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24．1 旋 转
第24章
圆
第3课时 旋转作图
4
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1
2
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C
D
见习题
B
见习题
1．【中考·吉林】把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为( )
A．30°
B．90°
C．120°
D．180°
C
2．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是( )
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
B
3.【中考·河南】如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
则第70次旋转结束时，点D的坐
标为( )
A．(10，3)
B．(－3，10)
C．(10，－3)
D．(3，－10)
【点拨】点D的初始坐标为(－3，10)，第1次旋转结束时，点D的坐标为(10，3)；第2次旋转结束时，点D的坐标为(3，－10)；第3次旋转结束时，点D的坐标为(－10，－3)；第4次旋转结束时，点D的坐标为(－3，10)，与初始坐标相同.70÷4＝17……2，因此第70次与第2次的坐标相同．
【答案】D
4．【中考·淮安】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B都在
格点(两条网格线的交点叫格
点)上．
(1)将线段AB向上平移2个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；
解：如图所示．
(2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；
解：如图所示．
(3)连接AB2，BB2，求△ABB2的面积．
5．【中考·阜新】如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A(－4，4)，
B(－2，5)，C(－2，1)．
(1)平移△ABC，使点C移到点C1(－2，－4)，画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
解：如图所示，△A1B1C1为所求作的三角形，A1(－4，－1)，B1(－2，0)．
(2)将△ABC绕点(0，3)旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；
解：如图所示，△A2B2C2为所求作的三角形．
(3)求(2)中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长．(结果保留π)(共39张PPT)
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24．7 弧长与扇形面积
第24章
圆
第1课时 弧长与扇形面积
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见习题
见习题
B
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见习题
见习题
见习题
C
C
【点拨】作O点关于直线AB的对称点O′，连接O′A，O′B，
则OA＝OB＝O′A＝O′B，
∴四边形OAO′B为菱形．
【答案】B
D
5．【中考?长沙】一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．2π
B．4π
C．12π
D．24π
C
【点拨】如图，连接OD，作DE⊥AB于点E.
【答案】A
【点拨】如图，连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形．
∴CD∥OE.∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°.
∴图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积．
【答案】A
B
B
11．【中考·齐齐哈尔】如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°.
(1)求证：直线AD是⊙O的切线．
证明：如图，连接OA，则∠COA＝2∠B.
∵AD＝AB，∠D＝30°，
∴∠B＝∠D＝30°.∴∠COA＝60°.
∴∠OAD＝180°－60°－30°＝90°.
∴OA⊥AD，即直线AD是⊙O的切线．
(2)若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
【点拨】第(2)问通过作差把阴影部分的面积表示为△OAD的面积减扇形COA的面积．
【答案】C
13．如图，在边长为a的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径画弧得到扇形BAD，分别以AB，AD为直径的两个半圆交于点E，求图中
阴影部分的面积．
14．【2020·湖州】如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD.
(1)求证：∠CAD＝∠ABC.
证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC.
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC.
解：CD是⊙O的切线．理由如下：
如图，连接OC，
(1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：如图，连接OE，连接BE交OC于点F，(共12张PPT)
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24．2 圆的基本性质
24．2.1 垂径分弦
第24章
圆
第2课时 圆的半径的应用
4
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见习题
见习题
见习题
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你判断线段OE与OF的数量关系，并说明理由．
解：OE＝OF.理由如下：连接OA，OB，
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，即∠OAE＝∠OBF.
又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)．
∴OE＝OF.
2．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于点B，E，∠A＝20°，AB＝OC.求：
(1)∠AOB的度数；
解：∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝OB.
∴∠AOB＝∠A＝20°.
∵∠OBE＝∠A＋∠AOB，∴∠OBE＝2∠A.
(2)∠EOD的度数．
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠E.
∴∠E＝2∠A.∴∠EOD＝∠A＋∠E＝3∠A＝60°.
