2.2.2由对角线、角的关系判定平行四边形
1.[2020湖南衡阳中考]如图,
在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是
( )
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AB∥DC,AD=BC
D.OA=OC,OB=OD
2.[2020山东潍坊期末]已知△ABC(如图1),按图2、图3所示的尺规作图痕迹,不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是
( )
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
4.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
5.【中考·安徽】在?ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A．BE＝DF
B．AE＝CF
C．AF∥CE
D．∠BAE＝∠DCF
6.下列命题是真命题的是( B )
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，一组邻角相等的四边形是平行四边形
7.八年级6班的一个互助学习小组的组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件．
如图所示，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，________．
求证：四边形AECF是平行四边形．
你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗？
下面是四位同学所填条件，符合题目要求的是( )
条件分别是①BE＝DF；②∠B＝∠D；③∠BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形．
A．①②③④
B．①②③
C．①④
D．②④
8.【中考·绵阳】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( )
A．6
B．12
C．20
D．24
9.【中考·呼和浩特】顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形．①AB∥CD；②BC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D．从以上四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．5种
B．4种
C．3种
D．1种
10.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD．从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．6种
B．5种
C．4种
D．3种
11.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
12.[2020山东泰安岱岳区期中]如图,在?ABCD中,按以下步骤作图:
①以点A为圆心,AB的长为半径作弧,交AD于点F,连接BF;
②分别以点F,B为圆心,大于BF的长为半径作弧,两弧在∠DAB内交于点G;
③作射线AG,分别交BF,BC于点O,E,连接EF.
若AB=5,BF=8,则四边形ABEF的面积为
( )
A.12
B.20
C.24
D.48
13.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF＝DE，则四边形ADCF是______，理由是______是平行四边形___________．四边形BCFD是________，理由是___________．
14.在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，若AO＝CO＝7
cm，BO＝5
cm，则当OD＝_______cm时，四边形ABCD是平行四边形．
15.【中考·牡丹江】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件：______(只添加一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
16.[2020山东济南槐荫区模拟]在△ABC中,BC=a.作BC的三等分点C1,使得CC1∶BC1=1∶2,过点C1作AC的平行线交AB于点A1,过点A1作BC的平行线交AC于点D1;作BC1的三等分点C2,使得C1C2∶BC2=1∶2,过点C2作AC的平行线交AB于点A2,过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2??如此进行下去,则线段AnDn(n≥1,且n为整数)的长为 .?
17.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在BC，AD上，且∠1＝∠2.求证：四边形AECF是平行四边形．
18.如图，在?ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉已知条件中的“∠DAB＝60°”，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
19.[2020重庆沙坪坝区模拟]如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点E,BE=DE,延长CD到点F,使DF=CD,连接AF.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若AB⊥AC,AB=2,AF=5,求四边形ABCF的面积.
20.【中考·永州】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为一边向外作等边三角形ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.
(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；
(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．
21.【中考·云南】如图，在?ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC的中点，BC＝2CD．
求证：四边形MNCD是平行四边形；
(2)求证：BD＝MN.
22.在△ABC中,AB=AC,BC=6,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,当点P移动到点A时,点P,Q同时停止移动.若点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图1,过点P作AC的平行线交BC于点F,连接PC,FQ,试判断四边形PFQC的形状,并证明你的结论;
(2)如图2,过点P作PE⊥BC,垂足为E,请说明在点P,Q移动的过程中,DE的长度保持不变.
23.如图，M，N是平行四边形ABCD的对角线BD上的两点．
若BM＝DN，求证：四边形AMCN为平行四边形；
(2)若M，N为对角线BD上的两个动点(均可与端点重合)，BD＝12
cm，点M由点B向点D匀速运动，速度为2
cm/s，同时点N由点D向点B匀速运动，速度为a
cm/s，设运动时间为t
s．若要使四边形AMCN为平行四边形，求a的值及t的取值范围．2.2.2由对角线、角的关系判定平行四边形
1.[2020湖南衡阳中考]如图,
在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是
( C )
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AB∥DC,AD=BC
D.OA=OC,OB=OD
【点拨】选项A符合平行四边形的定义,可以判定四边形ABCD是平行四边形;选项B,四边形两组对边分别相等,可以判定四边形ABCD是平行四边形;选项C,四边形的一组对边平行,另一组对边相等,不能判定四边形ABCD是平行四边形;选项D,四边形对角线互相平分,可以判定四边形ABCD是平行四边形.故选C.
2.[2020山东潍坊期末]已知△ABC(如图1),按图2、图3所示的尺规作图痕迹,不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是
( B )
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【点拨】由题意知AO=OC,BO=OD,根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,得四边形ABCD是平行四边形.故选B.
