2.1.1多边形的内角和
1．如图所示的图形中，多边形的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
2．经过多边形一个顶点共有5条对角线，则这个多边形的边数是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
3．一个五边形截去一个角后，可以变成( )
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．以上都有可能
4.
从六边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们将六边形分成y个三角形，则x，y的值分别为( )
A．4，3
B．3，3
C．3，4
D．4，4
【中考·河北】下列图形为正多边形的是( )
如图，把边长为12的正三角形纸板剪去三个相同的小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
小范将四块相同的六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和与原六边形的内角和相等，则对应的图形是( )
【中考·铜仁】如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是( )
A．360°
B．540°
C．630°
D．720°
一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1
080°，那么原多边形的边数为( )
A．7
B．7或8
C．8或9
D．7或8或9
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的_________叫作多边形，在平面内，边_______、角也都______的多边形叫作正多边形，过n边形(n≥4)的一个顶点向其他顶点作对角线，可以作_____条，这些对角线把n边形分割为_______个三角形，n边形的内角和为________．
如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_______．
如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2，B3，则直线l与A1A2的夹角α＝_______°.
14．如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝______°.
15.有一根长为32
cm的铁丝，请你按下列要求，将其弯成一个长方形或正方形，并分别计算它们的面积：
(1)长为10
cm，宽为6
cm的长方形；
(2)长为9
cm，宽为7
cm的长方形；
(3)边长为8
cm的正方形．
你发现在长与宽的变化过程中，其面积有什么规律？根据这一规律，请将总长为100
m的篱笆围成一个面积尽可能大的长方形或正方形，并计算其面积．
如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
一名同学在进行多边形的内角和计算时，求得的内角和为1
125°，当发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，则这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
在四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°.
如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数．
如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数．
(3)①如图③，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出
∠BEC的度数；
②在①的条件下，若延长BA，CD交于点F(如图④)，将原来的条件“∠A＝145°，∠D＝75°”改为“∠F＝40°”，其他条件不变，∠BEC的度数会发生变化吗？
若不变，请说明理由；
若变化，求出∠BEC的度数．
已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙两名同学的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x的值．
20.
阅读理解：
(1)把多边形的某一边向两方延长，其他各边不都在延长所得的直线的同一旁，把这样的多边形叫作凹多边形．求凹多边形的内角和时，可将其补成凸多边形，然后利用多边形的内角和公式求解．
例如：
如图①，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
[分析]我们无法利用公式计算图形中的各角之和，但是通过连接BC，可以将图形转化为三角形，并利用三角形的内角和整体计算各角的度数和．
解：连接BC，则∠D＋∠E＋∠1＝∠2＋∠FBC＋∠FCB＝180°.
∵∠1＝∠2，
∴∠D＋∠E＝∠FBC＋∠FCB.
∴∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E＝∠A＋∠ABC＋
∠ACB＝180°.
(1)上述解题过程不含下列数学思想中的( )
A．数形结合思想
B．从特殊到一般思想
C．转化思想
D．整体思想
(2)如上图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．2.1.1多边形的内角和
1．如图所示的图形中，多边形的个数为( A )
A．3
B．4
C．5
D．6
2．经过多边形一个顶点共有5条对角线，则这个多边形的边数是( D )
A．5
B．6
C．7
D．8
3．一个五边形截去一个角后，可以变成( D )
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．以上都有可能
4.
从六边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们将六边形分成y个三角形，则x，y的值分别为( B )
A．4，3
B．3，3
C．3，4
D．4，4
【点拨】从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形，所以x＝3，y＝4.
【中考·河北】下列图形为正多边形的是( D )
如图，把边长为12的正三角形纸板剪去三个相同的小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长为( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】由题可知剪去的小正三角形的边长与
正六边形的边长相等，∴剪去的小正三角形的边长为＝4.
如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( C )
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
【点拨】根据多边形内角和公式：(n－2)·180°，得黑色正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，故选C.
小范将四块相同的六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和与原六边形的内角和相等，则对应的图形是( B )
【中考·铜仁】如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是( C )
A．360°
B．540°
C．630°
D．720°
【点拨】一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180°整除，分析四个选项，只有630°不能被180°整除，所以a＋b不可能是630°.【答案】C
一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1
080°，那么原多边形的边数为( D )
A．7
B．7或8
C．8或9
D．7或8或9
【点拨】设内角和为1
080°的多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝1
080°，解得n＝8.一个多边形切去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，也可能不变，所以原多边形的边数为7或8或9.本题易因考虑问题不全面而错选B或C.
