(共28张PPT)
人教版
八年级数学下册
18.2.3
正方形
学习目标
1.理解正方形的概念.
2.掌握正方形的性质和判定，并能运用它们进行证明和计算.
3.理解正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系.?
4.培养学生主动探究的习惯和合作交流的意识，提高学生的逻辑思维能力.
正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在，下面图片中是否包含正方形，如果有请找出来。
在你的周围你能找到正方形吗？
情景引入
矩
形
〃
〃
思考1：矩形具有怎样的条件才能是正方形呢?
正方形的性质
正方形
观察与思考
思考2
菱形具有怎样的条件才能是正方形呢?
正方形
正方形的性质
观察与思考
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱
形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
菱形
矩形
正方形既是
，又是
.
归纳总结
思考
?正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
对称性：
.
对称轴：
.
轴对称图形
4条
A
B
C
D
提示：同学们可以拿一张正方形纸片,折一折来验证.
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形既是特殊的平行四边形,又是特殊的矩形,也是特殊的菱形.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系如何表述呢？
性质：1.角的方面：四个角都是直角
2.边的方面：对边平行，四条边都相等
3.对角线方面：对角线互相垂直平分且相等，平分每组对角
你能说出正方形具有哪些性质吗？
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
阶段总结
例1
求证:
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知:
如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证:
△ABO、
△BCO、
△CDO、
△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:
∵
四边形ABCD是正方形,
∴
AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴
△ABO、
△BCO、
△CDO、
△DAO
都是等腰直角三角形,并且
△ABO≌
△BCO
≌
△CDO
≌
△DAO.
典型例题
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是
(
)
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（
）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
B
D
当堂练习
4.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是
（ ）
A.2cm2
B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
A
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（
）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
当堂练习
例2
如图，在正方形ABCD中，
ΔBEC是等边三角形，
求
∠EAD和∠EDA的度数
.
解：∵
△BEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵
四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠ABC=90°，
∴AB=BE,
∠ABE=
∠ABC-∠EBC=30°，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠BAE=
∠BEA=
75°，
∴∠EAD=
90°-75°=15°.
同理可得∠EDA=15°
30°
75°
60°
典型例题
【变式题】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
正方形的判定
思考
把一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得
到是一个正方形，为什么？
正方形
猜想
满足怎样条件的矩形是正方形？
矩
形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
观察与思考
已知：如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC
,
DB交于点O,且AC⊥DB.
求证：矩形ABCD是正方形.
证一证
对角线互相垂直的矩形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴
AO=CO=BO=DO
∵AC⊥DB
∴AB=BC
∴矩形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
思考
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，这时菱形框架的形状是正方形，为什么？
正方形
菱形
猜想
满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
或对角线相等
已知：如图,在菱形ABCD中,两条对角线AC
,
DB交于点O,
AC=DB.
求证：菱形ABCD是正方形.
证一证
对角线相等的菱形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴
AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴菱形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
正方形判定的常用方法：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个角是直角
一组邻边相等，
或对角线相等
或对角线垂直
阶段归纳
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定总结
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
阶段归纳
1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（
）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠DAB=∠DCB
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
当堂练习
2.下列命题正确的是（
）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
当堂练习
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
D
当堂练习
例3
在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．求证：四边形EFMN是正方形
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
典型例题
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∴∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形
.
1.矩形的所有性质
2.菱形的所有性质
正方形
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
判定
+
正方形
3.中心对称图形和轴对称图形
矩形
菱形
课堂小结
教科书第61页习题第7，12，13，15题．
课后作业
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
18.2.3
正方形
同步练习
一、选择题
1．（2020秋?玉林期末）下列说法不正确的是
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
2．（2020秋?坪山区期末）菱形，矩形，正方形都具有的性质是