3.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是( A )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【点拨】由已知可得AO＝CO，BO＝DO，所以四边形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【答案】A
4.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( D )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
5.【中考·安徽】在?ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( B )
A．BE＝DF
B．AE＝CF
C．AF∥CE
D．∠BAE＝∠DCF
6.下列命题是真命题的是( B )
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，一组邻角相等的四边形是平行四边形
【点拨】A.一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，假命题．
B．一组对边平行，一组对角相等，可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形，真命题．
C．一组对边平行，一组邻角互补，可能是梯形，假命题．
D．一组对边相等，一组邻角相等，不一定是平行四边形，假命题．
【答案】B
7.八年级6班的一个互助学习小组的组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件．
如图所示，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，________．
求证：四边形AECF是平行四边形．
你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗？
下面是四位同学所填条件，符合题目要求的是( C )
条件分别是①BE＝DF；②∠B＝∠D；③∠BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形．
A．①②③④
B．①②③
C．①④
D．②④
【点拨】当添加①④时，可得四边形AECF是平行四边形．
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BE＝DF，∴AD－DF＝BC－BE.
∴AF＝EC.∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．
【答案】C
8.【中考·绵阳】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( D )
A．6
B．12
C．20
D．24
【点拨】∵∠CBD＝90°，BE＝3，BC＝4，∴EC＝＝5.
∵AC＝10，∴AE＝5＝EC.又∵BE＝ED，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴S?ABCD＝4S△BCE＝24.
9.【中考·呼和浩特】顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形．①AB∥CD；②BC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D．从以上四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( C )
A．5种
B．4种
C．3种
D．1种
【点拨】由①③或①④可推出BC∥AD，满足条件“两组对边分别平行”；③④满足条件“两组对角分别相等”，故共有3种情况．
10.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD．从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( C )
A．6种
B．5种
C．4种
D．3种
【点拨】选①②，①③，①④，③④均可使四边形ABCD为平行四边形．
11.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( B )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【点拨】①③④均可判定四边形DEBF为平行四边形．本题易因没有熟练掌握平行四边形的判定方法而错选A或C或D.
【答案】B
12.[2020山东泰安岱岳区期中]如图,在?ABCD中,按以下步骤作图:
①以点A为圆心,AB的长为半径作弧,交AD于点F,连接BF;
②分别以点F,B为圆心,大于BF的长为半径作弧,两弧在∠DAB内交于点G;
③作射线AG,分别交BF,BC于点O,E,连接EF.
若AB=5,BF=8,则四边形ABEF的面积为
( C )
A.12
B.20
C.24
D.48
【点拨】由作图可得,AG所在直线是BF的垂直平分线,∠AFB=∠ABF,∴BO=FO,AE⊥FB,
∴BO=4,
∴AO=
=3.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AF∥BC,∴∠AFB=∠EBF,∴∠ABF=∠EBF.在△AOB
和△EOB中,
∴△AOB≌△EOB(ASA),∴AO=EO,又∵BO=FO,∴四边形ABEF是平行
四边形,∴S四边形ABEF=
2S△AEB=2×AE·BO=6×4=24.故选C.
13.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF＝DE，则四边形ADCF是__平行四边形_____，理由是______对角线互相平分的四边形是平行四边形___________．四边形BCFD是____平行四边_____，理由是____一组对边平行且相等的四边形是平行四边形_______．
14.在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，若AO＝CO＝7
cm，BO＝5
cm，则当OD＝___5_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
15.【中考·牡丹江】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件：___BO＝DO(答案不唯一)___(只添加一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
16.[2020山东济南槐荫区模拟]在△ABC中,BC=a.作BC的三等分点C1,使得CC1∶BC1=1∶2,过点C1作AC的平行线交AB于点A1,过点A1作BC的平行线交AC于点D1;作BC1的三等分点C2,使得C1C2∶BC2=1∶2,过点C2作AC的平行线交AB于点A2,过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2??如此进行下去,则线段AnDn(n≥1,且n为整数)的长为 =a. .?
【点拨】∵A1C1∥AC,A1D1∥BC,∴四边形A1C1CD1为平行四边形,
∴A1D1=C1C=a=a,同理,四边形A2C2C1D2为平行四边形,∴A2D2=C1C2=a=a??
∴线段AnDn=a.
17.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在BC，AD上，且∠1＝∠2.求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D.
又∵∠1＝∠2，∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴∠BAE＝∠DCF.
又∵∠BAD＝∠DCB，∴∠DAE＝∠ECF.
又∵∠1＝∠2，∴∠AEC＝∠AFC.
