2.2.1由边的关系判定平行四边形
1.下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
B．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠A＝180°
C．∠A＋∠D＝180°，∠B
＋∠C
＝180°
D．∠A＋∠D
＝180°，∠A＋∠B
＝180°
2.如图，D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA上的点，且DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，则图中平行四边形的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3.下列三角形中,一定可以拼成平行四边形的是
( )
A.两个等腰三角形
B.两个直角三角形
C.两个锐角三角形
D.两个全等三角形
4.在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还应满足条件( )
A．∠A＋∠D＝180°
B．∠A＋∠B＝180°
C．∠B＝∠D
D．∠A＋∠C＝180°
5.【中考·东营】如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( )
A．AD＝BC
B．CD＝BF
C．∠A＝∠C
D．∠F＝∠CDF
6.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥CD，∠A＝∠C
B．AB＝CD，∠B＝∠D
C．AD＝BC，AD∥BC
D．AB＝CD，AD＝BC
7.四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边长，c，d为另一组对边长且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形是( )
A．任意四边形
B．平行四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
8.点A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9.【中考·玉林】在四边形ABCD中，①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，④AD＝BC，从以上条件中选择两个使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( )
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AB∥CD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
11.在四边形ABCD中，AB∥CD，若要利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是_______
___．
12.[2019湖南长沙期末]如图,点D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是________
13.将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形ABCD为平行四边形，请你写出判断的依据：_______________
14.易错题[2019浙江杭州余杭区二模]在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(0,-1),C(-3,-1),D(-2,1),移动点A,使得顺次连接这四个点得到的图形是平行四边形,则移动后点A的坐标为____________
15.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=6
cm,AD=9
cm.点P以1
cm/s的速度由A点向D点运动,同时点Q以2
cm/s的速度由C点向B点运动,当点P,Q运动_____
___________s时,直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形.?
16.【中考·凉山州】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，D，E分别是BC，AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F.则四边形AFBD的面积为_______．
17.[2020湖南岳阳中考]如图,点E,F分别在?ABCD的边BC,AD上,BE=BC,FD=AD,
连接BF,DE.
求证:四边形BEDF是平行四边形.
18.如图,在△ABC中,AB≠AC,△ACD,△ABE,△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.求证:四边形ADFE为平行四边形.
19.[2020四川成都青羊区期末]如图,在四边形ABCD中,点E和点F是对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,且DF∥BE.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若∠CEB=2∠EBA,BE=3,EF=2,求AC的长.
20.如图，在四边形ABCD中，过A，C分别作AD和BC的垂线，交对角线BD于点E，F，AE＝CF，BE＝DF.
求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若BC＝4，∠CBD＝45°，且E，F是BD的三等分点，求四边形ABCD的面积．
21.[2020河北邢台模拟]如图,已知在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,以AD,AE为腰作等腰三角形ADE(点E在点A的右上方),且∠ADE=∠ABC,连接CE,过点E作EM∥BC交CA延长线于M,连接BM.
(1)求证:△BAD≌△CAE.
(2)若∠ABC=30°,求∠MEC的度数.
(3)求证:四边形MBDE是平行四边形.
