第二讲 第1课时
A．基础巩固
1．(2017年宁夏校级期末)参数方程(t为参数)的曲线必过点( )
A．(－1,0)
B．(0,0)
C．(1,0)
D．(2,0)
【答案】C 【解析】由参数方程消去t，可得y＝(x－1)2－2(x－1)，即y＝x2－4x＋3，分别把各选项中的点代入方程，只有C答案符合该方程．故选C．
2．(2017年北京校级期末)曲线(t为参数)与x轴的交点坐标是( )
A．(8,0)，(－7,0)
B．(－8,0)，(－7,0)
C．(8,0)，(7,0)
D．(－8,0)，(7,0)
【答案】B 【解析】∵曲线(t为参数)，∴点的坐标(t－8，t2－t)．∴y＝0时，t＝1或t＝0.t＝0时，x＝－8；t＝1时，x＝－7，∴与x轴的交点坐标是(－7,0)，(－8,0)．故选B．
3．参数方程为(t为参数)表示的曲线是( )
A．一条直线
B．两条直线
C．一条射线
D．两条射线
【答案】D 【解析】当t＞0时，x＝t＋≥2，当t＜0时，x＝t＋＝－≤－2，所以所以曲线为两条射线．
4．曲线C的参数方程为(t∈R)，则曲线C的图象在第几象限( )
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】A 【解析】直接判断出x，y的范围即可．x＝t2＋2t＋3＝(t＋1)2＋2≥2，y＝t2＋4t＋5＝(t＋2)2＋1≥1，所以曲线的图象在第一象限．
5．点P(3，b)在曲线上，则b＝__________.
【答案】－5或3 【解析】3＝＋1，得t2＝4，t＝±2，所以b＝－2t－1的值为－5或3.
6．当m取一切实数时，双曲线x2－y2－6mx－4my＋5m2－1＝0的中心的轨迹的参数方程为__________．
【答案】(m为参数) 【解析】x2－y2－6mx－4my＋5m2－1＝0可化为(x－3m)2－(y＋2m)2＝1，所以中心的轨迹的参数方程为(m为参数)．
7．如下图，若点M在圆x2＋y2＝1上，设∠MOx为θ，求θ与点M(x，y)中x，y的关系．
【解析】由条件知x＝|OM|·cos
θ＝cos
θ，y＝|OM|·sin
θ＝sin
θ，故所求关系为
B．能力提升
8．(2017年张家口期中)下列参数方程中表示直线x＋y－2＝0的是( )
A．(t为参数)
B．(t为参数)
C．(t为参数)
D．(t为参数)
【答案】C 【解析】A中方程可化为x＋y－3＝0.B，C，D中方程均为化为x＋y－2＝0，但B，D中x，y的取值有限定，只能表示直线的一部分，故选C．
PAGE第二讲 第2课时
A．基础巩固
1．点(1,2)在圆的( )
A．内部
B．外部
C．圆上
D．与θ的值有关
【答案】A 【解析】圆化为普通方程为(x＋1)2＋y2＝64，将(1,2)代入左边可得(x＋1)2＋y2＝8＜64，故选A．
2．(2017年钦州期末)直线方程为xcos
φ＋ysin
φ＝2(φ为常数)，圆的参数方程为(θ为参数)，则直线与圆的位置关系为( )
A．相交不过圆心
B．相交且经过圆心
C．相切
D．相离
【答案】C 【解析】根据题意，圆的参数方程为则圆的普通方程为x2＋y2＝4，圆心坐标为(0,0)，半径为2，圆心到直线xcos
φ＋ysin
φ＝2的距离为d，则d＝＝2，则直线与圆相切．故选C．
3．圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，则圆的参数方程为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】设圆心为O′，M(x，y)，连接O′M，∵O′为圆心，∴∠MO′x＝2φ.如下图，则
4．(2017年乌兰察布校级期中)P(x，y)是曲线(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】∵曲线(0≤θ＜π，θ是参数)，∴其普通方程为(x＋2)2＋y2＝1(－3＜x≤－1，y≥0)．∴该曲线是以点C(－2,0)为圆心，半径为1的上半圆．设点P(x，y)为曲线上一动点，则
＝kOP,
当P的坐标为时，有最小值为－，当P的坐标为(－1,0)时，有最大值为0，∴的取值范围是.故选A．
5．若直线3x＋4y＋m＝0与圆(θ为参数)相切，则实数m的值是______________．
【答案】0或10 【解析】由圆的参数方程可得圆心为(1，－2)，半径为1，直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即＝1，m＝0或10.