3．如图，AB，CD为⊙O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点．求证：四边形CEDF为平行四边形．
证明：∵AB，CD是⊙O的两条直径，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
在四边形CEDF中，
∵OC＝OD，OE＝OF，
∴四边形CEDF为平行四边形．
4．如图，海军某部队在灯塔A周围进行爆破作业，灯塔A的周围3
km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔A
2
km远的B处，为了尽快驶离危险区域，该渔船应按哪条射线方向航行？并说明理由．
【点拨】本题运用了建模思想，将实际问题转化为数学问题．其中圆内一点到圆上的点的最小距离为以圆心为端点过该点的射线与圆相交的点与该点之间的线段长度．
解：该渔船应按射线AB方向驶离危险区域．
理由：如图，连接AB并延长交⊙A于点C，在⊙A上任取一点D(D异于C，且异于C关于A的对称点)，连接BD，AD.
在△ABD中，AB＋BD＞AD.∵AD＝AC＝AB＋BC，∴AB＋BD＞AB＋BC.∴BD＞BC.
当点D为C关于A的对称点时，BD＝BA＋AD＝BA＋AC＞BC，∴BD＞BC.∴按射线AB方向行驶路程最短，即能最快驶离危险区域．(共45张PPT)
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24．4 直线与圆的位置关系
第24章
圆
第2课时 切线的性质
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B
B
B
A
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B
见习题
13
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见习题
B
1．【中考·重庆】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为( )
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
2．【2020·通辽】如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝( )
A．108°
B．72°
C．54°
D．36°
C
3．【中考·福建】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55°
B．70°
C．110°
D．125°
B
4．【2020·徐州】如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P.若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于( )
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
B
5.【中考·舟山】如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10
cm，点D在量角器上的读
数为60°.则该直尺的宽度为
________cm.
【点拨】根据题意，抽象出数学图形如图所示，连接OD，OC，OC交AD于点E.
根据题意可知AD＝10
cm，∠AOD＝120°，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝30°.设OE＝x
cm，易知OE⊥AD，则OA＝2x
cm，
【点拨】连接OB，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB.
∵OA＝OB，∴OA＝AB＝OB.
∴△AOB为等边三角形．
∴∠AOB＝60°.
【答案】D
7.【中考·泰安】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为( )
A．32°
B．31°
C．29°
D．61°
【点拨】如图所示，设BP交⊙O于点D，连接OC，CD.
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC.∴∠OCP＝90°.
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°－∠A＝61°.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°.
∴∠DOC＝180°－2×61°＝58°.
∴∠P＝90°－∠DOC＝32°.
【答案】A
【点拨】∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC.∴∠ADO＝90°.
∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD.
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.
∴∠ODB＝∠CBD.∴OD∥BC.
∴∠C＝∠ADO＝90°.
【答案】A
9．【中考·玉林】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【点拨】如图，设半圆O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC，垂足为点P，交⊙O于点F，当点N与点F重合，点M与点P重合时，MN取得最小值，为OP－OF.
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.
∵∠OPB＝90°，∴OP∥AC.
【答案】B
10．【中考·嘉兴】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( )
A．2.3
B．2.4
C．2.5
D．2.6
【点拨】如图，设切点为D，连接CD.
【答案】B
11．【中考·贵阳】如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
(1)求证：OP∥BC.
(2)过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D.如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径的长．
解：连接PC.
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.
又∵∠D＝90°，∴AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP.
∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝∠AOP，∴OA＝AP.
又∵OA＝OP，∴△APO为等边三角形．
∴∠AOP＝60°.∴∠OBC＝∠AOP＝60°.
又∵OC＝OB，∴△BCO为等边三角形．
∴∠COB＝60°.
∴∠POC＝180°－(∠AOP＋∠COB)＝60°.
又∵OP＝OC，∴△POC也为等边三角形．
∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC.
12．【2020·安徽】如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线，
与AC的延长线相交于点E.
(1)求证：△CBA≌△DAB；
(2)若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB.
解：∵BE＝BF，∴∠E＝∠BFE.
∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°.∴∠E＋∠BAE＝90°.
由(1)知∠D＝90°，
∴∠DAF＋∠AFD＝90°.
∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E.
∵∠DAF＝90°－∠AFD，∠BAF＝90°－∠E.
