(共27张PPT)
华师大版
八下数学
18.2.2平行四边形的判定
回顾旧知
1.同学们，我们学行四边形的判定方法，它们有哪些呢？请大家忆一忆，并请一位同学回答。
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
情景导入
某装饰店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一块平行四边形的玻璃，你能否利用手头工具，一长一短的两根小木棒，画出一个平行四边形玻璃，并说明这块玻璃符合顾客要求的道理。”你能为招聘人员设计一方案吗？（板书课题）
A
B
C
D
思考
1.平行四边形的对角线具有什么性质？
2.
“平行四边形的对角线互相平分”这个命题的逆命题是什么？
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
3.试着找出上述命题中的题设和结论，并画出图形，写出已知、求证。
平行四边形的对角线互相平分
试一试
如图，作一个两条对角线互相平分的四边形.
步骤：
1.任意画两条相交直线m，n，记交点为O；
2.以点O为中心，分别在直线m，n上截取OB与OD、OA与OC，使OB=OD，OA=OC，顺次连结所得的四点，即得到一个两条对角线互相平分的四边形ABCD.
O
m
n
B
D
A
C
探究新知
已知：
如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AO＝CO，
BO＝DO．
求证：
四边形ABCD是平行四边形．
证明
△AOB≌△COD
→
∠BAC＝∠ACD→AB∥CD
∠CAD＝∠ACB→AD∥BC
同理，△BOC≌△AOD
→
四边形ABCD是平行四边形．
归纳
判定定理四：
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
几何语言：
∴
四边形ABCD是平行四边形.
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵
A0=C0,
BO=DO
试一试
1．在给定条件下，能画出平行四边形的是(
)
A．以20
cm、36
cm为对角线，22
cm为一条边
B．以6
cm、10
cm为对角线，2
cm为一条边
C．以60
cm为一条对角线，20
cm、34
cm为两条邻边
D．以6
cm为一条对角线，3
cm、10
cm为两条邻边
A
例题解析
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AO=CO，BO=DO
∵AE=CF
∴AO－AE=CO－CF
∴EO=FO
又
BO=DO
∴
四边形BFDE是平行四边形
证明：连接对角线BD，交AC于点O
例2、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
还有其他证明方法吗？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD
∥
BC且AD
=BC
∴∠EAD=∠FCB
在△AED和△CFB中
∴△AED
≌△CFB(SAS)
∴DE=BF
同理可证：BE=DF
四边形BFDE是平行四边形．
归纳
平行四边形的判定方法
从边来判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
例3：如图，在□ABCD中，点F，H分别在边AB，CD上，且BF=DH.
求证：AC和HF互相平分.
证明：连结AH、CF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD,AB=CD
又∵BF=DH
∴AB-BF=CD-DH
即AF=CH
∴四边形AFCH是平行四边形
∴AC和HF互相平分
例题解析
例4：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形
例题解析
证明：
在四边形ABCD中，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°
且∠A=∠C，∠B=∠D
∴∠A+∠B+∠A+∠B=360°
即2（∠A+∠B）=360°
∴∠A+∠B=180°
∴AD//CB.同理可证：AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形
通过这个题目，你有什么发现？
符号语言：
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
A
B
C
D
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定定理:
总结
例5、四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四边形ABCD是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形AEFD是平行四边形
∴AD∥EF，AD=EF
又∵四边形EBCF是平行四边形
∴EF∥BC,EF=BC
∴AD∥BC,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形。
例题解析
例6、如图，G、H是□ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH，E，F分别是边AB和CD的中点.
求证：四边形EHFG是平行四边形.
例题解析
证明：连接EF交AC于点O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,AB=CD
又∵E,F是AB,CD的中点。
∴AE=CF
又∵
AB∥CD,
∠EAO=∠FCO
在△EAO与△COF中
例题解析
∵∠EAO=∠FCO
∠AOE=∠COF
AE=CF
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF，OA=OC
又∵AC=CH
∴OC=OH
∴四边形EHFG是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
思考
现在我们总共学习了多少种判定平行四边形的方法(包括定义)？这些判定方法与平行四边形的性质之间，又有怎样的关系呢？
平行四边形的判定方法有5种
判定方法和平行四边形的性质互为逆定理.
