m
,可知v=
,故B、C错误;由几何关系得,ON=r+
r=(
+1)a,
故D正确。
4.(2019·全国卷Ⅰ)如图,在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后,沿平行于x轴的方向射入磁场;一段时间后,该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点,N点在y轴上,OP与x轴的夹角为30°,粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d,不计重力。求:
(1)带电粒子的比荷。
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
【解析】(1)设带电粒子的质量为m,电荷量为q,加速后的速度大小为v。由动能
定理有
qU=
mv2
①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qvB=m
②
由几何关系知d=
r
③
联立①②③式得
④
(2)由几何关系知,带电粒子从射入磁场到运动到x轴所经过的路程为
s=
+rtan
30°
⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t=
⑥
解得t=
⑦
答案:(1)
(2)
【补偿训练】
(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,板间距离也为l,板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是
( )
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度
【解析】选A、B。如图所示,带电粒子刚好打在极板右边缘时,
有
又r1=
,
所以v1=
粒子刚好打在极板左边缘时,
有r2=
v2=
综合上述分析可知,选项A、B正确。
【课堂小结】
1.(多选)运动电荷进入磁场后(无其他力作用)可能做
( )
A.匀速圆周运动
B.匀速直线运动
C.匀加速直线运动
D.平抛运动
【解析】选A、B。若运动电荷垂直于磁场方向进入匀强磁场,则做匀速圆周运动;若运动方向和匀强磁场方向平行,则做匀速直线运动,故A、B正确;由于洛伦兹力不做功,故电荷的动能和速度不变,C错误;由于洛伦兹力是变力,故D错误。
课堂素养达标
2.(多选)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍。两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动。与Ⅰ中运动的电子相比,Ⅱ中的电子
( )
A.运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍
B.加速度的大小是Ⅰ中的k倍
C.做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍
D.做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等
【解析】选A、C。设电子的质量为m,速率为v,电荷量为q,
则由牛顿第二定律得:qvB=
①
T=
②
由①②得:R=
,T=
所以
根据
可知
,所以选项A、C正确,B、D错误。
3.如图所示,在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场,一对正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场,则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为
( )
A.1∶2
B.2∶1
C.1∶
D.1∶1
【解析】选B。正、负粒子在磁场中运动轨迹如图所示,
正粒子做匀速圆周运动,在磁场中的部分对应圆心角为120°,负粒子做匀速圆周运动,在磁场中的部分对应圆心角为60°,故时间之比为2∶1。故选B。
4.(2019·全国卷Ⅲ)如图,在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分
别为
B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)
的粒子垂直于x轴射入第二象限,随后垂直于y轴进入第一象限,最后经过x轴离开
第一象限。粒子在磁场中运动的时间为
( )
【解析】选B。带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,由R=
可知,第一象限粒子
的运动半径是第二象限的运动半径的二倍,整个运动轨迹如图:
即运动由两部分组成,第一部分是
个周期,第二部分是
个周期,故总时间
t=
,故B正确。
5.如图,一个质量为m,电荷量为-q,不计重力的带电粒子从x轴上的P(a,0)点以速度v,沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并恰好垂直于y轴射出第一象限,求:
(1)匀强磁场的磁感应强度B;
(2)带电粒子穿过第一象限的时间。
【解析】(1)作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹,由图中几何关系知:
Rcos30°=a,得R=
Bqv=m
,得B=
(2)带电粒子在第一象限内运动时间
t=
答案:(1)
(2)
【补偿训练】
在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内,存在磁感应强度大小为B、方向
垂直于纸面向里的匀强磁场,如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与
x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场,它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿
+y方向飞出。
(1)请判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷
;
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为B′,该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角,求磁感应强度B′多大?此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少?
【解析】(1)由粒子的运动轨迹(如图),利用左手定则可知,该粒子带负电荷。
粒子由A点沿-x方向射入,由C点沿+y方向飞出,其速度方向改变了90°,则粒子轨
迹半径R=r,
又qvB=m
,
则粒子的比荷
。
(2)设粒子从D点飞出磁场,速度方向改变了60°角,故AD弧所对圆心角为60°,
粒子做圆周运动的半径R′=
又R′=
,所以B′=
B,
粒子在磁场中运动所用时间
t=
答案:(1)负电荷
(2)
