6-4
生活中的圆周运动
3-竖直方向的圆周运动及临界点问题
【知识点梳理】
一、圆周运动中的轻杆和轻绳模型
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的
临界条件
由mg＝m
得v临＝
v临＝0
讨论分析
(1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
二、竖直平面内圆周运动的临界问题
物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语．
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路：
【例题讲解】
【例1】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点的最小速度是
B．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
[答案]B.
[解析]由于杆可以提供拉力，也可以提供支持力，所以小球过最高点的最小速度为0，故A错误；当小球在最高点的速度v＝
时，靠重力提供向心力，杆的弹力为零，故B正确；杆在最高点可以提供拉力，也可以提供支持力，当提供支持力时，速度越大作用力越小，当提供拉力时，速度越大作用力越大，故C、D错误．
【例2】(多选)(2020·浙江宁波期末)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力．则球B在最高点时( )
A．球B的速度为
B．球A的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
[答案] AC
[解析] 球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有：mg＝，解得v＝，故A正确．由于A、B两球的角速度相等，由v＝ωr得：球A的速度大小为：vA＝vB＝，故B错误．B球到最高点时，对杆无弹力，此时A球所受重力和拉力的合力提供向心力，有：F－mg＝，解得：F＝1.5mg，可得水平转轴对杆的作用力为1.5mg，故C正确，D错误．
例3
杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动．
如图所示，杯内水的质量m＝0.5
kg，绳长l＝60
cm.求：
(1)在最高点水不流出的最小速率．
(2)水在最高点速率v＝3
m/s时，水对杯底的压力大小．
[答案] (1)2.42
m/s (2)2.6
N
[解析] (1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即mg≤m，则所求最小速率v0＝＝
m/s＝2.42
m/s.
(2)当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的力，设为FN，由牛顿第二定律有FN＋mg＝m
即FN＝m－mg＝2.6
N
由牛顿第三定律知，水对水桶的作用力FN′＝FN＝2.6
N，方向竖直向上．
【例4】如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是 ( )
A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
[答案] D
[解析] 人过最高点时，FN＋mg＝m，当v≥时，不用保险带，人也不会掉下来，当v＝时，人在最高点时对座位产生的压力为mg，A、B错误；人在最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于mg，C错误，D正确．
【例5】如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
A.
B．2
C.
D.
[答案] C
[解析] 小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确．
【随堂练习】
1、(2020·浙江宁波期末)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T－v2关系如图乙所示，则( )
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a
D．只要v2≥0，小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动
[答案]B.
[解析]在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得：mg＋T＝m，解得：T＝v2－mg①，由图像知，T＝0时，v2＝b.图像的斜率k＝，则得：＝，得绳长
L＝，故A错误；当v2＝0时，T＝－a，由①得：－a＝－mg，得：g＝，故B正确；当v2＝c时，代入①得：T＝·c－mg＝·c－a，故C错误；只要v2≥b，在最高点绳子的拉力F≥0，小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动，故D错误．
2、(2020·滨州高一检测)如图所示，一光滑轻杆沿水平方向放置，左端O处连接在竖直的转动轴上，a、b为两个可视为质点的小球，穿在杆上，并用细线分别连接Oa和ab，且Oa＝ab，已知b球质量为a球质量的3倍．当轻杆绕O轴在水平面内匀速转动时，Oa和ab两线的拉力之比为( )
A．1∶3
B．1∶6
C．4∶3
D．7∶6
[答案]D.