∴∠DAF＝∠BAF.
∴AC平分∠DAB.
13．【中考·贺州】如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，
BC＝8.
(1)求∠ADB的度数；
解：∵AF与⊙O相切于点A，∴AF⊥OA，
即∠OAF＝90°.
(2)求AC的长度．
解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°.
∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝30°.
∴∠DBC＝∠DAC＝30°.
∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC.
∴AF∥BC.
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB.
14．【2020·天津】在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°.
(1)如图①，若∠APC＝100°，
求∠BAD和∠CDB的大小；
解：∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC－∠ABC＝100°－63°＝37°，
由圆周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝90°－63°＝27°.
(2)如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
解：连接OD，如图所示．
∵CD⊥AB，
∴∠CPB＝90°.
∴∠PCB＝90°－∠ABC＝90°－63°＝27°.
∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD.
∴∠ODE＝90°.
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°－∠BOD＝90°－54°＝36°.(共33张PPT)
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第24章
圆
第4课时 中心对称
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D
B
C
A
A
B
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见习题
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1．下列说法正确的是( )
A．全等的两个图形成中心对称
B．能够完全重合的两个图形成中心对称
C．绕某点旋转后能重合的两个图形成中心对称
D．绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称
D
2．下列各组图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是( )
A
3.如图所示的5组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有( )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
B
4．【中考·贵港】若点P(m－1，5)与点Q(3，2－n)关于原点成中心对称，则m＋n的值是( )
A．1
B．3
C．5
D．7
【点拨】∵点P(m－1，5)与点Q(3，2－n)关于原点成中心对称，
∴m－1＝－3，2－n＝－5，解得m＝－2，n＝7.
∴m＋n＝－2＋7＝5.
【答案】C
5．如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不正确的是( )
A．∠ABC＝∠A′B′C′
B．∠BOC＝∠B′A′C′
C．AB＝A′B′
D．OA＝OA′
B
A
7.【中考·舟山】如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C
的对应点C″的坐标是( )
A．(2，－1)
B．(1，－2)
C．(－2，1)
D．(－2，－1)
【点拨】根据题意可以写出点C的坐标，然后根据关于y轴对称和关于原点对称的点的特点即可得到点C″的坐标．
【答案】A
8．如图，已知点M是△ABC的边BC的中点，点O是△ABC外一点．
(1)画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC
关于点M成中心对称；
解：如图，①连接AM并延长至A′，使A′M＝AM；
②点B关于点M的对称点B′即为点C，点C关于点M的对称点C′即为点B；
③连接A′B′，A′C′，
则△A′B′C′即为所求．
(2)画△A″B″C″，使△A″B″C″与△ABC关于点O成中心对称．
【点拨】解答画与已知图形成中心对称的图形的问题，思路较为简单，只需画出已知图形中各个关键点关于对称中心的对称点，然后顺次连接即可．
解：如图，①连接AO，BO，CO，并分别延长至A″，B″，C″，使A″O＝AO，B″O＝BO，C″O＝CO；
②连接A″B″，A″C″，B″C″，
则△A″B″C″即为所求．
9．如图所示的4组图形中，右边图形与左边图形成中心对称的是________．(填序号)
错解：①②③④
诊断：判断两个图形是否成中心对称不能凭直观感觉，应根据中心对称的定义进行判断．
正解：①②③
10．【中考·南昌】如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点成中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．
(1)求对称中心的坐标；
解：根据中心对称的定义，可得
对称中心是D1D的中点，
∵点D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，
∴对称中心的坐标是(0，2.5)．
(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
解：∵点A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4－2＝2.
∴点B，C的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)．
∵A1D1＝2，点D1的坐标是(0，3)，
∴点A1的坐标是(0，1)，点C1的坐标是(2，3)．
∴点B1的坐标是(2，1)．
综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．
11．【中考·宁夏】如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)．
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
解：如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为(－2，－1)．
(2)画出将△A1B1C1绕点C1按顺时针方向旋转90°所得的△A2B2C1.
