2.2.1.2平行四边形的对角线性质
1.【中考·湘西州】如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是( )
A．OA＝OC
B．∠ABC＝∠ADC
C．AB＝CD
D．AC＝BD
2.[2020江苏常州期末]如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=8,△OCD的周长为20,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是
( )
A.40
B.28
C.24
D.12
3.【中考·清远】如图，在?ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10
cm，BD＝6
cm，则AD的长为( )
A．4
cm
B．5
cm
C．6
cm
D．8
cm
4.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；③DE＝BF；
④图中共有4对全等三角形．其中正确结论的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
5..如图,?ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
AE⊥BC,垂足为E,AB=,AC=2,BD=4,则AE的长为
( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知BD＝10，AC＝6，△BOC的周长为15，则AD的长为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
7.【中考·遂宁】如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若?ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( )
A．28
B．24
C．21
D．14
8.[2020福建模拟]在?ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.如果AC=12,BD=10,AB=x,那么x的取值范围是
( )
A.1B.5C.10D.109.[2019湖北鄂州鄂城区期末]如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,AB=,且AC∶BD=2∶3,那么BC的长为
( )
A.2
B.2
C.
D.4
10.如图，若?ABCD的周长为36
cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4
cm，DF＝5
cm，则?ABCD的面积为( )
A．40
cm2
B．32
cm2
C．36
cm2
D．50
cm2
11.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作?PAQC，则对角线PQ长度的最小值为( )
A．6
B．8
C．2
D．4
在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，AC与BD相交于点O，若AO＝5，则AC＝________．
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△OAB的周长比△BOC的周长小3
cm，若AB＝5
cm，则平行四边形ABCD的周长为________cm.
14.如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线MN分别交AD,BC于点M,N.若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则?ABCD的面积为_______________ .?
15.如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝______.
16.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F分别是OA,OC的中点,连接BE,DF.
求证:BE=DF.
.
17.如图，?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.若AD＝1，BD＝2，AC＝2
，∠DOF＝∠α，当∠α为多少度时，EF⊥AC?
18.如图,?ABCD的对角线交于点O,以OD,CD为邻边作?DOEC,OE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:F为BC的中点.
(2)若BD⊥AC,BC=4,求?ABCD的周长.
19.已知?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,直线EF经过点O.
(1)如图1,若直线EF与AD,BC分别相交于点E,F,求证:OE=OF.
(2)如图2,若直线EF与BA边的延长线交于点E,与DC边的延长线交于点F,(1)中的结论是否成立?请说明你的理由.
20.【中考·贵港】如图，在?ABCD中，AC为对角线，AC＝BC＝5，AB＝6，AE是△ABC的中线．
用无刻度的直尺画出△ABC的高CH(保留画图痕迹)；
(2)求△ACE的面积．
21.如图，点O为?ABCD的对角线AC，BD的交点，∠BCO＝90°，∠BOC＝60°，BD＝8，点E是OD上的一动点，点F是OB上的一动点(E，F不与端点重合)，且DE＝OF，连接AE，CF.
求线段EF的长；
(2)若△OAE的面积为S1，△OCF的面积为S2，S1＋S2的值是否发生变化？若不变，求出这个定值；若变化，请说明随着DE的增大，S1＋S2的值是如何发生变化的．
22.探究：如图①，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F.
求证：OE＝OF；
直线EF是否将?ABCD的面积二等分？若是，请说明理由；
(3)应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，菜园中有一口水井P，如图②所示，张大爷计划把菜园平均分成面积相等的两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，即两块地的分割线经过点P，
请你作图帮助张大爷把地分开．2.2.1.2平行四边形的对角线性质
1.【中考·湘西州】如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是( D )
A．OA＝OC
B．∠ABC＝∠ADC
C．AB＝CD
D．AC＝BD
2.[2020江苏常州期末]如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=8,△OCD的周长为20,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是
( C )
A.40
B.28
C.24
D.12
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=8,BD=2DO,AC=2OC.∵△OCD的周长为20,∴OD+OC=20-8=12,∴BD+AC=2(DO+OC)=24.故选C.
3.【中考·清远】如图，在?ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10
cm，BD＝6
cm，则AD的长为( A )
A．4
cm
B．5
cm
C．6
cm
D．8
cm
【点拨】 ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=10
cm,BD=6
cm,∴OA=OC=AC=5
cm,OB=OD=BD=3
cm.
∵∠ODA=
90°,∴AD==4
cm.故选A.