[解析]当轻杆在水平面内做圆周运动时，两小球也在水平面内绕O点做圆周运动，转动半径分别为ra＝Oa、rb＝Ob.两小球同轴转动，角速度相同，向心力均是由细线拉力提供，对a球有：Fa－Fb＝maraω2，对b球有Fb＝mbrbω2，可得＝＝，D正确．
3、如图，在半径为R的大圆环上套有一个质量为m的小圆环(忽略大小，可看作质点)，大圆环绕过圆心的竖直轴做角速度为ω的匀速圆周运动，小圆环一直相对于大圆环静止．小圆环与大圆环圆心的连线与竖直轴成θ(0<θ<90°)角，则下列关于小圆环所受弹力和摩擦力的说法正确的是( )
A．小圆环可能不受弹力
B．小圆环所受弹力方向可能指向圆心
C．小圆环可能不受摩擦力
D．小圆环所受摩擦力与大圆环相切向下
[答案]B.
[解析]分析小环受力如图，小圆环受到重力，设大圆环对小圆环的弹力N、大圆环对小圆环的静摩擦力f沿图示方向．小圆环一直相对于大圆环静止，随大圆环一起做匀速圆周运动，在竖直方向上由平衡条件有fsin
θ＋Ncos
θ＝G，在水平方向上由牛顿运动定律有fcos
θ－Nsin
θ＝mω2r，解得N＝Gcos
θ－mω2rsin
θ，f＝Gsin
θ＋mω2rcos
θ，由于G、ω、r、θ的大小未知，则N取值可正可负，即小圆环所受的弹力方向可能指向圆心，也可能背离圆心，大圆环对小圆环的静摩擦力一定取正值，则小圆环所受摩擦力与所设方向相同，即沿大圆环切线向上，B正确．
4、(2020·河南驻马店期末)如图所示，在竖直平面内的圆周轨道半径为r，质量为m的小物块以速度v通过轨道的最高点P.已知重力加速度为g，则小物块在P点受到轨道对它的压力大小为( )
A．m
B．－mg
C．mg－m
D．m＋mg
[答案]B.
[解析]在P点由牛顿第二定律可知：mg＋F＝m，解得F＝m－mg，B正确．
5、(2020·广西桂林期末)如图所示，长度为L＝0.4
m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5
kg，小球半径不计，g取
10
m/s2，求：
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
(2)小球通过最高点时的速度大小为
4
m/s时，轻绳的拉力大小；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45
N，小球速度大小的最大值．
[答案](1)2
m/s (2)15
N (3)4
m/s
[解析](1)小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力，有mg＝m，得v1＝＝2
m/s.
(2)小球通过最高点时的速度大小为4
m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有FT＋mg＝m，得FT＝15
N.
(3)分析可知小球通过最低点时轻绳的张力最大，在最低点，由牛顿第二定律得F′T－mg＝，将F′T＝45
N代入解得v3＝4
m/s，即小球的速度不能超过4
m/s.
6、(2020·江苏淮安期末)如图所示，当汽车以12
m/s的速度通过拱形桥顶时，对桥顶的压力为车重的.如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力恰好为零，则汽车通过桥顶的速度为( )
A．3
m/s
B．10
m/s
C．12
m/s
D．24
m/s
[答案]D.
[解析]根据牛顿第二定律得：mg－N＝m，其中N＝mg，解得：R＝57.6
m．当车对桥顶无压力时，有：mg＝，代入数据解得：v′＝24
m/s，D正确．
【课后作业】
1、质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过轨道最高点而不脱离轨道的最小速度是v，则当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是( )
A．0
B．3mg
C．5mg
D．8mg
[答案]D.
[解析]当小球以速度v经内轨道最高点时不脱离轨道，小球仅受重力，重力充当向心力，有mg＝m；当小球以速度3v经内轨道最高点时，小球受重力G和向下的弹力N，合外力充当向心力，有mg＋N＝m；又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的弹力相等，N′＝N；由以上三式得到，N′＝8mg，D正确．
2、如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图乙所示．下列说法正确的是( )
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为R
C．v2＝c时，杆对小球弹力方向向上
D．若c＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
[答案]B.