解：如图，△A2B2C1即为所求．
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D为BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，试探究线段BE，EF，FC之间的数量关系．
【点拨】通过几何图形的中心对称变换，可以将线段进行等长的位置转移，使分散的几何元素集中起来．
解：∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD.作△BDE关于点D成中心对称的△CDM，如图所示．
由中心对称的性质可得CM＝BE，MD＝ED，∠DCM＝∠B.
又∵∠A＝90°，
∴∠B＋∠ACB＝90°，
∴∠DCM＋∠ACB＝90°，
即∠FCM＝90°.
连接FM，在△FME中，MD＝ED，FD⊥ME，
∴FM＝FE.
又∵在Rt△FCM中，FC2＋CM2＝FM2，
∴FC2＋BE2＝EF2.
13．如图，△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长
线交CF于点P.
(1)求证：AC＝CD；
证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴AB＝AC.
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴AB＝CD.∴AC＝CD.
(2)若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠MFC与∠MCD的数量关系，并说明理由．
解：∠MFC＝∠MCD.
理由：由题意可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA.
设∠MPC＝α，∵∠BAC＝2∠MPC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α.
设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β，
∴∠MFC＝∠CPM－∠PMF＝α－β，
∠MCD＝∠CDE－∠DMC＝α－β.
∴∠MFC＝∠MCD.(共51张PPT)
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阶段核心题型
圆中常见的计算题型
第24章
圆
4
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1．【中考·娄底】如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB.
(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
解：∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE.∴∠ABE＝90°.
∵∠DBE＝37°.∴∠ABD＝53°.
∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°，
即∠ADC的度数为37°.
2．【中考·绍兴】在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
(1)在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长，请你解答．
解：连接OC，如图．
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.
∴∠OCD＝90°.
∵∠D＝30°，∴OD＝2OC＝2.
∴AD＝AO＋OD＝1＋2＝3.
(2)以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长．
小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连接OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．
参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目(可以添线、添字母)，并解答．
【点拨】(2)题答案不唯一．
解：添加条件∠DCB＝30°，求AC的长．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵CD为⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＋∠DCB＝90°.
∴∠ACO＝∠DCB.
3．【2020·江西】已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r.
(1)如图①，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数．
解：如图①，连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°.
∵∠APB＋∠PAO＋∠PBO＋∠AOB＝360°，
∴∠APB＋∠AOB＝180°.
∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°.
∴∠ACB＝50°.
(2)如图②，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由．
解：当∠APB＝60°时，四边形APBC为菱形．理由如下：连接OA，OB，如图②.
由(1)可知，∠AOB＋∠APB＝180°，
∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°.
∴∠ACB＝60°＝∠APB.
∵点C运动到如图所示的位置时，PC距离最大，
∴PC经过圆心．
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°.
又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)，
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC.
∴∠APC＝∠ACP＝30°.
∴AP＝AC.∴AP＝AC＝PB＝BC.
∴四边形APBC是菱形．
(3)若PC交⊙O于点D，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)．
∵⊙O的半径为r，
∴OA＝r，OP＝2r.∴AP＝r，PD＝r.
4．【2020·内江】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.
(1)求证：BE是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，
∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE.
∴∠OCE＝90°.
∵OD⊥BC，∴CD＝BD，
即OD垂直平分BC，∴EC＝EB.
(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积．
5.【中考·赤峰】如图，AB为⊙O的直径，C，D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E.
(1)求证：CE是⊙O的切线．
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【点拨】第(2)问通过△ACD和△COD面积相等，把阴影部分的面积转化为扇形COD的面积．
6．如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？
【点拨】观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆形的面积减去小半圆形的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不变，所以我们可以通过平移，使两个半圆的圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积．
解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图所示，则阴影部分的面积等于半圆环的面积．
7．【中考·孝感】如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD.
【点拨】第(1)问通过割补法把曲边三角形ABD分成△OBD和扇形OAD.
(2)求证：DE是⊙O的切线．
证明：如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵DE∥AB，∴OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线．
(3)求线段DE的长．
如图，过点A作AF⊥DE于点F，
则四边形AODF是正方形，
∴AF＝OD＝FD＝5，∠FAB＝90°.