22.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8
cm，AD＝12
cm，点P在AD边上以每秒1
cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4
cm的速度从点C出发，在C，B间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动，问当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？2.2.1由边的关系判定平行四边形
1.下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是( D )
A．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
B．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠A＝180°
C．∠A＋∠D＝180°，∠B
＋∠C
＝180°
D．∠A＋∠D
＝180°，∠A＋∠B
＝180°
2.如图，D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA上的点，且DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，则图中平行四边形的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
3.下列三角形中,一定可以拼成平行四边形的是
( D )
A.两个等腰三角形
B.两个直角三角形
C.两个锐角三角形
D.两个全等三角形
4.在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还应满足条件( B )
A．∠A＋∠D＝180°
B．∠A＋∠B＝180°
C．∠B＝∠D
D．∠A＋∠C＝180°
5.【中考·东营】如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( D )
A．AD＝BC
B．CD＝BF
C．∠A＝∠C
D．∠F＝∠CDF
【点拨】D选项利用AAS证得△CED≌△BEF，∴CD＝BF，∠C＝∠EBF，∴CD＝AB，CD∥AF，∴四边形ABCD是平行四边形．【答案】D
6.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( B )
A．AB∥CD，∠A＝∠C
B．AB＝CD，∠B＝∠D
C．AD＝BC，AD∥BC
D．AB＝CD，AD＝BC
【点拨】选项A：∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，
又∵∠A＝∠C，∴∠D＋∠C＝180°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
选项B：AB＝CD，∠B＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
选项C：AD＝BC，AD∥BC，即四边形ABCD的一组对边平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
选项D：AB＝CD，AD＝BC，即四边形ABCD的两组对边分别相等，则四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意．
【答案】B
7.四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边长，c，d为另一组对边长且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形是( B )
A．任意四边形
B．平行四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
8.点A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】由题意画出图形，如图，可知符合条件的点D有3个．
9.【中考·玉林】在四边形ABCD中，①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，④AD＝BC，从以上条件中选择两个使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( B )
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
【点拨】根据平行四边形的判定定理，符合条件的选法有4种，分别是①②，②④，①③，③④.
10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( C )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AB∥CD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
【点拨】一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．本题易因不能正确选用判定定理而致错．
11.在四边形ABCD中，AB∥CD，若要利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是_______AB＝CD___．
12.[2019湖南长沙期末]如图,点D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是____两组对边分别相等的四边形是平行四边形_____
【点拨】 根据尺规作图的画法可得,AB=DC,AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形.
13.将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形ABCD为平行四边形，请你写出判断的依据：_______两组对边分别平行的四边形是平行四边形__________．
14.易错题[2019浙江杭州余杭区二模]在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(0,-1),C(-3,-1),D(-2,1),移动点A,使得顺次连接这四个点得到的图形是平行四边形,则移动后点A的坐标为_____(1,1)________
【点拨】 如图,∵B(0,-1),C(-3,-1),∴BC=3,当AD∥BC,AD=BC=3时,四边形ABCD是平行四边形.∵D(-2,1),
∴A(1,1).
15.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=6
cm,AD=9
cm.点P以1
cm/s的速度由A点向D点运动,同时点Q以2
cm/s的速度由C点向B点运动,当点P,Q运动_____2或3____________s时,直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形.?
【点拨】设点P,Q运动的时间为t
s,依题意,得CQ=2t
cm,BQ=(6-2t)cm,AP=t
cm,PD=(9-t)cm,∵AD∥BC,
∴①当BQ=AP时,四边形APQB是平行四边形,即6-2t=t,解得t=2;②当CQ=PD时,四边形CQPD是平行四边形,即2t=9-t,解得t=3.所以当P,Q运动2或3
s时,直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形.
16.【中考·凉山州】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，D，E分别是BC，AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F.则四边形AFBD的面积为___12_____．
【点拨】∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC.∴AF＝DC.
∵D是BC的中点，∴BD＝DC，∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，∴S四边形AFBD＝2S△ABD.
又∵BD＝DC，∴S△ABC＝2S△ABD，∴S四边形AFBD＝S△ABC.
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，
∴S△ABC＝AB·AC＝×4×6＝12，∴S四边形AFBD＝12.
【答案】12
17.[2020湖南岳阳中考]如图,点E,F分别在?ABCD的边BC,AD上,BE=BC,FD=AD,
连接BF,DE.
求证:四边形BEDF是平行四边形.
【点拨】 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵BE=BC,
FD=AD,∴FD=BE,
又∵FD∥BE,
∴四边形BEDF是平行四边形.
18.如图,在△ABC中,AB≠AC,△ACD,△ABE,△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.求证:四边形ADFE为平行四边形.
【点拨】 ∵△ABE,△BCF为等边三角形,
∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°,
∴∠FBE=∠CBA.
在△FBE和△CBA中,
∴△FBE≌△CBA(SAS),∴EF=AC,
又∵△ADC为等边三角形,∴CD=AD=AC,
∴EF=AD.