∴四边形AECF是平行四边形．
18.如图，在?ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉已知条件中的“∠DAB＝60°”，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠DCB＝∠DAB＝60°，∴∠ADE＝∠CBF＝60°.又∵AE＝AD，CF＝CB，
∴△AED，△CFB都是等边三角形，∴ED＝DA＝BC＝BF.
∴ED＋DC＝BF＋AB，即EC＝FA，
又∵EC∥FA，∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)：上述结论还成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，DA＝CB，∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠CBF.∵AE＝AD，CF＝CB，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF.∴∠AED＝∠CFB，又∵AD＝CB，∴△ADE≌△CBF，∴ED＝FB.∴ED＋DC＝FB＋AB，即EC＝FA.
又∵EC∥FA，∴四边形AFCE是平行四边形．
19.[2020重庆沙坪坝区模拟]如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点E,BE=DE,延长CD到点F,使DF=CD,连接AF.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若AB⊥AC,AB=2,AF=5,求四边形ABCF的面积.
【点拨】(1)∵AD∥BC,∴∠DAE=∠BCE,
又∵∠AED=∠CEB,DE=BE,
∴△AED≌△CEB(AAS),
∴AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=2,AB∥CD,
又∵AB⊥AC,DF=CD,
∴∠ACF=∠BAC=90°,CF=2CD=4.
∵AF=5,
∴AC==3,
∴四边形ABCF的面积=(AB+CF)·AC=9.
20.【中考·永州】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为一边向外作等边三角形ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.
(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；
(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．
(1)证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°.
∵△ABD为等边三角形，∴∠D＝∠BAD＝60°，
∴∠BAD＝∠ABC.∴AD∥BC.
∵在Rt△ABC中，点E是线段AB的中点，∴AE＝BE＝CE.
∴△BCE为等边三角形．∴∠AFE＝∠BCE＝60°.
∴∠AFE＝∠D.∴FC∥BD.
∵FD∥BC，∴四边形BCFD为平行四边形．
(2)：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝30°，AB＝6，
∴BC＝3，AC＝3
，
∴S平行四边形BCFD＝3×3
＝9
.
21.【中考·云南】如图，在?ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC的中点，BC＝2CD．
求证：四边形MNCD是平行四边形；
(2)求证：BD＝MN.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.又∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴MD＝NC，MD∥NC，
∴四边形MNCD是平行四边形．
(20：如图，连接DN.∵N是BC的中点，BC＝2CD，
∴CD＝NC.又∵∠C＝60°，∴△DCN是等边三角形．
∴ND＝NC，∠DNC＝∠NDC＝60°.∴ND＝NB.
∴∠DBC＝∠BDN＝30°.∴∠BDC＝∠BDN＋∠NDC＝90°.
∴BD＝＝＝CD.
∵四边形MNCD是平行四边形，∴MN＝CD.∴BD＝MN.
22.在△ABC中,AB=AC,BC=6,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,当点P移动到点A时,点P,Q同时停止移动.若点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图1,过点P作AC的平行线交BC于点F,连接PC,FQ,试判断四边形PFQC的形状,并证明你的结论;
(2)如图2,过点P作PE⊥BC,垂足为E,请说明在点P,Q移动的过程中,DE的长度保持不变.
【点拨】(1)四边形PFQC是平行四边形.证明如下:
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB=∠B,∴PB=PF.
∵动点P,Q移动的速度相同,∴PB=CQ,
∴PF=PB=CQ,
又∵PF∥CQ,
∴四边形PFQC是平行四边形.
(2)如图,过点P作PH∥AC交BC于点H.
由(1)知PB=PH,
∵PE⊥BH,∴BE=EH.
由(1)知HD=DC,
∴ED=EH+HD=BH+HC=(BH+HC)=BC=3,
∴ED为定值,即在点P,Q移动的过程中,DE的长度保持不变.
23.如图，M，N是平行四边形ABCD的对角线BD上的两点．
若BM＝DN，求证：四边形AMCN为平行四边形；
(2)若M，N为对角线BD上的两个动点(均可与端点重合)，BD＝12
cm，点M由点B向点D匀速运动，速度为2
cm/s，同时点N由点D向点B匀速运动，速度为a
cm/s，设运动时间为t
s．若要使四边形AMCN为平行四边形，求a的值及t的取值范围．
(1)证明：如图，连接AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BM＝DN，∴OB－BM＝OD－DN，
∴OM＝ON，∴四边形AMCN为平行四边形．
(2)：当OM＝ON时，四边形AMCN为平行四边形．
易得BM＝ND，∴a＝2.
∵当M，N与点O重合，即t＝＝＝3时，点A，M，C，N在同一直线上，不能组成四边形；当点M由点B运动到点D时，t＝12÷2＝6，
∴t的取值范围是0≤t≤6且t≠3.