课堂练习
1．能够判定一个四边形是平行四边形的条件是(
)
A．一组对边相等
B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相平分
D．一组对边平行
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(
)
A．AB∥CD，∠DAO＝∠BCO
B．AB∥CD，∠BAO＝∠DCO
C．AO＝CO，BO＝DO
D．AB＝CD，∠BAO＝∠DCO
C
B
课堂练习
3．如图，AD为△ABC的中线，AB＝9，AC＝12，延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE、CE，则四边形ABEC的周长是_________．
4.木匠通常取两根木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形是___________________，理由是________________________________________________________．
42
平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
课堂练习
5．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，OA＝OC.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO.
又∵OA＝OC，
∴△AOB≌△COD，
∴OB＝OD.
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
课堂小结
判定一个四边形是平行四边形的方法：
平形四边形的判定
边
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
角
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形
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18.2.2.平行四边形的判定导学案
课题
平行四边形的判定
单元
18
学科
数学
年级
八年级
知识目标
1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
重点难点
重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法。
难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用
教学过程
知识链接
1．用定义法证明一个四边形是平行四边形时，要什么条件？
2．用所学的判定方法一判定一个四边形的平行四边形的条件是什么？
3．平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达？是否是真命题？
合作探究
一、教材第85页
探索平行四边形的判定定理3
1.完成课本85页思考部分的表格。
2.按照“试一试”部分动手操作，完成后和其他同学比较，看是否为平行四边形？
由此得出平行四边形的判定定理3：_______________________
3.用演绎推理证明这个结论：
已知：
求证：
证明：
你还有别的方法吗？
总结证明方法：
二、教材第86页
例2、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
除了课本的证明方法外，你还有别的方法吗？
三、教材第87页
思考：
现在我们总共学习了多少种判定平行四边形的方法（包括定义）？这些判定方法与平行四边形的性质之间，又有怎样的关系呢？
四、教材第88页
例3：如图，在□ABCD中，点F，H分别在边AB，CD上，且BF=DH.
求证：AC和HF互相平分.
例4：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形
五、教材第89页
例5、四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四边形ABCD是平行四边形。
例6、例6、如图，G、H是□ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH，E，F分别是边AB和CD的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形.
自主尝试
1．判断题：
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；(
)
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(
)
(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；(
)
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(
)
(5)对角线相等的四边形是平行四边形；(
)
(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形．(
)
2．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是(
)
A．AB∥CD，AD＝BC
B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC
D．AB＝AD，CB＝CD
3．延长△ABC的中线AD至E，使DE＝AD.
求证：四边形ABEC是平行四边形．
【方法宝典】
根据平行四边形的判定定理解题即可.
当堂检测
1．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA=OC，OB=OD
C．AD=BC，AB∥CD
D．AB=CD，AD=BC
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
[]
A．AB∥DC，AD=BC
B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB=DC，AD=BC
D．OA=OC，OB=OD
4．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．OA=OC，OB=OD
B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB=DC，AD=BC
D．AB∥DC，AD=BC
5．如图，在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，再添加下列条件之一，能使四边形ABCD成为平行四边形的条件是（ ）
A．∠DAC=∠BCA
B．∠DCB+∠ABC=180°
C．∠ABD=∠BDC
D．∠BAC=∠ACD
6．如图，已知AB∥DC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需增加条件 _________ ．（只填写一个条件即可，不再在图形中添加其它线段）．
7．如图，DE∥BC，AE=EC，延长DE到点F，使EF=DE，连接AF，FC，CD，则图中四边形ADCF是 _________ ．
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，请你添加一对线段或一对角之间关系的条件，使四边形ABCD是平行四边形，你所添加的条件是 _________ ．
9．已知，如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
（1）求证：△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
10．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.C
2.C
3．A
4．D
5．A；
6．
AB=DC或AD∥BC
7.
平行四边形
8.
BC=AD．
9.证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC，
在△ADF和△CBE中，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）四边形ABCD是平行四边形，
理由：∵△AFD≌△CEB，
∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
10.证明：如图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵AE=DF，OA﹣AE=OC﹣DF，
∴OE=OF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
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精品试卷·第
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