2.2.1.1平行四边形的边、角性质
1.下列关于平行四边形的叙述错误的是( D )
A．平行四边形的两组对边分别平行
B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形的内角和等于它的外角和
D．连接一条对角线后，平行四边形仍具有不稳定性
2.
如图，在?ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是( D )
A．13
B．14
C．15
D．18
【点拨】此题易错在平行四边形数不全或重复数．
避免出错的技巧是有序思维，即在思考问题时一定要有顺序．
3.已知平行四边形的周长为40，相邻两边长的比为2∶3，则该平行四边形的较短边的长为( A )
A．8
B．10
C．12
D．14
如图，在?ABCD中，已知AD＝5
cm，AB＝3
cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于( B )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝5
cm，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.
∴∠BAE＝∠BEA.∴BE＝AB＝3
cm.
∴EC＝BC－BE＝5－3＝2(cm)．【答案】B
5.[2020山东烟台期末]如图,在?ABCD中,AC=4
cm,若△ACD的周长为13
cm,则?ABCD的周长为
( D )
A.26
cm
B.24
cm
C.20
cm
D.18
cm
【点拨】 ∵AC=4
cm,△ACD的周长为13
cm,∴AD+DC=13-4=9(cm).∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,
AD=BC,∴
?
ABCD的周长为2(AD+DC)=18
cm.故选D.
6.在?ABCD中，∠C∶∠D＝5∶4，则∠B的度数是( B )
A．100°
B．160°
C．80°
D．60°
7.如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D的大小为( C )
A．66°
B．104°
C．114°
D．124°
【点拨】在?ABCD中，DC∥AB，∠B＝∠D.由折叠可得∠B′AC＝∠BAC，由DC∥AB，可得∠DCA＝∠BAC，又∠B′AC＋∠DCA＝∠1，∴∠B′AC＝∠DCA＝∠1＝22°，∴∠BAC＝22°，∴∠B＝180°－22°－44°＝114°，∴∠D＝∠B＝114°.【答案】C
8.【中考·宜宾】在?ABCD中，若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E，则△AED的形状是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
【点拨】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
易知∠EAD＝∠BAD，∠ADE＝∠ADC，
∴∠EAD＋∠ADE＝(∠BAD＋∠ADC)＝90°，
∴∠E＝90°，∴△AED是直角三角形．【答案】B
如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为E，G，下列说法错误的是( C )
A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B．CE＝FG
C．线段CD的长度就是l1与l2之间的距离
D．AB＝CD
10.【教材改编题】如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8
cm，CD＝6
cm，∠D＝40°，BE平分∠ABC，下列结论错误的是( C )
A．AE＝6
cm
B．ED＝2
cm
C．∠BED＝150°
D．∠C＝140°
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8
cm，AB＝CD＝6
cm，∠ABC＝∠D＝40°，AD∥BC,
∴∠AEB＝∠EBC,
∠C＝140°，又BE平分∠ABC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE＝20°，∴∠BED＝160°，AE＝AB＝6
cm，∴ED＝AD－AE＝2
cm.故选C.
【答案】C
11.在?ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3
cm和4
cm两部分，则?ABCD的周长为( D )
A．20
cm
B．22
cm
C．10
cm
D．20
cm或22
cm
【点拨】(情况一)如图①，BE＝3
cm，CE＝4
cm.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝3
cm，
∴?ABCD的周长＝(3＋3＋4)×2＝20(cm)．
(情况二)如图②，BE＝4
cm，CE＝3
cm.同理可得AB＝BE＝4
cm，
∴?ABCD的周长＝(4＋4＋3)×2＝22(cm)．
本题利用了分类讨论思想，AE把BC分成3
cm和4
cm两部分，没有明确哪部分是3
cm，哪部分是4
cm，所以分两种情况讨论．【答案】D
以不在同一条直线上的A，B，C三点为其中的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作___3_____个．
13.[2020湖北武汉期中]如图,平行四边形ABCO的顶点O,A,C的坐标分别为(0,0),(3,0),(1,),则顶点B的坐标为 (4,)
.?
【点拨】由题意知BC∥OA,且BC=OA=3,因为点C的坐标为(1,),所以点B的坐标为(4,).
14.【中考·梧州】如图，在?ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝____61____°.
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝119°，DC∥AB.又∵BE⊥DC，∴∠ABE＝90°，∴∠EBF＝29°.又DF⊥BC，∴∠BHF＝90°－29°＝61°.