6．若直线y＝x＋b与曲线≤有两个不同的交点，则实数b的取值范围是______________．
【答案】b∈(－，－1]
【解析】曲线(θ为参数且－≤θ≤)表示的是以原点为圆心，1为半径的圆的右半圆．如右图，直线y＝x＋b与曲线有两个不同的交点，直线应介于两直线l1与l2之间，则b∈(－，－1]．
7．在极坐标系中，圆A与圆C：ρ＝2cos
θ＋4sin
θ关于直线θ＝
对称．
(1)求圆A的极坐标方程；
(2)P为圆A上任意一点，求
·(其中O为极点)的取值范围．
【解析】(1)圆C：ρ＝2cos
θ＋4sin
θ，即ρ2＝2ρcos
θ＋4ρsin
θ，
可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋4y，即(x－1)2＋(y－2)2＝5，
直线l：θ＝，即y＝－x，
则(1,2)关于直线l的对称点为(－2，－1)．
∴圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，展开把ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin
θ，x＝ρcos
θ代入，可得极坐标方程ρ＋4cos
θ＋2sin
θ＝0.
(2)设P，
∴
·＝－2＋cos
θ＋2(－1＋sin
θ)＝－4＋5＝－4＋5cos(θ－α)∈[－9,1]．
B．能力提升
8．参数方程(t为参数)所表示的曲线是( )
A B C D
【答案】D 【解析】由参数方程可得t＝，代入得y＝x，得＝，两边平方得＝－1＝，得x2＋y2＝1，又＝≥0且x＝≠0，所以xy≥0且x≠0.故选D．
PAGE第二讲 第3课时
A．基础巩固
1．(2017年钦州期末)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为( )
A．
B．－
C．2
D．－2
【答案】D 【解析】∵直线的参数方程为(t为参数)，消去参数化为普通方程可得
y＝－2x＋4.故直线的斜率等于－2.故选D．
2．(2017年资阳期末)曲线C的参数方程为(θ是参数)，则曲线C的形状是( )
A．线段
B．直线
C．射线
D．圆
【答案】A 【解析】∵曲线C的参数方程为(θ是参数)，∴x＝2＋y，即x－y－2＝0，且0≤y≤1,2≤x≤3.∴曲线C的形状是线段．故选A．
3．(2017年钦州期末)曲线y＝x2的参数方程是( )
A．(t为参数)
B．(t为参数)
C．(t为参数)
D．(t为参数)
【答案】C 【解析】A，B，D中x的范围都有限定，只有C中x∈R，与原方程中范围等价．
4．已知直线(t为参数)与曲线M：ρ＝2cos
θ交于P，Q两点，则|PQ|＝( )
A．1
B．
C．2
D．2
【答案】C 【解析】直线(t为参数)即为直线x－y－1＝0.由x＝ρcos
θ，x2＋y2＝ρ2，曲线M：ρ＝2cos
θ，可化为x2＋y2－2x＝0，即圆心为(1,0)，半径为1，由圆心在直线上，则|PQ|＝2r＝2.故选C．
5．若P(2，－1)为曲线(θ为参数)的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为__________．
【答案】x－y－3＝0 【解析】曲线(θ为参数)是圆心为C(1,0)的圆，kCP＝＝－1，则弦所在直线的斜率为1，方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.
6．在平面直角坐标系xOy中，直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，切点在第一象限，则实数a的值为________．
【答案】＋1 【解析】圆的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，直线的普通方程为x＋y＝a，由直线与圆相切，则圆心C(1,0)到直线的距离d＝r，即＝1，解得a＝±＋1.∵切点在第一象限，∴a＝＋1.
