人教高中数学（B版）选修2-3第三章3.2回归分析 教案（2课时）

§3.2
回归分析(1)
教学目标
（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；
（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；
（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．
教学重点，难点
线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．
教学过程
一．问题情境
1．
情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值．
时刻/s
位置观测值/cm
根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是：
先作散点图，如下图所示：
从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，
可以得到线性回归方为，所以当时，由线性回归方程可以估计其位置值为
2．问题：在时刻时，质点的运动位置一定是吗？
二．学生活动
思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映与之间的关系，的值不能由完全确定，它们之间是统计相关关系，的实际值与估计值之间存在着误差．
三．建构数学
1．线性回归模型的定义：
我们将用于估计值的线性函数作为确定性函数；
的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；
将称为线性回归模型．
说明：（1）产生随机误差的主要原因有：
①所用的确定性函数不恰当引起的误差；
②忽略了某些因素的影响；
③存在观测误差．
（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题：
①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）；
②在模型合理的情况下，如何估计，？
2．探求线性回归系数的最佳估计值：
对于问题②，设有对观测数据，根据线性回归模型，对于每一个，对应的随机误差项，我们希望总误差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值时的，值作为，的估计值，记为，．
注：这里的就是拟合直线上的点到点的距离．
用什么方法求，？
回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求，的方法：最小二乘法．
利用最小二乘法可以得到，的计算公式为
，
其中，
由此得到的直线就称为这对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中，分别为，的估计值，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值．
在前面质点运动的线性回归方程中，，．
3．
线性回归方程中，的意义是：以为基数，每增加1个单位，相应地平均增加个单位；
4．
化归思想（转化思想）
在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式．
（1），令，，则有．
（2），令，，，则有．
（3），令，，，则有．
（4），令，，，则有．
（5），令，，则有．
四．数学运用
1．例题：
例1．下表给出了我国从年至年人口数据资料，试根据表中数据估计我国年的人口数．
年份
人口数/百万
解：为了简化数据，先将年份减去，并将所得值用表示，对应人口数用表示，得到下面的数据表：
作出个点构成的散点图，
由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型来表示它们之间的关系．
根据公式（1）可得
这里的分别为的估
计值，因此线性回归方程
为
由于年对应的,代入线性回归方程可得（百万），即年的人口总数估计为13.23亿.
例2．
某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本（万元）与人均产出（万元）的数据：
人均
资本
/万元
人均
产出
/万元
（1）设与之间具有近似关系（为常数），试根据表中数据估计和的值；
（2）估计企业人均资本为万元时的人均产出（精确到）．
分析：根据，所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对的两边取对数，就能将其转化为线性关系．
解（1）在的两边取常用对数，可得，设，，，则．相关数据计算如图所示．
1
人均资本/万元
3
4
5.5
6.5
7
8
9
10.5
11.5
14
2
人均产出/万元
4.12
4.67
8.68
11.01
13.04
14.43
17.5
25.46
26.66
45.2
3
0.47712
0.60206
0.74036
0.81291
0.8451
0.90309
0.95424
1.02119
1.0607
1.14613
4
0.6149
0.66932
0.93852
1.04179
1.11528
1.15927
1.24304
1.40586
1.42586
1.65514
仿照问题情境可得，的估计值，分别为由可得，即，的估计值分别为和．
（2）由（1）知．样本数据及回归曲线的图形如图（见书本
页）
当时，（万元），故当企业人均资本为万元时，人均产值约为万元．
§3.2
回归分析(2)
教学目标：
1.通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用。
2.会求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报。（重难点）
教学过程：
一．问题情境
1．情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？
2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义．
二．学生活动
对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？
这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量与的线性相关性进行检验（简称相关性检验）．
三．建构数学
1．相关系数的计算公式：
对于，随机取到的对数据，样本相关系数的计算公式为
．
2．相关系数的性质：
（1）；
（2）越接近与1，，的线性相关程度越强；
（3）越接近与0，，的线性相关程度越弱．
可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关．
3．对相关系数进行显著性检验的步骤：
相关系数的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数进行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：
（1）提出统计假设：变量，不具有线性相关关系；
（2）如果以的把握作出推断，那么可以根据与（是样本容量）在附录（教材P111）中查出一个的临界值（其中称为检验水平）；
（3）计算样本相关系数；
（4）作出统计推断：若，则否定，表明有的把握认为变量与之间具有线性相关关系；若，则没有理由拒绝，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量与之间具有线性相关关系．
说明：1．对相关系数进行显著性检验，一般取检验水平，即可靠程度为．
2．这里的指的是线性相关系数，的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的某种关系．
3．这里的是对抽样数据而言的．有时即使，两者也不一定是线性相关的．故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释．
4．对于上节课的例1,可按下面的过程进行检验：
（1）作统计假设：与不具有线性相关关系；
（2）由检验水平与在附录中查得；
（3）根据公式得相关系数；
（4）因为，即，所以有﹪的把握认为与之间具有线性相关关系,线性回归方程为是有意义的．
四．数学运用
1．例题：
例1．下表是随机抽取的对母女的身高数据,试根据这些数据探讨与之间的关系．
母亲身高
女儿身高
解：所给数据的散点图如图所示：由图可以看出，这些点在一条直线附近，
因为，，
，
，
，
所以，
由检验水平及，在附录中查得，因为,所以可以认为与之间具有较强的线性相关关系．线性回归模型中的估计值分别为
，
故对的线性回归方程为．
例2．要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响，在高一年级学生中随机抽取名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表：
学生编号
入学成绩
高一期末成绩
（1）计算入学成绩与高一期末成绩的相关系数；
（2）如果与之间具有线性相关关系，求线性回归方程；
（3）若某学生入学数学成绩为分，试估计他高一期末数学考试成绩．
解：(1)因为，，
，，
．
因此求得相关系数为．
结果说明这两组数据的相关程度是比较高的；
小结解决这类问题的解题步骤：
（1）作出散点图，直观判断散点是否在一条直线附近；
（2）求相关系数；
（3）由检验水平和的值在附录中查出临界值，判断与是否具有较强的线性相关关系；
（4）计算，，写出线性回归方程．