A．四条边相等，四个角相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
3．（2021春?九龙坡区校级月考）已知四边形是平行四边形，下列说法正确的有（
）
①当时，它是矩形
②时，它是菱形
③当时，它是菱形
④当时，它是正方形
A．①②
B．②
C．②④
D．③④
4．（2020春?海淀区校级期末）如图，两把完全一样的直尺叠放在起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①②③④
二、填空题
5．（2020秋?顺德区期末）一个正方形的对角线长为2，则其面积为
．
6．（2020春?裕华区校级期末）如图，在中，，点、分别是边、的中点．延长到点，使，得四边形．当
时，四边形是正方形．
7．（2020秋?偃师市期末）如图，两个正方形边长分别为2、，图中阴影部分的面积为
．
8．（2020秋?薛城区期末）如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于，于，则的最小值为
．
9．（2020?淮阴区二模）如图，在四边形中，，，，，若，，则的长度为
．
10．（2020秋?薛城区期末）如图，在正方形中，点、为边和上的动点（不含端点），，下列四个结论：①当时，则；②；③的周长不变；④．其中正确结论的序号是
．
三、解答题
11．（2020秋?和平区期末）如图，若在正方形中，点为边上一点，点为延长线上一点，且，则与之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
12．（2020秋?海东市期末）正方形的边长为6，，分别是，边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
13．（2020秋?吉林期末）如图，长方形的顶点、的坐标分别为、，，正方形的顶点在边上，且点的坐标为．
（1）长方形的面积为
；（用含的式子表示）
（2）正方形的边长为
；
（3）求阴影部分的面积．（用含的式子表示）
14．（2020春?南充期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，已知，求的长．
15．（2020春?潜山市期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
18.2.3
正方形
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?玉林期末）下列说法不正确的是
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
【解析】解：、有一个角是直角的菱形是正方形，故选项不符合题意；
、四条边都相等的四边形是菱形，故选项符合题意；
、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；
、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；
故选：．
2．（2020秋?坪山区期末）菱形，矩形，正方形都具有的性质是
A．四条边相等，四个角相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
【解析】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．
故选：．
3．（2021春?九龙坡区校级月考）已知四边形是平行四边形，下列说法正确的有（
）
①当时，它是矩形
②时，它是菱形
③当时，它是菱形
④当时，它是正方形
A．①②
B．②
C．②④
D．③④
【解析】解：①若，则是菱形，选项说法错误；
②若，则是菱形，选项说法正确；
③若，则是矩形，选项说法错误；
④若，则是矩形，选项说法错误；
故选：．
4．（2020春?海淀区校级期末）如图，两把完全一样的直尺叠放在起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①②③④
【解析】解：过点作于，于．
两张长方形直尺的宽度相等，
，
又平行四边形的面积，
，
平行四边形为菱形．
当时，这个四边形是正方形，
这个四边形一定是轴对称图形，
故选：．
二、填空题
5．（2020秋?顺德区期末）一个正方形的对角线长为2，则其面积为 2 ．
【解析】解：方法一：四边形是正方形，
，，
由勾股定理得，，
．
方法二：因为正方形的对角线长为2，
所以面积为：．
故答案为：2．
6．（2020春?裕华区校级期末）如图，在中，，点、分别是边、的中点．延长到点，使，得四边形．当 90 时，四边形是正方形．
【解析】解：当时，四边形是正方形，
理由是：，，
，
，为的中点，
，平分，
，，
，
为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
即当时，四边形是正方形，
故答案为：90．
7．（2020秋?偃师市期末）如图，两个正方形边长分别为2、，图中阴影部分的面积为 ．
【解析】解：阴影部分的面积
8．（2020秋?薛城区期末）如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于，于，则的最小值为 ．
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是正方形，
，，
于，于，
四边形为矩形，
，
当时，取得最小值，
此时是等腰直角三角形，
，
的最小值为；
故答案为：．
9．（2020?淮阴区二模）如图，在四边形中，，，，，若，，则的长度为 6 ．
【解析】解：过点作于点，延长使，连接，
，，
，
四边形是矩形
四边形是正方形
，，
，，
，
，
，
，且，
，
在中，，
，
故答案为：6
10．（2020秋?薛城区期末）如图，在正方形中，点、为边和上的动点（不含端点），，下列四个结论：①当时，则；②；③的周长不变；④．其中正确结论的序号是 ①②③ ．
【解析】解：①：正方形中，，
当时，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
②：如图，将绕点顺时针旋转得，
则，
则在和中，
，
，
，
，
，
故②正确；
③：，
，
的周长为：
，
和均为正方形的边长，故的周长不变．故③正确；
④如图，将绕点逆时针旋转得，
，
，
在和中，
，
，
，
故④错误．
综上①②③正确．
故答案为：①②③．
三、解答题
11．（2020秋?和平区期末）如图，若在正方形中，点为边上一点，点为延长线上一点，且，则与之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
【解析】解：，，理由如下：
如图，延长交于点，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
即．
，．
12．（2020秋?海东市期末）正方形的边长为6，，分别是，边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【解析】（1）证明：逆时针旋转得到，
，，
、、三点共线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：设，
，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
则．
13．（2020秋?吉林期末）如图，长方形的顶点、的坐标分别为、，，正方形的顶点在边上，且点的坐标为．
（1）长方形的面积为 ；（用含的式子表示）
（2）正方形的边长为 ；
（3）求阴影部分的面积．（用含的式子表示）
【解析】解：（1）长方形的顶点、的坐标分别为、，，
，，
长方形的面积，
故答案为：；
（2）的坐标为，点的坐标为，
，
故答案为：2；
（3）解：
．
14．（2020春?南充期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，已知，求的长．
【解析】（1）证明：矩形，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，
四边形是正方形；
（2）平分，
，
在和中，
，
，
；
（3）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
15．（2020春?潜山市期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）如图，作于，于，
，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
（2）的值是定值，定值为6，理由如下：
正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是定值．
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精品试卷·第
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