7．若圆C和圆(θ为参数)关于直线(t为参数)对称，求圆C的方程．
【解析】圆(θ为参数)化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝16，圆心为(4,5)，半径为4，直线(t为参数)化为普通方程为3x－y＋3＝0.两圆关于直线对称，即两圆半径相同，圆心关于直线对称，设圆C的圆心坐标为(x，y)，则
?
所以圆C方程为(x＋2)2＋(y－7)2＝16.
B．能力提升
8.(2018年怀化模拟)已知曲线C的参数方程为α∈[0,2π)，曲线D的极坐标方程为ρsinθ＋＝－.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由.
【解析】(1)由α∈[0,2π)，得x2＋y＝1，x∈[－1,1].
(2)由ρsin＝－，得曲线D的普通方程为x＋y＋2＝0.
由得x2－x－3＝0，
解得x＝?[－1，1].
所以曲线C与曲线D无公共点.
PAGE第二讲 第4课时
A．基础巩固
1．(2017年珠海校级期中)二次曲线(θ是参数)的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】曲线的普通方程为＋＝1，表示焦点在y轴的椭圆，离心率e＝＝.故选D．
2．(2017年西昌校级月考)椭圆的焦距为( )
A．5
B．10
C．4
D．8
【答案】D 【解析】根据题意，椭圆的参数方程为则其普通方程为＋＝1，其中c＝＝4，则其焦距2c＝8.故选D．
3．椭圆(θ为参数)的中心坐标为( )
A．(3,8)
B．(3，－2)
C．(17,8)
D．(17，－2)
【答案】B 【解析】中心在点(m，n)的椭圆方程，如：＋＝1(a＞b＞0)的参数方程可表示为(θ为参数)，所以椭圆的中心为(3，－2)．
4．已知动圆：x2＋y2－2axcos
θ－2bysin
θ＝0(a，b是正常数，a≠b，θ是参数)，则圆心的轨迹是( )
A．直线
B．圆
C．抛物线的一部分
D．椭圆
【答案】D 【解析】动圆的圆心为(acos
θ，bsin
θ)，其参数方程为化为普通方程为＋＝1，又a≠b，所以轨迹为椭圆．
5．若P(m，n)为椭圆(θ为参数)上的点，则m＋n的取值范围是________．
【答案】[－2,2] 【解析】∵P(m，n)为椭圆(θ为参数)上的点，∴m＋n＝cos
θ＋sin
θ＝2sin，由三角函数知识可得m＋n的取值范围为[－2,2]．
6．曲线(θ为参数)上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值是__________．
【答案】－1 【解析】点的坐标可设为(1＋cos
θ，sin
θ)，距离为d＝＝＝(其中tan
φ＝2)，dmin＝＝＝－1.
7．如下图，由圆x2＋y2＝9上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，设P是MN的中点，求点P的轨迹方程．
【解析】圆的参数方程为(θ为参数)，
所以设点M坐标为(3cos
θ，3sin
θ)，P(x，y)，
则N(3cos
θ，0)．
所以(θ为参数)，
化为普通方程得＋＝1，
表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．
B．能力提升
8．已知点P是椭圆(θ为参数)上一点，点O是坐标原点，OP的倾斜角为，则|OP|等于( )
A．
B．2
C．
D．2
【答案】C 【解析】OP的斜率为k＝tan＝，直线方程为y＝x.椭圆的普通方程为＋＝1，两个方程联立得所以|OP|＝＝.
PAGE第二讲 第5课时
A．基础巩固
1．下列方程不表示双曲线的是( )
A．(θ为参数)
B．(t为参数)
C．(φ为参数)
D．(α为参数)
【答案】A 【解析】A是椭圆的参数方程，B化为普通方程为x2－y2＝4，C化为普通方程为x2－y2＝1，D化为普通方程为－＝1.B，C，D均为双曲线．
2．圆锥曲线(θ为参数)的准线方程是( )
A．x＝±
B．y＝±3
C．y＝±
D．x＝±3
【答案】C 【解析】将方程化为普通方程得－＝1，a＝3，b＝2，c＝＝，准线方程为y＝±＝±＝±.