4.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；③DE＝BF；
④图中共有4对全等三角形．其中正确结论的个数是( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
5..如图,?ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
AE⊥BC,垂足为E,AB=,AC=2,BD=4,则AE的长为
( D )
A.
B.
C.
D.
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形,AC=2,BD=4,∴AO=1,BO=2.∵AB=,
∴AO2+AB2=BO2,∴△ABO是直角三角形,∠BAO=90°,∴BC=
.∵S△ABC=AB·AC=BC·AE,∴×2=×AE,解得AE=.故选D.
6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知BD＝10，AC＝6，△BOC的周长为15，则AD的长为( C )
A．5
B．6
C．7
D．8
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝5，AD＝BC.∵△BOC的周长为15，
∴BC＋OB＋OC＝15，∴BC＝7，∴AD＝BC＝7，故选C.
7.【中考·遂宁】如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若?ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( D )
A．28
B．24
C．21
D．14
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵?ABCD的周长为28，∴AB＋AD＝14.
∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的垂直平分线．
∴BE＝ED.∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋ED＋AE＝AB＋AD＝14.故选D.
8.[2020福建模拟]在?ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.如果AC=12,BD=10,AB=x,那么x的取值范围是
( A )
A.1B.5C.10D.10【点拨】根据平行四边形的对角线互相平分,可得OA=OC=AC=6,OB=OD=BD=5.在△AOB中,根据三角形的三边关系,可得OA-OB9.[2019湖北鄂州鄂城区期末]如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,AB=,且AC∶BD=2∶3,那么BC的长为
( C )
A.2
B.2
C.
D.4
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,又∵AC∶BD=2∶3,∴OA∶OB=2∶3.设OA=
2m(m>0),则BO=3m,∵AC⊥AB,∴∠BAO=90°,∴OB2=AB2+OA2,即9m2=5+4m2,∴m=1,∴AC=2OA=4,∴BC=
.故选C.
10.如图，若?ABCD的周长为36
cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4
cm，DF＝5
cm，则?ABCD的面积为( A )
A．40
cm2
B．32
cm2
C．36
cm2
D．50
cm2
【点拨】∵?ABCD的周长为36
cm，∴AB＋BC＝18
cm①.
∵DE，DF分别为AB，BC边上的高，且DE＝4
cm，DF＝5
cm，
∴4AB＝5BC②，由①②得AB＝10
cm，BC＝8
cm，
∴?ABCD的面积为AB·DE＝10×4＝40(cm2)．【答案】A
11.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作?PAQC，则对角线PQ长度的最小值为( D )
A．6
B．8
C．2
D．4
【点拨】∵四边形PAQC是平行四边形，∴AO＝CO＝AC＝4，OP＝OQ，∴PQ最短时，PO最短．
如图，过O作OP′⊥AB于P′，∵∠BAC＝45°，
∴∠AOP′＝45°＝∠BAC，∴AP′＝OP′.
∵AP′2＋OP′2＝OA2＝42，∴OP′＝2
，
∴PQ长度的最小值为2OP′＝4
.【答案】D
在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，AC与BD相交于点O，若AO＝5，则AC＝__10______．
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△OAB的周长比△BOC的周长小3
cm，若AB＝5
cm，则平行四边形ABCD的周长为___26_____cm.
14.如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线MN分别交AD,BC于点M,N.若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则?ABCD的面积为_______24________ .?
【点拨】由四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,易得△CON≌△AOM,∴S△AOD=4+2=6.
∵OB=OD,OA=OC,∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD=6,∴
?
ABCD的面积为4×6=24.
15.如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝____4__.
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，∴AC＝＝8，∴OC＝4，
∴OB＝＝2，
∴BD＝2OB＝4.
16.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F分别是OA,OC的中点,连接BE,DF.
求证:BE=DF.
.
【点拨】因为四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,所以OB=OD,OA=OC.
因为点E,F分别是OA,OC的中点,
所以OE=OA,OF=OC,所以OE=OF.
在△BEO与△DFO中,
所以△BEO≌△DFO,所以BE=DF.
17.如图，?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.若AD＝1，BD＝2，AC＝2
，∠DOF＝∠α，当∠α为多少度时，EF⊥AC?
解：∵四边形ABCD
是平行四边形，
∴OD＝BD＝1，OA＝AC＝，
又AD＝1，∴AD2＋OD2＝OA2，OD＝AD.
∴∠ADO＝90°，∠AOD＝45°.
