(共22张PPT)
人教版
八年级数学下册
18.2.2
菱形（第2课时）
1.掌握菱形的判定定理及证明方法。
2.能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算。
3.经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比、转化数学思想。
学习重点：菱形判定条件的探索、证明和应用．
学习目标
矩形
菱形
定义
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形的性质
性质
边
角
对角线
四个角都是直角
相等
互相垂直且平分每一组对角
判定
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
四条边都相等
？
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？
定义
回顾旧知
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
还有其他的判定方法吗?
根据菱形的定义,可得菱形的判定方法1
∵四边形ABCD是平行四边形
且AB=BC
∴
四边形ABCD是菱形
几何语言：
知识回顾
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
平行四边形
转动木条,你有什么发现?
新知探究1
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在
中，AC和BD相交于点O，
AC
⊥
BD
ABCD
ABCD
求证：
是菱形
证明：
∴
ABCD是菱形
又∵
AC
⊥
BD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
OA=OC
∴∴∴
BA=BC
A
B
C
D
O
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC
⊥
BD
∴
ABCD是菱形
∴
BD垂直平分AC
新知探究1
如图，
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=
5
，AC=8，DB=6
求证:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
?ABO是直角三角形
分析：
要证四边形ABCD是菱形
只需AC┴BD或一组邻边相等
ABCD
例题讲解
如图
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5
，AC=8，DB=6
求证:四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
∴四边形ABCD是菱形.
∴OA=
AC=4
OB=
DB=3
证明:
∵AB=5
∴
即AC⊥BD
∴∠AOB=
90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∵
四边形ABCD是平行四边形
(平行四边形的对角线互相平分)
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
例题讲解
类比学习平行四边形和矩形的判定过程，研究菱形性质定理的逆命题,你能找到菱形判定的其他方法吗？
猜想：四条边都相等的四边形是菱形
菱形的边特有性质：菱形的四条边相等
新知探究2
命题：
有四条边相等的四边形是菱形。
几何语言:
已知：在四边形ABCD中，
AB=BC=CD=DA
求证：四边形ABCD是菱形
证明:
∴四边形ABCD是菱形
∵
在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵AD=BC
AB=CD
又∵AB=AD
定理：
有四条边相等的四边形是菱形。
A
B
C
D
∴四边形ABCD是平行四边形
新知探究2
文字语言
图形语言
几何语言
判定
方法1
判定
方法2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
判定
方法3
四边相等的四边形是菱形
菱形的判定：
A
B
C
D
在四边形ABCD中
∵AB=BC=CD=DA
∴□ABCD是菱形
在□ABCD中
∵AC⊥BD
∴□ABCD是菱形
在□ABCD中
∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
O
A
B
C
D
一组邻边相等的平行四边形是菱形
D
B
C
小结归纳
+邻边相等
=
+对角线互相垂直=
四条边相等+
=
1
2
3
菱形常用的判定方法
小结归纳
1.判断
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
2.一边长为13cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和10cm，那么平行四边形的面积是
.
120cm2
A:基础训练：
方法小结：菱形面积=底×高=对角线乘积的一半
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
学以致用
A
B
C
D
O
E
3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE∥BD.
求证：四边形OCED是菱形
证明：∵DE∥AC，
CE∥BD
∴四边形OCED是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形
∴OC=OD
∴四边形OCED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形)
A:基础训练：
学以致用
A:基础训练：
分析：
欲证四边形AFCE是菱形
四边形AFCE是平行四边形
需证一组邻边相等或对角线互相垂直
4.如图,已知平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形
B
C
D
E
F
A
O
1
2
EF⊥AC
对角线互相平分OA=OC，OE=OF
△AOE≌△COF
学以致用
4.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形
B
C
D
E
F
A
O
1
2
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，∴AO
=
OC
.
又∵
∠AOE
=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO
=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
A:基础训练：
方法小结：要根据已知条件选择适当的判定定理进行推理。
又∵EF⊥AC
∴
四边形AFCE是菱形.
（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
学以致用
证△ABE≌△ADF，AB=AD
D
C
B
A
E
F
还有其他证明邻边相等方法吗？
菱形的面积=BC?AE=CD?AF,BC=CD
方法小结：运用面积相等解决问题
B:能力训练：
分析：
欲证四边形ABCD是菱形
需证四边形ABCD是平行四边形
需证一组邻边相等或对角线互相垂直
AB∥CD,AD∥BC
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？
学以致用
D
C
B
A
E
F
B:能力训练：
解：四边形ABCD是菱形
理由：过A点作AE⊥BC与点E，AF⊥CD与点F
∵AB∥CD
AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵菱形的面积=BC·AE=CD·AF，
又∵
AE=AF
∴
BC=CD
∴四边形ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)
学以致用
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
1.菱形的判定方法：
2.数学思想：类比、转化
课堂小结
1.下列命题中正确的是（
）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
2.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（
）
A.