3．双曲线(θ为参数)经过点( )
A．(1,3)
B．(3,1)
C．(3，)
D．(，3)
【答案】D 【解析】双曲线化为普通方程为x2－＝1，代入验证即可．
4．(2017年松原校级期中)已知某条曲线的参数方程是(t是参数)，则该曲线是( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
【答案】D 【解析】根据题意，某条曲线的参数方程是其普通方程为x2－y2＝16，则该曲线是双曲线．故选D．
5．长轴长与短轴长分别是双曲线(φ为参数)的实轴长与虚轴长的椭圆方程为____________．
【答案】＋＝1或＋＝1
【解析】由双曲线方程得a＝5，b＝4，因为没有明确焦点在哪个轴，所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
6．曲线(φ为参数)与曲线(θ为参数)的离心率分别为e1和e2，则e1＋e2的最小值为______________．
【答案】2 【解析】e1＝，e2＝，
e1＋e2＝＋＝≥＝2，当且仅当a＝b时等号成立．
7．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
【证明】设P(sec
θ，tan
θ)，F1(－，0)，F2(，0)，则
|PF1|·|PF2|
＝·
＝·
＝·
＝·
＝＝＝2sec2θ－1.
∵|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，
∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
B．能力提升
8．参数方程(α为参数)的普通方程为( )
A．y2－x2＝1
B．x2－y2＝1
C．y2－x2＝1(|x|≤)
D．x2－y2＝1(|x|≤)
【答案】C 【解析】x2＝2＝1＋sin
α，y2＝2＋sin
α，∴y2－x2＝1.又x＝sin＋cos＝sin∈[－，]，∴|x|≤.
PAGE第二讲 第6课时
A．基础巩固
1．(2017年延安校级月考)参数方程(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分，且过点
D．抛物线的一部分，且过点
【答案】D 【解析】由y＝cos2＝＝，可得sin
θ＝2y－1，由x＝
得x2－1＝sin
θ，∴参数方程可化为普通方程x2＝2y.又x＝∈[0，]，故选D．
2．点P(1,0)到曲线(其中参数t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】B 【解析】抛物线普通方程为y2＝4x，点P(1,0)是其焦点，点P到抛物线上距离最短的点为顶点，所以距离为1.
3.若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线
(t为参数)上，则|PF|等于( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C 【解析】抛物线普通方程为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
4.(2018年福州期末)已知曲线C的参数方程为
(α为参数)，则直线l：y＝x与曲线C的交点P的直角坐标为 .
【答案】(0,0) 【解析】因为曲线C的参数方程为
(α为参数)，所以曲线C的直角坐标方程为y＝x2(x∈[－2，2])，联立解方程组得或根据x的范围应舍去故点P的直角坐标为(0,0).
5．已知曲线(θ为参数)与直线x＝a有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是__________．
【答案】0＜a≤1 【解析】曲线(θ为参数)为抛物线段y2＝x(0≤x≤1)，借助图形直观易得0
6．已知曲线(t为参数，p为正常数)上的两点M，N对应的参数分别为t1和t2且t1＋t2＝0，那么|MN|＝____________.
【答案】4p|t1| 【解析】线段MN垂直于抛物线的对称轴，即x轴，|MN|＝2p|t1－t2|＝2p|2t1|＝4p|t1|.
7．设M为抛物线y2＝2x上的动点，定点M0(－1,0)，点P分线段M0M的比为2∶1，求点P的轨迹方程．
【解析】令y＝2t，则x＝＝2t2，得抛物线的参数方程为(t为参数)，设动点M(2t2,2t)，P(x，y)，因为点P分线段M0M的比为2∶1，所以＝2，
又＝(x＋1，y)，＝(2t2－x,2t－y)，
所以(x＋1，y)＝2(2t2－x，2t－y)，
即?
消去t得y2＝x＋，即为点P的轨迹方程．
B．能力提升
8．设抛物线y2＝4x有内接三角形ABO，其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长．
【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，F为△ABO垂心，所以OF⊥AB，A，B关于x轴对称．
设A(4t2,4t)(t＞0)，则B(4t2，－4t)，
所以kAF＝，kOB＝－＝－.
因为AF⊥OB，所以kAF·kOB＝·＝－1.
所以t2＝.由t＞0得t＝.
所以A(5,2)，|AB|＝4，|OA|＝|OB|＝3.