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的____封闭图形_____叫作多边形，在平面内，边___相等____、角也都___相等____的多边形叫作正多边形，过n边形(n≥4)的一个顶点向其他顶点作对角线，可以作__(n－3)___条，这些对角线把n边形分割为___(n－2)____个三角形，n边形的内角和为__(n－2)·180°______．
如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是___140_____．
【点拨】设正九边形的每个内角的度数为x°，根据多边形内角和公式得
(9－2)×180＝9x，解得x＝140.
如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2，B3，则直线l与A1A2的夹角α＝___48_____°.
14．如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝____66____°.
【点拨】由五边形ABCDE为正五边形，易得∠EAB＝108°.
∵AP是∠EAB的平分线，∴∠PAB＝54°.
又∵∠ABP＝60°，
∴∠APB＝180°－60°－54°＝66°.
15.有一根长为32
cm的铁丝，请你按下列要求，将其弯成一个长方形或正方形，并分别计算它们的面积：
(1)长为10
cm，宽为6
cm的长方形；
(2)长为9
cm，宽为7
cm的长方形；
(3)边长为8
cm的正方形．
你发现在长与宽的变化过程中，其面积有什么规律？根据这一规律，请将总长为100
m的篱笆围成一个面积尽可能大的长方形或正方形，并计算其面积．
解：弯图形略．(1)10×6＝60(cm2)，面积为60
cm2.
(2)9×7＝63(cm2)，面积为63
cm2.
(3)8×8＝64(cm2)，面积为64
cm2.
随着长与宽的差越来越小，其面积越来越大．将总长为100
m的篱笆围成一个边长为25
m的正方形，其面积最大，为625
m2.
如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
一名同学在进行多边形的内角和计算时，求得的内角和为1
125°，当发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，则这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
解：设此多边形的内角和为x°，则有1
125＜x＜1
125＋180，即180×6＋45＜x＜180×7＋45.
因为x°为多边形的内角和，所以它应为180°的整数倍，
所以x＝180×7＝1
260.
7＋2＝9，1
260°－1
125°＝135°，
所以这个内角是135°，他求的是九边形的内角和．
在四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°.
如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数．
如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数．
(3)①如图③，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出
∠BEC的度数；
②在①的条件下，若延长BA，CD交于点F(如图④)，将原来的条件“∠A＝145°，∠D＝75°”改为“∠F＝40°”，其他条件不变，∠BEC的度数会发生变化吗？
若不变，请说明理由；
若变化，求出∠BEC的度数．
（1）解：∵在四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°，
∴∠B＋∠C＝360°－(145°＋75°)＝140°.
又∵∠B＝∠C，∴∠C＝70°.
（2）：∵BE∥AD，
∴∠ABE＝180°－∠A＝180°－145°＝35°.
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝70°.
∴∠C＝360°－(145°＋75°＋70°)＝70°.
（3）：①∵在四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°，
∴∠ABC＋∠BCD＝360°－(145°＋75°)＝140°.
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，
∴∠EBC＋∠ECB＝∠ABC＋∠BCD＝70°，
∴∠BEC＝180°－70°＝110°.
②：不变．理由如下：∵∠F＝40°，
∴∠FBC＋∠BCF＝180°－40°＝140°.
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，
∴∠EBC＋∠ECB＝∠ABC＋∠BCD＝70°，
∴∠BEC＝180°－70°＝110°.
已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙两名同学的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x的值．
(1)解：∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，
∴甲同学的说法对，乙同学的说法不对．
360°÷180°＋2＝2＋2＝4.
甲同学说的多边形的边数n是4.
(2)：依题意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2.故x的值是2.
20.
阅读理解：
(1)把多边形的某一边向两方延长，其他各边不都在延长所得的直线的同一旁，把这样的多边形叫作凹多边形．求凹多边形的内角和时，可将其补成凸多边形，然后利用多边形的内角和公式求解．
例如：
如图①，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
[分析]我们无法利用公式计算图形中的各角之和，但是通过连接BC，可以将图形转化为三角形，并利用三角形的内角和整体计算各角的度数和．
解：连接BC，则∠D＋∠E＋∠1＝∠2＋∠FBC＋∠FCB＝180°.
∵∠1＝∠2，
∴∠D＋∠E＝∠FBC＋∠FCB.
∴∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E＝∠A＋∠ABC＋
∠ACB＝180°.
(1)上述解题过程不含下列数学思想中的( B )
A．数形结合思想
B．从特殊到一般思想
C．转化思想
D．整体思想
(2)如上图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．
解：如图，连接BF.
∵∠A＋∠G＋∠AOG＝180°，
∠1＋∠2＋∠BOF＝180°，∠AOG＝∠BOF，
∴∠A＋∠G＝∠1＋∠2.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G
＝∠FBC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠BFE＝(5－2)×180°＝540°.