8．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30
km/h，
受影响区域的半径为200
km，
B市位于点P北偏东75°的方
向上，距离P点320
km处．
(1)试说明台风是否会影响B市．
(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
【点拨】本题在图形中画出圆，建立数学模型，然后利用垂径定理解决问题．
解：如图，以B为圆心，200
km为半径画圆，交PQ于P1，P2两点，连接BP1，由垂径定理知P1P2＝2P1H.
9．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同队队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员
乙，由队员乙射门．从射门角度考虑，
你认为选择哪种射门方式较好？为什么？
【点拨】本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，通过建模转化到圆中，根据圆周角的相关知识来解决实际问题．
解：选择射门方式二较好，理由如下．设AQ与圆的另一交点为C，连接PC，如图所示．
∵∠PCQ是△PAC的外角，
∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，
∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．∴选择射门方式二较好．
10．如图，已知A，B两地相距1
km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350
m为半径的
圆形公园，则修建的这条水渠
会不会穿过公园？为什么？
解：修建的这条水渠不会穿过公园．
理由：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.(共25张PPT)
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24．1 旋 转
第24章
圆
第5课时 中心对称图形
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1．【中考·玉林】如图，五星红旗上的每一个五角星( )
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
A
2．【中考?绥化】下列图形中，属于中心对称图形的是( )
C
3．【中考?襄阳】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
B
4．如图所示的图形( )
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
B
5．如图，已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称，过点O任作直线EF，分别交AD，BC于点E，F，下面的结论：①点E和点F，点B和点D分别关于点O成中心对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；⑤△AOE与△COF成中心对称．
其中正确的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
D
6.【中考·宜昌】如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为(－5，2)，(－2，－2)，(5，－2)，则点D的坐标为( )
A．(2，2)
B．(2，－2)
C．(2，5)
D．(－2，5)
【点拨】利用旋转的性质得出AB＝CD，AD＝BC，可证明四边形ABCD是平行四边形，然后利用关于原点O对称的点的坐标规律即可求得点D的坐标．
【答案】A
7.【中考·河北】图甲和图乙中所有的小正方形都全等，将图甲的正方形放在图乙中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
【点拨】如图，将正方形放在③的位置，组成的新图形是以点O为对称中心的中心对称图形．
【答案】C
8．有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆，⑥等腰梯形．其中不是中心对称图形的是________．(填序号)
错解：①②③
诊断：错解的原因是对一些常见的图形不能正确分析．根据中心对称图形的概念，可知线段绕其中点旋转180°，平行四边形绕其对角线的交点旋转180°，正方形绕其对角线的交点旋转180°，圆绕其圆心旋转180°，都能与自身重合，都是中心对称图形；三角形和等腰梯形，找不到对称中心，故不是中心对称图形．
正解：②⑥
9．如图，正六边形ABCDEF的中心是点O.