所以△ABC的周长为10.
PAGE第二讲 第7课时
A．基础巩固
1．(2017年宝鸡校级月考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的倾斜角为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】设直线l的倾斜角为θ，直线l的参数方程为(t为参数)，则其普通方程为y＋＝－(x－)，其斜率k＝－，则有tan
θ＝－，则有θ＝.故选D．
2．(2017年邯郸月考)直线(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4,5)
B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2)
D．(－4,5)或(0,1)
【答案】C 【解析】令t′＝2t，得参数方程的标准形式为将t′＝±代入得坐标为(－3,4)或(－1,2)．
3．(2017年朔州校级期中)参数方程(t为参数)表示的曲线与坐标轴的交点坐标为( )
A．(1,0)，(0，－2)
B．(0,1)，(－1,0)
C．(0，－1)，(1,0)
D．(0,3)，(－3,0)
【答案】D 【解析】参数方程(t为参数)消去参数t，得x－y＋3＝0，令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝－3.∴曲线与坐标轴的交点坐标为(0,3)，(－3,0)．故选D．
4．(2017年荆州月考)直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为( )
A．(3，－3)
B．(－，3)
C．(，－3)
D．(3，－)
【答案】D 【解析】将直线方程代入圆方程得2＋2＝16，得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8，＝4，中点为?
5．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)，则圆C的圆心坐标为__________，圆心到直线l的距离为__________．
【答案】(0,2) 2 【解析】消参将直线化为普通方程得x＋y－6＝0，圆C的圆心为(0,2)，利用点到直线的距离公式得＝2.
6．P是直线l1：(t为参数)和直线l2：x－y－2＝0的交点Q(1，－5)，则|PQ|＝________.
【答案】4 【解析】将代入x－y－2＝0得t＝2，代入参数方程，得P(1＋2，1)，而Q(1，－5)，得|PQ|＝＝4.
7．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．
【解析】(1)直线的参数方程为即(t为参数)．
(2)把直线代入x2＋y2＝4，
得2＋2＝4，t2＋(＋1)t－2＝0.
t1·t2＝－2，则点P到A，B两点的距离之积为|t1|·|t2|＝
|t1·t2|＝2.
B．能力提升
8.(2018年运城模拟)已知直线
(t为参数)，曲线C1：
(θ为参数).
(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
【解析】(1)l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.
联立得方程组解得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|＝1.
(2)C2的参数方程为
(θ为参数)，故点P的坐标是.
所以点P到直线l：x－y－＝0的距离
d＝＝.
当sin＝－1时，d取得最小值(－1).
PAGE第二讲 第8课时
A．基础巩固
1．(2017年钦州期末)给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中说法正确的是( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
【答案】C 【解析】本题主要是考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题．对于一个圆只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是会随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
2．圆的渐开线方程(φ是参数)，该圆的面积为( )
A．5π
B．10π
C．25π
D．50π
【答案】C 【解析】r＝5，∴S＝25π.
3．已知一个圆的参数方程是(θ是参数)，那么该圆的摆线方程中的参数φ＝对应的点的坐标与点之间的距离为( )
A．－1
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】由圆的参数方程得r＝3，所以摆线的参数方程为(φ是参数)，将φ＝代入参数方程，得点的坐标为，利用两点间距离公式可得距离为.
4．半径为2的圆的渐开线方程为________________．
【答案】(φ是参数) 【解析】将r＝2代入渐开线的方程即可．
5．渐开线(φ是参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的焦点坐标是________________．
【答案】(±6，0) 【解析】根据渐开线方程可知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，横坐标伸长为原来的2倍，则得到的是椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，焦点坐标为(±6，0)．
6．求摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．
【解析】当y＝2时，2＝2(1－cos
t)，
∴cos
t＝0.∵0≤t≤2π，∴t＝或.