[解析]通过图像乙分析可知：当v2＝b，FN＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即mg＝m，g＝，A错误；当v2＝0，FN＝a时，重力等于弹力FN，即mg＝a，所以m＝＝R，B正确；v2＞b时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c时，杆对小球弹力的方向竖直向下，C错误；v2＝c＝2b时，mg＋FN＝m，解得FN＝mg＝a，D错误．
3、(2020·湖南五市十校期末)如图所示，轻质细杆OA长为1
m，A端固定一个质量为5
kg的小球，小球在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为3
m/s，g取10
m/s2，细杆受到( )
A．5
N的压力
B．5
N的拉力
C．95
N的压力
D．95
N的拉力
[答案]A.
[解析]小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，当在最高点小球与细杆无弹力作用时，小球的速度为v1，则有：mg＝得：v1＝＝
m/s，因为
m/s>3
m/s，所以小球受到细杆的支持力，小球在最高点受力分析：受到重力与支持力，mg－F＝m，则F＝mg－m＝
N＝5
N，所以由牛顿第三定律知细杆受到压力，大小为5
N，A正确．
4、(多选)在云南省某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，若把滑铁索过江简化成如图所示的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，A、B间的距离为L＝80
m，绳索的最低点与AB间的垂直距离为H＝8
m，若把绳索看作是圆弧，已知一质量m＝52
kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10
m/s(取g＝10
m/s2)，那么( )
A．人在整个绳索上运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得绳索的圆弧半径为104
m
C．人在滑到最低点时对绳索的压力为570
N
D．在滑到最低点时人处于失重状态
[答案] BC
[解析] 从最高点滑到最低点的过程中速度在增大，所以不可能是匀速圆周运动，A错误；如题图由几何关系：2＋(R－H)2＝R2，解得R＝104
m，B正确；滑到最低点时，由牛顿第二定律：FN－G＝m，可得FN＝570
N，由牛顿第三定律，人对绳索的压力为570
N，C正确；在最低点，人对绳索的压力大于重力，处于超重状态，D错误．
5、一轻杆下端固定一质量为M的小球，上端连在轴上，并可绕轴在竖直平面内运动，不计空气阻力，在最低点给小球水平速度v0时，刚好能到达最高点，若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知( )
A．小球在最高点对杆的作用力不断增大
B．小球在最高点对杆的作用力先减小后增大
C．小球在最高点对杆的作用力不断减小
D．小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
[答案] B
[解析] 杆既能支持小球，又能拉小球，也就是说，杆在最高点给小球的弹力既可能向上又可能向下，因此，小球在最高点的速度可以为零．当最高点小球速度为零时，杆对小球的作用力为向上的支持力且等于mg.随着速度的增大，支持力逐渐减小，当v＝时，杆的作用力为零，当速度继续增大时，杆对小球的作用力为向下的拉力且不断增大，故选B.
6、如图所示，质量相等的A、B两物体随竖直圆筒一起做匀速圆周运动，且与圆筒保持相对静止，下列说法中正确的是( )
A．线速度vA>vB
B．运动周期TA>TB
C．筒壁对它们的弹力NA＝NB
D．它们受到的摩擦力fA＝fB
[答案]D.
[解析]A和B共轴转动，角速度相等即周期相等，由v＝rω知，A转动的半径较小，则A的线速度较小，A、B错误；A和B做圆周运动靠弹力提供向心力，由N＝mrω2知，A的半径小，则NA7、如图，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块，电机启动后，铁块以角速度ω绕O轴匀速转动，则电机对地面最大压力和最小压力之差为( )
A．2mω2r
B．mω2r
C．mg＋2mω2r
D．2mg＋2mω2r
[答案]A.