15.【中考·武汉】如图，在?ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为___21°_____．
【点拨】设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴DE＝AF＝AE＝EF，
∴∠DAE＝∠ADE＝x.
∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAE＝x，
∴∠DCE＝∠BCD－∠BCA＝63°－x，
∴2x＝63°－x，解得x＝21°，即∠ADE＝21°.
易错题[2020浙江绍兴期末]在?ABCD中,AD=5,∠BAD的平分线交CD于点E,∠ABC的平分线交CD于点F,若线段EF=2,则AB的长为________8或12___________.?
【点拨】 ∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,又∵DC∥AB,∴∠EAB=∠DEA,∴∠DAE=∠AED,
∴AD=
DE=
5.同理可得,CF=CB=5.当点F在D,E之间时,如图1,∵EF=2,∴AB=CD=DE+CE=DE+(CF-EF)=5+(5-2)=8;当点F在C,E之间时,如图2,∵EF=2,∴AB=CD=DE+EF+CF=5+2+5=12.综上,AB的长为8或12.
17.[2020湖北黄冈模拟]如图,在?ABCD中,点E,F分别在边CB,AD的延长线上,且BE=DF,EF分别与AB,CD交于点G,H.求证:AG=CH.
【点拨】 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AD∥BC,AD=BC,∴∠F=∠E.
∵BE=DF,∴AD+DF=BC+BE,即AF=CE.
在△AGF和△CHE中,
∴△AGF≌△CHE,∴AG=CH.
18.【中考·广安】如图，点E是?ABCD的CD边的中点，AE，BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，求?ABCD的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF.
∵E是CD边的中点，
∴ED＝EC＝2，DC＝2EC＝4，
∴△ADE≌△FCE(AAS)．∴AD＝CF＝3.
∴?ABCD的周长为2(AD＋DC)＝14.
19.【中考·重庆B】如图，在?ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
(2)求证：BE＝DF.
(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD＝2∠BCF.∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°.
∴∠ABC＝180°－120°＝60°.
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB.∴∠ABE＝∠CDF.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD.∴∠BAE＝∠DCF.
∴△ABE≌△CDF(ASA)．∴BE＝DF.
20.如图，分别延长?ABCD的边DC，BC到点E，F，若△BCE和△CDF都是等边三角形．
求证：AE＝AF；
(2)求∠EAF的度数．
(1)证明：∵△BCE和△CDF都是等边三角形，
∴BE＝BC，DF＝CD，∠BCE＝∠FCD＝∠EBC＝∠CDF＝60°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，BC＝AD，
∴∠ABE＝∠FDA，AB＝DF，BE＝DA，
∴△ABE≌△FDA，∴AE＝AF.
(2)解：∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB＝∠FAD，
易知∠ABE＝120°，∴∠AEB＋∠BAE＝60°，
∴∠FAD＋∠BAE＝60°，
由(1)知∠BAD＝120°，∴∠EAF＝120°－60°＝60°.
21.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,DE∥AB交直线AC于点E.
(1)当点D在边BC上时,如图1,求证:DE+DF=AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时,如图2,当点D在边BC的反向延长线上时,如图3.请分别写出图2、图3中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.
(3)若AC=6,DE=4,则DF= 2或10. .?
【点拨】 (1)∵DF∥AC,DE∥AB,
∴四边形AFDE是平行四边形,∴AF=DE.
∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠FDB=∠B,∴DF=BF,
∴DE+DF=AF+BF=AB=AC.
(2)题图2:AC+DE=DF.题图3:AC+DF=DE.
(3)2或10
当如题图1的情况时,DF=AC-DE=6-4=2;
当如题图2的情况时,DF=AC+DE=6+4=10.
综上,DF的长是2或10.
22.综合与实践：
下面是一个有关平行四边形和等边三角形的小实验，请根据实验解答问题：
已知在?ABCD中，∠ABC＝120°，点D也是等边三角形DEF的一个顶点，DE与AB相交于点M，DF与BC相交于点N.
(1)尝试与探究：
如图①，若AB＝BC，探究线段BD，BM与BN之间的数量关系；
(2)猜想与证明：
如图②，若BC＝2AB，过点D作DH⊥BC于点H，通过观察，猜想∠BDC的大小，并证明你的结论．
(1)解：BD＝BM＋BN.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝CD，BC＝AD.
∵AB＝BC，∴AB＝BC＝DA＝CD，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠A＝∠DBC＝60°，∠ADB＝60°，AD＝BD＝AB.
∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝60°，
∴∠ADM＋∠MDB＝∠BDN＋∠MDB＝60°，
∴∠ADM＝∠BDN.
在△ADM与△BDN中，
∴△ADM≌△BDN，∴AM＝BN，
∴BD＝AB＝AM＋BM＝BN＋BM.
(2)解：∠BDC＝90°.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝DC.
又∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝∠DHC＝90°，∴∠HDC＝30°.∴DC＝2CH.
设CH＝x，则DC＝2x，
∴DH＝x，BC＝2AB＝2DC＝4x，∴BH＝BC－HC＝3x.
在Rt△BDH中，BD＝＝2
x，
∴BD2＋DC2＝16x2，BC2＝16x2，∴BD2＋DC2＝BC2，
∴∠BDC＝90°.2.2.1.1平行四边形的边、角性质
1.下列关于平行四边形的叙述错误的是( )
A．平行四边形的两组对边分别平行
B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形的内角和等于它的外角和
D．连接一条对角线后，平行四边形仍具有不稳定性
2.
如图，在?ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是( )
A．13
B．14
C．15
D．18
3.已知平行四边形的周长为40，相邻两边长的比为2∶3，则该平行四边形的较短边的长为( )
A．8
B．10
C．12
D．14
如图，在?ABCD中，已知AD＝5
cm，AB＝3
cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于( )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
5.[2020山东烟台期末]如图,在?ABCD中,AC=4
cm,若△ACD的周长为13
cm,则?ABCD的周长为
( )
A.26
cm
B.24
cm
C.20
cm
D.18
cm
6.在?ABCD中，∠C∶∠D＝5∶4，则∠B的度数是( )
A．100°
B．160°
C．80°
D．60°
7.如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D的大小为( C )
A．66°
B．104°
C．114°
D．124°
8.【中考·宜宾】在?ABCD中，若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E，则△AED的形状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为E，G，下列说法错误的是( )
A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B．CE＝FG
C．线段CD的长度就是l1与l2之间的距离
D．AB＝CD
10.【教材改编题】如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8
cm，CD＝6
cm，∠D＝40°，BE平分∠ABC，下列结论错误的是( )
A．AE＝6
cm
B．ED＝2
cm
C．∠BED＝150°
D．∠C＝140°
11.在?ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3
cm和4
cm两部分，则?ABCD的周长为( )
A．20
cm
B．22
cm
C．10
cm
D．20
cm或22
cm
以不在同一条直线上的A，B，C三点为其中的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作_______个．
13.[2020湖北武汉期中]如图,平行四边形ABCO的顶点O,A,C的坐标分别为(0,0),(3,0),(1,),则顶点B的坐标为
.?
14.【中考·梧州】如图，在?ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝________°.
15.【中考·武汉】如图，在?ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为________．
易错题[2020浙江绍兴期末]在?ABCD中,AD=5,∠BAD的平分线交CD于点E,∠ABC的平分线交CD于点F,若线段EF=2,则AB的长为___________________.?
17.[2020湖北黄冈模拟]如图,在?ABCD中,点E,F分别在边CB,AD的延长线上,且BE=DF,EF分别与AB,CD交于点G,H.求证:AG=CH.
18.【中考·广安】如图，点E是?ABCD的CD边的中点，AE，BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，求?ABCD的周长．
19.【中考·重庆B】如图，在?ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
(2)求证：BE＝DF.
20.如图，分别延长?ABCD的边DC，BC到点E，F，若△BCE和△CDF都是等边三角形．
求证：AE＝AF；
(2)求∠EAF的度数．
21.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,DE∥AB交直线AC于点E.
(1)当点D在边BC上时,如图1,求证:DE+DF=AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时,如图2,当点D在边BC的反向延长线上时,如图3.请分别写出图2、图3中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.
(3)若AC=6,DE=4,则DF= .?
22.综合与实践：
下面是一个有关平行四边形和等边三角形的小实验，请根据实验解答问题：
已知在?ABCD中，∠ABC＝120°，点D也是等边三角形DEF的一个顶点，DE与AB相交于点M，DF与BC相交于点N.
(1)尝试与探究：
如图①，若AB＝BC，探究线段BD，BM与BN之间的数量关系；
(2)猜想与证明：
如图②，若BC＝2AB，过点D作DH⊥BC于点H，通过观察，猜想∠BDC的大小，并证明你的结论．
