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18.2.1.平行四边形的判定导学案
课题
平行四边形的判定
单元
18
学科
数学
年级
八年级
知识目标
1、
掌握平行四边形的判定定理1、2；
2、
会用平行四边形的定义与判定定理对平行四边形进行判定。
重点难点
重点：会用平行四边形的定义与判定定理对平行四边形进行判定。
难点：平行四边形的判定定理的证明
教学过程
知识链接
1、平行四边形的定义：_____________________的四边形是平行四边形．
2、平行四边形的性质：
（1）两组对边分别________；（2）两组对边分别________；（3）两组对角分别________；邻角_________（4）两条对角线________。
合作探究
一、教材第82页
1、作一个两组对边分别相等的四边形，并判断它的形状。
结论：两组对边分别相等的四边形是___________
二、教材第82页
2、作一个一组对边平行且相等的四边形，并判断它的形状。
结论：一组对边平行且相等的四边形______________
归纳：平行四边形的判定方法
定义：两组对边分别__________的四边形是平行四边形。
用几何语言表示：∵_________//___________，_________//____________
∴四边形ABCD是____________
判定定理1：两组对边分别__________的四边形是平行四边形。
用几何语言表示：∵_________=___________，_________=____________
∴四边形ABCD是____________
判定定理2：一组对边_______________的四边形是平行四边形。
∵_________=___________，_________//____________
∴四边形ABCD是____________
三、教材第84页
例1、在□ABCD中，E、F分别是对边BC和AD上的两点，且AF＝CE，求证：
四边形AECF为平行四边形。
自主尝试
1、在四边形ABCD中，AD=BC,要判定四边形ABCD是平行四边形则还需要满足（
）
A．AB∥CD
B.
AD∥BC
C.
∠A+∠D=180?
D.
∠A+∠C=180?
2、四边形ABCD中，AB∥CD，当满足下列哪个条件时，四边形ABCD是平行四边形（
）
A．∠B+∠C=180°
B.∠A+∠B=180°
C.∠A+∠D=180°
D.∠A+∠C=180°
3、如右图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=8cm，AB=4cm，
那么当BC=___
_cm，CD=___
_cm时，四边形ABCD为平行四边形；
4、能够判定一个四边形是平行四边形的条件是
（
）
A.一组对角相等
B.两条对角线互相垂直且相等
C.两组对边分别相等
D.一组对边平行，一组对边相等
【方法宝典】
根据平行四边形的判定定理解题即可.
当堂检测
1.如图18－2－1，在?ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形共有( )
A．12个
B．9个
C．7个
D．5个
2．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等
3．下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC
B．AB＝AD，CD＝BC
C．AB＝BC＝CD
D．AB＝AD，∠B＝∠D
4．A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如图18－2－6，由9个全等的等边三角形拼成一个几何图案，这个图案中共有平行四边形( )
A．15个
B．14个
C．13个
D．12个
6．如图18－2－7，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从点A向点B以1
cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从点C向点D以2
cm/s的速度移动，若AB＝7
cm，CD＝9
cm，则运动时间为________s时四边形ADFE是平行四边形．
7．如图18－2－8所示，四边形ABCD的边长依次为a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形______(填“是”或“不是”)平行四边形，理由是______________________________．
8.如图所示，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添加一个条件________________(写出一个即可)，可判定四边形ABCD是平行四边形(图中不再添加辅助线)．
9．已知：如图18－2－11，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.B
2.B
3．A
4．C；5．A；
6．3
7.
是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
8.答案不唯一，如AD＝BC或AB∥CD
9.证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
∵DF∥BE，
∴∠DFE＝∠BEF，∴∠AEB＝∠CFD.
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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华师大版
八下数学
18.2.1平行四边形的判定
回顾旧知
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的定义
平行四边形的性质
边：两组对边分别平行且相等；
角：对角相等，邻角互补；
对角线：对角线互相平分；
对称性：是中心对称图形，不是轴对称图形。
我们学行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这个定义可以用来判断四边形是平行四边形吗？
想一想
思考
通过前面的学习，我们知道平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分。
反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？这些逆命题是不是真命题呢？
如图，作一个两组对边分别相等的四边形。
步骤：
1.任取两点B，D；
2.分别以点B和点D为圆心，适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点C；
3.再分别以点B和点D为圆心，适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点C
4.顺次连结各点，即得两组对边分别相等的四边形ABCD。
B
D
C
A
试一试
凭直觉和测量都确实感受到它是平行四边形我们如何用推理的方法加以证明呢？试一试吧！也许会成功
已知：在四边形ABCD中，
AB=CD
,
AD=BC
求证：四边形ABCD
是平行四边形
证明思路
AB//CD,
AD
//BC
∠1=∠2，∠3=∠4
⊿ABC≌⊿CDA
探究新知
证明
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
已知：
四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证：
四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD
(已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA
(公共边)，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴
∠1=∠4
,
∠
2=∠3，
∴AB∥
CD
,
AD∥
BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
归纳
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵
AD=CB，AB=D
C，
∴
四边形ABCD是平行四边形
几何语言：
平行四边形的判定方法1
判断下列四边形是否是平行四边形?并说明理由.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定1
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
定义
试一试
想一想
你还能想到其他的判定方法吗？
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
探究新知
小明的爸爸在钉制一个框架时采用了下面的方法：
将两根同样长的木条AB,CD平行放置，再用两根木条AD，BC加固，得到的这个四边形ABCD是什么样的图形？
A
B
C
D
四边形ABCD是平行四边形
猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
探究新知
已知：如图、在四边形ABCD中，AB∥CD、AB＝CD
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明思路
AB∥CD,
AD
∥BC
∠1=∠2，∠3=∠4
⊿ABC≌⊿CDA
例题解析
证明：连接AC
∵
AB∥CD
∴∠1
＝
∠2
又∵AB＝CD
，AC＝CA
∴△ABC
≌△CDA
(SAS)
∴AD
＝
CB
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB
＝CD
你还有其他证明方法吗
归纳
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B
D
A
C
∵AD
=
BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∥
ABCD
几何语言：
例1、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的两点，且AF＝CE。
求证：四边形AECF为平行四边形
B
A
C
D
F
E
你还有其他方法吗？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//CB
即AF//CE
又∵AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
例题解析
练一练
在?ABCD中,已知M和N分别是AB、DC上的中点，试说明四边形
BMDN也是平行四边形。
B
C
D
M
N
A
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
且
AB=CD
∵
M和N分别是AB、DC上的中点
∴
BM∥DN
且
BM=DN
∴四边形BMDN也是平行四边形
课堂练习
1.下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是
( )
A.AB∥CD,AB=CD
B.AB=BC,AD=CD
C.AC=BD,AB=CD
D.AB∥CD,AD=CB
2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,若∠D=120°,则∠C的度数为
( )
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
A
A
课堂练习
3.如图,在四边形ABCD中,若AB=CD,则添加一个条件 ,能得到平行四边形ABCD.(不添加辅助线,任意添加一个符合题意的条件即可)?
4.如图,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连结AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连结CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是
.
AD=BC
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
课堂练习
5.如图7,延长平行四边形ABCD的边AD到点F,使DF=DC,延长CB到点E,使BE=BA,连结AE,CF.求证:AE=CF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,DC=BA.∴AF∥EC.
∵DF=DC,BE=BA,∴BE=DF,
∴AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形,
∴AE=CF.
课堂小结
平行
四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
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