∵EF⊥AC，∴∠FOA＝90°.∴∠α＝90°－45°＝45°.
18.如图,?ABCD的对角线交于点O,以OD,CD为邻边作?DOEC,OE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:F为BC的中点.
(2)若BD⊥AC,BC=4,求?ABCD的周长.
【点拨】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴OB=OD.
∵四边形DOEC为平行四边形,
∴OD∥EC,OD=EC,∴OB=EC.
∵OD∥EC,∴∠OBF=∠ECF.
∵∠OFB=∠EFC,
∴△OBF≌△ECF(AAS),
∴BF=CF,∴F为BC的中点.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OA=OC,AB=CD,AD=BC.
∵BD⊥AC,∴BD垂直平分AC,
∴AB=BC=4,
∴
?
ABCD的周长为2(AB+BC)=16.
19.已知?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,直线EF经过点O.
(1)如图1,若直线EF与AD,BC分别相交于点E,F,求证:OE=OF.
(2)如图2,若直线EF与BA边的延长线交于点E,与DC边的延长线交于点F,(1)中的结论是否成立?请说明你的理由.
【点拨】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF.
(2)成立.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,∴∠E=∠F,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF.
20.【中考·贵港】如图，在?ABCD中，AC为对角线，AC＝BC＝5，AB＝6，AE是△ABC的中线．
用无刻度的直尺画出△ABC的高CH(保留画图痕迹)；
(2)求△ACE的面积．
(1)解：如图，连接BD，BD与AC交于点O，与AE交于点F，连接CF并延长与AB交于点H，CH即为所求．
理由如下：
∵BD，AC是?ABCD的对角线，
∴点O是AC的中点．
∵AC＝BC，AE是△ABC的中线，
∴∠OAB＝∠EBA，AO＝BE.
又∵AB＝BA，∴△ABO≌△BAE.∴∠ABO＝∠BAE.
∴FA＝FB，∠EAC＝∠OBC.
由可得△AFC≌△BFC.
∴∠ACF＝∠BCF，
即CH是等腰三角形ABC的顶角的平分线，
∴CH是△ABC的高．
(2)：∵AC＝BC＝5，AB＝6，CH⊥AB，
∴AH＝AB＝3.∴CH＝＝4.
∴S△ABC＝AB·CH＝×6×4＝12.
∵AE是△ABC的中线，∴S△ACE＝S△ABC＝6.
21.如图，点O为?ABCD的对角线AC，BD的交点，∠BCO＝90°，∠BOC＝60°，BD＝8，点E是OD上的一动点，点F是OB上的一动点(E，F不与端点重合)，且DE＝OF，连接AE，CF.
求线段EF的长；
(2)若△OAE的面积为S1，△OCF的面积为S2，S1＋S2的值是否发生变化？若不变，求出这个定值；若变化，请说明随着DE的增大，S1＋S2的值是如何发生变化的．
(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB.∵DE＝OF，∴EF＝OD＝BD＝4.
(2)：S1＋S2的值不变．理由如下：连接AF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝OC.
∴∠DAO＝∠BCO＝90°，S△AOF＝S△COF.
∵DE＝OF，∴S△ADE＝S△AOF＝S△COF，∴S1＋S2＝S△AEF＝S△AOD.
∵∠AOD＝∠BOC＝60°，∠OAD＝90°，∴∠ODA＝30°，
∴AO＝OD＝2.在Rt△AOD中，AD＝＝2
.
∴S1＋S2＝S△AOD＝AD·AO＝×2
×2＝2
.
22.探究：如图①，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F.
求证：OE＝OF；
直线EF是否将?ABCD的面积二等分？若是，请说明理由；
(3)应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，菜园中有一口水井P，如图②所示，张大爷计划把菜园平均分成面积相等的两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，即两块地的分割线经过点P，
请你作图帮助张大爷把地分开．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∵
∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
(2)：直线EF将?ABCD的面积二等分，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
又∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，∴S△AOB＝S△COD，
由(1)可知，△AOE≌△COF，易证△DOE≌△BOF，
∴S△AOE＝S△COF，S△DOE＝S△BOF.
∴S四边形AEFB＝S△AOB＋S△AOE＋S△BOF＝S△COD＋S△COF＋S△DOE
＝S四边形DEFC.
∴直线EF将?ABCD的面积二等分．
(3)：如图，连接AC，BD交于点O，过点O，P作直线OP即可把平行四边形的菜园分成面积相等的两块．