∴x1＝2＝π－2，x2＝2＝3π＋2.∴交点的直角坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．
B．能力提升
7．已知圆C的参数方程是(α是参数)，直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，问平移后圆和直线满足什么关系？
(2)写出平移后圆的摆线方程；
(3)求摆线和x轴的交点．
【解析】(1)圆C平移后圆心为(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)圆的半径是6，所以可得摆线方程是
(φ是参数)．
(3)令y＝0，得6(1－cos
φ)＝0?cos
φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x得x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．
PAGE第二讲 讲末复习与小结
四、素质训练
A．基础巩固
1．(2017年邯郸校级期末)参数方程(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cos
θ所表示的图形分别是( )
A．圆和直线
B．直线和直线
C．椭圆和直线
D．椭圆和圆
【答案】D 【解析】极坐标ρ＝－6cos
θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－6ρcos
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝－6x，即(x＋3)2＋y2＝9，表示以C(－3,0)为圆心，半径为3的圆．参数方程(θ为参数)，利用同角三角函数关系消去θ，化为普通方程为＋y2＝1，表示椭圆．故选D．
2.
(2017年虎林校级月考)直线y＝x＋b与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是( )
A．
B．
C．(－，)
D．(－，－1]
【答案】B 【解析】曲线，化为x2＋y2＝(x≥0)，表示以原点为圆心，为半径的右半圆．直线y＝x＋b与有两个不同的交点，过时，b＝－；直线与半圆相切时，b＝－，所以实数b的取值范围是.故选B．
3．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设A，B点分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为( )
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】C 【解析】由C1：得曲线C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，圆心为C1(3,4)，半径为r1＝1；
由C2：ρ＝1，得曲线C2：x2＋y2＝1，圆心为C2(0,0)，半径为r2＝1；
所以两圆心距为|C1C2|＝＝5.
因为点A，B分别在曲线C1和曲线C2上，
所以|AB|min＝|C1C2|－r1－r2＝5－1－1＝3.
4．已知抛物线C的参数方程为(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝______.
【答案】 【解析】抛物线C的参数方程化为普通方程y2＝8x，焦点为F(2,0)．
所以斜率为1且经过抛物线C的焦点的直线方程为
y－0＝x－2，即x－y－2＝0.
又直线与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，
所以圆心到直线的距离
d＝＝＝r，即r＝.
5．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为____________．
【答案】 【解析】由两曲线参数方程消去x，y，t得cos
θ＝sin2θ?cos
θ＝(1－cos2θ)?5cos2θ＋4cos
θ－5＝0?(cos
θ＋5)(cos
θ－1)＝0.
∵－1≤cos
θ<1，∴cos
θ＝.∴sin
θ＝＝.
∴故交点坐标为.
6．(2017年上海二模)直线(t为参数)与曲线(θ为参数)的交点个数是________．
【答案】2 【解析】直线(t为参数)与曲线(θ为参数)，化为普通方程分别为x＋y－1＝0，＋＝1，联立可得13x2－18x－27＝0，Δ＝(－18)2－4×13×(－27)＞0，∴交点个数是2.
7．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M为C1上的动点，P点满足＝2，点P的轨迹为曲线C2.求C2的方程．
【解析】方法一：因为M为C1：上的动点，
所以可设M的坐标为M(2cos
α，2＋2sin
α)．
设P(x，y)，则由＝2，得
(x，y)＝2(2cos
α，2＋2sin
α)?
从而C2的参数方程为(α为参数)．
方法二：将曲线C1的参数方程化为普通方程，得x2＋(y－2)2＝4，
设P(x，y)，M(x1，y1)，则由＝2，得
(x，y)＝2(x1，y1)??①
因为M为C1上的动点，所以x＋(y1－2)2＝4.②
将①式代入②式，得2＋2＝4，
即x2＋(y－4)2＝16，这就是所求曲线的轨迹方程．
B．能力提升
8.(2018年成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为
(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sin
θ＝0.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P(1,0)，若点M的极坐标为，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值.
【解析】(1)∵直线l的参数方程为
(t为参数)，
∴直线l的普通方程为y＝tan
α·(x－1).
由ρcos2θ－4sin
θ＝0，得ρ2cos2θ－4ρsin
θ＝0，即x2－4y＝0.
∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.
(2)∵点M的极坐标为，
∴点M的直角坐标为(0,1).
∴tan
α＝－1，直线l的(t为参数).
代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.
∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为＝＝3.
又点P(1,0)，则|PQ|＝＝3.
PAGE