同理可得AE=DF.
∴四边形ADFE是平行四边形.
19.[2020四川成都青羊区期末]如图,在四边形ABCD中,点E和点F是对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,且DF∥BE.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若∠CEB=2∠EBA,BE=3,EF=2,求AC的长.
【点拨】(1)∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,
∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC,
在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(SAS),
∴AD=CB,∠DAF=∠BCE,
∴AD∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)∵∠CEB=∠EBA+∠EAB=2∠EBA,
∴∠EAB=∠EBA,∴AE=BE=3,
∴CF=AE=3,
∴AC=AE+EF+CF=3+2+3=8.
20.如图，在四边形ABCD中，过A，C分别作AD和BC的垂线，交对角线BD于点E，F，AE＝CF，BE＝DF.
求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若BC＝4，∠CBD＝45°，且E，F是BD的三等分点，求四边形ABCD的面积．
(1)证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠DAE＝∠BCF＝90°.
∵BE＝DF，∴BE＋EF＝DF＋EF，即BF＝DE.
在Rt△ADE与Rt△CBF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF，∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，
∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)解：如图，过C作CH⊥BD于点H，
∵∠CBD＝45°，BC⊥CF，
∴△CBF是等腰直角三角形．
∵BC＝4，∴BF＝4
，易得CH＝2
，
∵E，F是BD的三等分点，
∴BD＝6
，∴四边形ABCD的面积＝BD·CH＝24.
21.[2020河北邢台模拟]如图,已知在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,以AD,AE为腰作等腰三角形ADE(点E在点A的右上方),且∠ADE=∠ABC,连接CE,过点E作EM∥BC交CA延长线于M,连接BM.
(1)求证:△BAD≌△CAE.
(2)若∠ABC=30°,求∠MEC的度数.
(3)求证:四边形MBDE是平行四边形.
【点拨】(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠BAC=180°-2∠ABC.
由题意知AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,∴∠DAE=180°-2∠ADE,
∵∠ADE=∠ABC,∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=30°,
∵△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE=30°,
∴∠ECB=∠ACB+∠ACE=60°.
∵EM∥BC,∴∠MEC+∠ECD=180°,
∴∠MEC=180°-60°=120°.
(3)∵△BAD≌△CAE,∴DB=CE,∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,∴∠ABD=∠ACB,∴∠ACB=∠ACE.
∵EM∥BC,∴∠EMC=∠ACB,
∴∠ACE=∠EMC,∴ME=EC,∴DB=ME,
又∵EM∥BD,∴四边形MBDE是平行四边形.
22.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8
cm，AD＝12
cm，点P在AD边上以每秒1
cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4
cm的速度从点C出发，在C，B间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动，问当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？
解：易知AD∥BC，
∴当PD＝BQ时，以点P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．
设运动时间为t
s，分情况讨论：
①当点Q的运动路线是C→B时，根据题意，得PD＝(12－t)cm，BQ＝(12－4t)cm.
∴12－4t＝12－t，解得t＝0，不符合题意；
②当点Q的运动路线是C→B→C时，根据题意，
得PD＝(12－t)cm，BQ＝(4t－12)cm.
∴4t－12＝12－t，解得t＝4.8；
③当点Q的运动路线是C→B→C→B时，根据题意，得PD＝
(12－t)cm，BQ＝[12－(4t－24)]cm.∴12－(4t－24)＝12－t，
解得t＝8；
④当点Q的运动路线是C→B→C→B→C时，根据题意，得PD＝(12－t)cm，BQ＝(4t－36)cm.∴4t－36＝12－t，解得t＝9.6；
⑤当点Q的运动路线是C→B→C→B→C→B时，根据题意，得PD＝(12－t)cm，BQ＝[12－(4t－48)]cm.
∴12－(4t－48)＝12－t，解得t＝16，
此时点P走的路程为16
cm＞AD，不符合题意．
综上所述，当运动时间分别为4.8
s，8
s，9.6
s时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．
