山西省长治市武乡高级中学2020-2021学年高一下学期3月第二次周测数学试题 Word版含答案解析

武乡中学2020-2021学年高一下学期第二次周测
数学
考试范围：6.1---6.3；考试时间：90分钟；
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知，，且，则在方向上的投影为( )
A． B． C． D．
2．如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为
A． B． C． D．1
3．若向量的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则||的范围为(　　)
A．[0,)
B．[0,2)
C．[1,)
D．[1,2)
5．已知向量，，若与共线（其中，，且），则（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
8．已知点和点，点为坐标原点，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．3 D．
9．设为实数，已知向量=(-1，2)，=(1，).若，则向量+2与之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，若22=，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．已知向量、满足，，则的取值范围为___________.
12．已知向量，的夹角为，，，若，则___________.
13．已知，则与方向相同的单位向量的坐标为__________．
14．在矩形中，，，是直线上的动点（端点可取），则的取值范围是__________．
三、解答题
15．已知向量．
（1）若与向量垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．
16.如图，已知ΔABO中，点C为线段AB中点，点D是线段OB上的点，且，AD和OC交于点E，设.
（1）用表示向量；
（2）若，求实数的值.
17.如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值。
参考答案
1．C
【分析】
通过数量积计算出夹角，然后可得到投影.
【详解】
，，
即，，
在方向上的投影为，
故选C.
【点睛】
本题主要考查向量的几何背景，建立数量积方程是解题的关键，难度不大.
2．D
【分析】
选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值．
【详解】
选取为基底，
则，
又，
将以上两式比较系数可得．
故选D．
【点睛】
应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，合理地选择基底会给解题带来方便；
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算；
（3）一个向量按照同一组基底进行分解后，所得结果具有唯一性．
3．C
【分析】
由，代入已知条件，即可解得.
【详解】
因为，
又，，，
所以，解得(舍去)或.故选C.
【点睛】
本题考查求平面向量的模,常用方法是用数量积或求解.
4．A
【分析】
设的夹角为θ，θ∈，则cosθ∈[﹣1，0），||2=+2=2+2cosθ即可．
【详解】
设的夹角为θ,θ∈,则cos θ∈[-1,0),||2=+2=2+2cos θ∈[0,2),故||的范围为[0,).
答案A
【点睛】
本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．
5．A
【解析】
向量，，则，
，由与共线，可得，
则．故选A．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
6．B
【分析】
以为原点方向为轴建立平面直角坐标系，根据为单位向量设出的坐标，利用三角函数的性质求得的最大值.
【详解】
由于单位向量、满足，故，以为原点方向为轴建立平面直角坐标系，由于为单位向量，故在以为圆心，半径为的圆上，设，也即，所以，所以的最大值为.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查三角恒等变换求最值，属于中档题.
7．C
【分析】
建立如图所示的直角坐标系，设，求出，即得解.
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，
则，，.
设，
则，，，，
所以
.
所以当，时，取得最小值.
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标运算，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．D
【解析】
由题意可得：，则：
，
结合二次函数的性质可得，当时，.
本题选择D选项.
9．A
【分析】
根据向量垂直的坐标运算解得，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.
【详解】
因为向量，若，则，解得，
所以，所以，，，
设向量+2与之间的夹角 ，则， ，
所以向量+2与之间的夹角为.
故选：A.
10．B
【分析】
由已知利用平面向量数量积的运算，余弦定理可求c2=a2+b2，利用勾股定理即可判断得解．
【详解】
解：
，化简可得：，
∴△ABC是直角三角形．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．
11．
【分析】
易得，结合，可得.又，可得，即可求解.
【详解】
，，，，
，则，则.
又，，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量模的取值范围的计算，考查了向量模的三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．
【分析】
将向量垂直转化为数量积为，根据平面向量数量积的运算律可求得结果.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】
由条件设与方向相同的单位向量坐标为，再由条件列式求解.
【详解】
设与方向相同的单位向量坐标为，
则，解得 或
因为与的方向相同，所以，
与同方向的单位向量是.
故答案为：
14．
【分析】
建立直角坐标系，应用坐标进行向量数量积的求解.
【详解】
根据题意，建立如图直角坐标系，
此时
设点

故其最大值为1，最小值为0.
故答案为：.
15．（1）；（2）．
【分析】
（1）由代入的坐标，然后得到的坐标表示，再由与 垂直，得到，分别代入坐标，得到关于的方程，求出答案.
（2）先得到的坐标，然后根据与平行，得到坐标关系，即关于的方程，求出答案.
【详解】
（1）由题意，，
，
因为与 垂直，
所以
整理得，解得．
（2）由题意，，
由（1）知，，
因为与平行，
所以，
整理得，解得．
16．（1） ；；（2），.
【分析】
（1）根据平行四边形法则可直接表示，中，利用加法，减法，或数乘向量，寻找回路表示；
（2）代入（1）的结果表示等式，因为与不共线，所以可以利用左右两边与的系数对应相等求得实数的值.
【详解】
（1）∵C为AB中点，∴.　
∵∴∴
（2）在ΔOEA中，　
∴　
，.
（本题方法多样，只要说理充分都给分）