人教版（2019）高考物理三轮冲刺专题复习 专题04和积不等式与三角函数极值法课件（17张PPT）

专题03　和积不等式与三角函数极值法
2021年高考物理三轮复习解题方法专题
方法概述
01
极值法是中学物理教学中重要的解题方法，在问题中主要表现在求物理量极大值、极小值、临界值、物理量的取值范围等方面。在应用极值法解题时，首先要选用合适的物理模型，应用物理规律构建待求物理量与其他物理量的函数关系，再利用数学方法求其极值。极值法可分为二次函数极值法、和积不等式极值法、三角函数极值法等。
02
和积不等式与三角函数极值法
一、和积不等式极值法
在数学，有算术平均数与几何平均数之别，若有 ，算术平均数 ，几何平均数为 ，算术平均数总大于或等于几何平均数： 。由是观之，不等式两边，若 和为定值，则 积取值最大，若积 为定值，和取最小值。
。
例1 在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的质点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此事绳与竖直方向夹角 = ，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取重力加速度 ， ，
（1）求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；
（2）若绳长l=2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。设水对选手的平均浮力 ，平均阻力 ，求选手落入水中的深度 ；
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（3）若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。
【解析】（1）由机械能守恒定律得
①
在最低点
解得
人对绳的拉力
（2）由动能定理得
（3）选手从最低点开始做平抛运动

且有①式 解得
有和积不等式知
当 即 时 ， 有最大值
变式训练1 一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图5所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y= x2，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
（1）求此人落到坡面时的动能；
（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？
①
【解析】（1）设探险队员跳到坡面上时水平位移为x，竖直位移为H，
由平抛运动规律有： ， ，
整个过程中，由动能定理可得：
由几何关系，
坡面的抛物线方程
解以上各式得：
（2）探险队员落到坡面的动能，
令 ，
则
由和积不等式得：
当 时，即 ，探险队员的动能最小，最小值为
变式训练1 如图，一个质量为 M的圆环用细绳悬挂着，有两个质量均为 m的小球套在圆环上，可沿圆环无摩擦地滑动，现将两小球同时从环的顶端释放，使其沿相反方向自由滑下，欲使圆环能够升起，求小球 的最小质量。
【解析】 设小球滑到图示位置，对小球受力分析
①
由机械能守恒定律得： ②
解得： ③
（对圆环在竖直方向进行受力分析，设绳拉力为 ,
则: ④
圆环上升时，绳对大圆环产生的向上的拉力
⑤
以上各式联立解得： .
由和积不等式得： ≤

小球的最小质量为
变式训练4（18年北京卷）如图所示，用电动势为E、内阻为r的电源，向滑动变阻器R供电。改变变阻器R的阻值，路端电压U与电流I均随之变化。
（1）以U为纵坐标，I为横坐标，在图2中画出变阻器阻值R变化过程中U-I图像的示意图，并说明U-I图像与两坐标轴交点的物理意义。
（2）a．请在图2画好的U-I关系图线上任取一点，画出带网格的图形，以其面积表示此时电源的输出功率；
b．请推导该电源对外电路能够输出的最大电功率及条件。
【解析】（1）U–I图象如图所示，图象与纵轴交点的坐标值为电源电动势，与横轴交点的坐标值为短路电流
（2）a．如图所示
b．电源输出的电功率
，积定和最小，P取最大值。
当外电路电阻 ，即R=r时，电源输出的电功率最大，为
二、三角函数极值法
待求物理量与角度具有关联性，建立函数关系，当角度变化时，待求物理量也发生变化，此时的极值依赖于三角函数求解。
例2.质量为 的小车，在地面上用卷扬机来牵引它，它与地面动摩擦因数为 ，求用力最省时的牵引角 。
【解析】 [模型构建 小车为质点，小车做匀速直线运动
数理整合 小车受力如图，建立如图直角坐标系由平衡条件得
①
②
③

①②③得 ④
令 代入上式
当 时， F 最小