AC⊥BD,
AC与BD互相平分
B.
AB=BC=CD=DA
C.
AB=BC,
AD=CD,
且AC⊥BD
D.
AB=CD,
AD=BC,
AC⊥BD
课后巩固
3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
课后巩固
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
18.2.2
菱形（第2课时）菱形的判定
同步练习
一、选择题
1．（2020秋?建平县期末）如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是
A．
B．
C．
D．
2．（2020秋?南岸区期末）下列说法正确的是
A．对角线相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
3．（2020秋?秦都区期末）如图，在四边形中，对角线、互相平分，若添加一个条件使得四边形是菱形，则这个条件可以是
A．
B．
C．
D．
4．（2020秋?海淀区校级月考）如图平行四边形中，，．，分别是边和的中点，于点，则
A．
B．
C．
D．
5．（2020春?定襄县期末）如图中，平分，交于，交于，若，则四边形的周长是
A．24
B．32
C．40
D．48
二、填空题
6．（2020春?沈河区期末）如图，已知四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形．这个条件为
．
7．顺次连接四边形各边中点形成一个菱形，则原四边形对角线、的关系是
．
8．（2020秋?南山区校级期末）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形的周长为
．
9．（2020?玉田县一模）如图，①以点为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点、；②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；
③分别连接、、．若，则的大小为
．
10．（2020?清远一模）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，当线段时，线段的长为
．
三、解答题
11．（2020秋?太原期末）如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接，求证：四边形是菱形．
12．（2020秋?郑州期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，在上，且．
（1）求证：；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．
13．（2020秋?萍乡期末）如图，在中，，点是中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作于点，，，求的长．
14．（2020秋?松北区期末）在四边形中，对角线、相交于点，且垂直平分，平分．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，过点作，交延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形除外）．
15．（2020秋?宝安区期末）如图，四边形是平行四边形对角线，交于点，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
18.2.2
菱形（第2课时）菱形的判定
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?建平县期末）如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：能判定四边形是菱形的是，理由如下：
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，
故选：．
2．（2020秋?南岸区期末）下列说法正确的是
A．对角线相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【解析】解：．对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
．四条边相等的四边形是菱形，故符合题意；
．一组邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意；
．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不符合题意；
故选：．
3．（2020秋?秦都区期末）如图，在四边形中，对角线、互相平分，若添加一个条件使得四边形是菱形，则这个条件可以是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：添加一个条件为，理由如下：
四边形中，对角线、互相平分，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
故选：．
4．（2020秋?海淀区校级月考）如图平行四边形中，，．，分别是边和的中点，于点，则
A．
B．
C．
D．
【解析】解：平行四边形中，，
四边形为菱形，
，，
，分别为，的中点，
，，
，
，
故选：．
5．（2020春?定襄县期末）如图中，平分，交于，交于，若，则四边形的周长是
A．24
B．32
C．40
D．48
【解析】解：，，
四边形为平行四边形，，
平分，
，
，
平行四边形为菱形．
，
四边形的周长．
故选：．
二、填空题
6．（2020春?沈河区期末）如图，已知四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形．这个条件为 ．
【解析】解：添加，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可使它成为菱形．
7．顺次连接四边形各边中点形成一个菱形，则原四边形对角线、的关系是 ．
【解析】解：为菱形
又、、、为四边中点
，
．
故答案为．
8．（2020秋?南山区校级期末）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形的周长为 ．
【解析】解：由题意得：矩形矩形，
，，，，，
四边形是平行四边形，
平行四边形的面积，
，
四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
四边形的周长，
故答案为：．
9．（2020?玉田县一模）如图，①以点为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点、；②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；
③分别连接、、．若，则的大小为 ．
【解析】解：由题意可得：，
四边形是菱形，
，，
，
故答案为：．
10．（2020?清远一模）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，当线段时，线段的长为 5 ．
【解析】解：由条件可知，，
四边形为平行四边形，
．
故答案为：5．
三、解答题
11．（2020秋?太原期末）如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接，求证：四边形是菱形．
【解析】证明：，
，
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中，
，
；
．
，
．
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形．
12．（2020秋?郑州期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，在上，且．
（1）求证：；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：补充的条件是：．
证明：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
13．（2020秋?萍乡期末）如图，在中，，点是中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作于点，，，求的长．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，点是的中点，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
．
14．（2020秋?松北区期末）在四边形中，对角线、相交于点，且垂直平分，平分．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，过点作，交延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形除外）．
【解析】（1）证明：垂直平分，
，，
平分，
，
又，，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
图中所有与面积相等的三角形有，，，．
15．（2020秋?宝安区期末）如图，四边形是平行四边形对角线，交于点，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接，交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