[解析]电机处于平衡，整体所受合力等于铁块转动所需向心力．铁块转动到最低点时具有向上的向心加速度，系统处于超重状态，对地面压力增大，此时地面对电机支持力N1满足N1－(M＋m)g＝0＋mrω2；铁块转到最高点时具有竖直向下的向心加速度，系统处于失重状态，对地面的压力最小，此时地面对电机的支持力N2满足(M＋m)g－N2＝0＋mrω2，则由牛顿第三定律可得电机对地面最大压力和最小压力之差为：N1－N2＝2mrω2，A正确．
8、质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示．已知小球以速度v通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点时( )
A．小球对圆管内、外壁均无压力
B．小球对圆管外壁的压力等于
C．小球对圆管内壁的压力等于
D．小球对圆管内壁的压力等于mg
[答案] C
[解析] 设小球做圆周运动的半径为r，小球以速度v通过最高点时，由牛顿第二定律得2mg＝m①；小球以速度通过圆管的最高点时，设小球受向下的压力FN，有mg＋FN＝m②；由①②得FN＝－，该式表明，小球受到向上的支持力，由牛顿第三定律知小球对圆管内壁有向下的压力，大小为，C正确．
9、在质量为M的电动机飞轮上，固定着一质量为m的重物，重物重心到转轴的距离为r，如图所示．为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速度不能超过( )
A.g
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 当重物转动到最高点时，对电动机向上的拉力最大，要使电动机不从地面上跳起，重物对电动机的拉力
的最大值FT＝Mg.对重物来说，随飞轮一起做圆周运动所需的向心力是由重力和飞轮对重物的拉力FT′的合力提供的，FT′和FT是一对作用力和反作用力．由牛顿第二定律得FT′＋mg＝mω2r，代入数值得ω＝，B正确．
10、如图所示，半径R＝0.5
m的光滑圆环上套有一质量为m＝0.1
kg的小环，当圆环绕着过环心的竖直轴匀速旋转时，若圆环每秒钟恰好转过2圈，求小环偏离圆环最低点的高度h.(取g＝π2
m/s2)
[答案]
m
[解析] 设如图所示的圆心角为θ，则有h＝R(1－cosθ)
对小球受力分析得
Nsinθ＝mω2r
Ncosθ＝mg
而r＝Rsinθ
ω＝2πn＝4π
rad/s
解得h＝
m.(共29张PPT)
竖直方向的圆周运动及临界点问题
学习目标：
1.了解生活中竖直方向的圆周运动类型有哪些；
2.理解竖直方向圆周运动的两种模型，学会对这两种模型进行推导，知道两种模型的临界点和条件；
3.举例生活中关于圆周运动临界点的实例；
世界上最危险的过山车
思考
思考讨论
水流星之中的水为什么没有漏出来？
圆周运动中的轻绳模型
mg
O
绳
mg
O
轨道
绳子和圆轨道均不产生支撑小球的力
在最高点时小球的受力情况如何？
圆周运动中的轻绳模型
mg
O
mg
O
轨道
例题讲解
【例1】杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动．
如图所示，杯内水的质量m＝0.5
kg，绳长l＝60
cm.求：
(1)在最高点水不流出的最小速率．
(2)水在最高点速率v＝3
m/s时，水对杯底的压力大小．
[答案] (1)2.42
m/s (2)2.6
N
例题讲解
圆周运动中的轻杆模型
O
杆
O
管道
轻杆和内圆轨道均可产生支撑小球的力
在最高点时小球的受力情况如何？
圆周运动中的轻杆模型
O
杆
O
管道
例题讲解
【例2】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点的最小速度是
B．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
B
例题讲解
[解析]由于杆可以提供拉力，也可以提供支持力，所以小球过最高点的最小速度为0，故A错误；当小球在最高点的速度v＝
时，靠重力提供向心力，杆的弹力为零，故B正确；杆在最高点可以提供拉力，也可以提供支持力，当提供支持力时，速度越大作用力越小，当提供拉力时，速度越大作用力越大，故C、D错误．
例题讲解
AC
例题讲解
例题讲解
D
例题讲解
例题讲解
C
随堂练习
B
随堂练习
随堂练习
D
随堂练习
随堂练习
B
随堂练习
随堂练习
B
随堂练习
随堂练习
随堂练习
D
谢谢观看，完成课后作业！