(1)分析它的对称性；
解：正六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形，有6条对称轴．
(2)正六边形绕其中心旋转多少度可与自身重合？
(3)还有哪些正多边形是中心对称图形？
解：旋转60°的正整数倍可与自身重合．
只要边数是偶数的正多边形都是中心对称图形，如正方形、正八边形等．
10．如图，一块木板的所有拐角都是直角，一木工想要将它锯成面积相等的两块，请你帮他设计出一种简单的方法，画出一条线，使这条线将木板分成面积相等的两部分．(画出必要的辅助线)
【点拨】过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都能把图形分成面积相等的两部分．本题答案不唯一．
解：如图．
11．【中考?宁波】图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影．
(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；
解：如图①所示．(答案不唯一)
(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
(请将两个小题依次作答在图①、图②中，均只需画出符合条件的一种情形)
解：如图②所示．(答案不唯一)
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(0，4)，
C(0，2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后
对应的△A2B2C2；
解：画出△A1B1C和△A2B2C2如图所示．
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；
(3)在x轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【点拨】本题考查的是旋转变换及平移变换，解题的关键是作图要准确．
解：点P的坐标为(－2，0)．(共35张PPT)
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24．2.3 圆的确定
第24章
圆
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1．经过平面内的三个点画圆，关于符合条件的圆的个数，下列结论正确的是( )
A．符合条件的圆最多有一个
B．符合条件的圆一定有一个
C．符合条件的圆最少有一个
D．符合条件的圆有无数个
【点拨】本题的易错之处是不理解确定圆的条件，对“不在同一直线上”这个条件缺乏认识，由此出现误选B或C的错误．
【答案】A
2．已知AB＝4
cm，则过点A，B且半径为3
cm的圆有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】过点A，B且半径为3
cm的圆的圆心应当在线段AB的垂直平分线上，且到A，B两点的距离为
3
cm，这样的圆心有2个．
【答案】B
3.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
【点拨】如图，连接BC，作AB，BC的垂直平分线交于点Q，则点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
【答案】B
4．下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( )
A．三个点一定能确定一个圆
B．以已知线段为半径能确定一个圆
C．以已知线段为直径能确定一个圆
D．菱形的四个顶点能确定一个圆
C
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的( )
A．三条高的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条角平分线的交点
【点拨】∵⊙O是△ABC的外接圆，∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点．
【答案】B
6．【中考·河北】如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
B
C
8.【中考·绥化】半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB于点D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为________．
9．用反证法证明“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”，第一步先假设( )
A．相交
B．两条直线不垂直
C．两条直线不垂直于同一条直线
D．垂直于同一条直线的两条直线相交
D
10．【中考?舟山】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( )
A．点在圆内
B．点在圆上
C．点在圆心上
D．点在圆上或圆内
D
【点拨】由题意可得，存在两种情况：当△ABC为钝角三角形时，如图中的△A1BC；
当△ABC为锐角三角形时，
如图中的△A2BC.
【答案】C
12．【中考·兰州】如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示．
13．小颖家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小颖想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小颖把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：⊙O的位置即为花坛的位置，如图所示．
(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求圆形花坛的面积．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米，∴△ABC外接圆的半径为5米，∴圆形花坛的面积为25π平方米．
14．用反证法证明：
已知：如图所示，AB，CD是⊙O内两条非直径的弦，且AB与CD相交于P点．
求证：AB与CD不能互相平分．
证明：假设弦AB与CD能互相平分，则点P即为AB，CD的中点，连接OP，如图，∵AB，CD为非直径的弦，∴由垂径定理的推论得OP⊥AB，OP⊥CD，即有两条直线AB，CD与OP垂直，这与“过一点
有且只有一条直线与已知直线垂直”矛
盾，∴假设不成立，故AB与CD不能互
相平分．
15．如图①，在圆内接三角形ABC中，AB＝BC＝CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G.(共30张PPT)
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24．1 旋 转
第24章
圆
第1课时 旋 转
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见习题
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1．如图，△ABC按顺时针方向旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是( )
A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点
B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点
D．点C是旋转中心，点A和点D是对应点
C
2．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，则图中可以看成是旋转关系的三角形是( )
A．△ABC和△ADE
B．△ABC和△ABD
C．△ABD和△ACE
D．△ACE和△ADE
C
3．【中考·广州】将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是( )
D
4．【中考·湘潭】如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD＝( )
A．45°
B．40°
C．35°
D．30°
D
5．【中考·内江】如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为( )
A．1.6
B．1.8
C．2
D．2.6
A
【答案】D
7．下列图形中，不是旋转对称图形的是( )
A
8．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是( )
A．正三角形
B．正方形
C．正六边形
D．正十边形
C
【答案】B
10．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD经过逆时针旋转后到达△ACE的位置．
(1)旋转中心是哪一点？
解：旋转中心是点A.
(2)逆时针旋转了多少度？
(3)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M旋转到了什么位置？
解：逆时针旋转了60°.
点M旋转到了AC边的中点处．
(4)说出从△ACE到△ABD的旋转方式．
解：△ACE绕点A按顺时针方向旋转60°或按逆时针方向旋转300°得到△ABD.
11．【中考·苏州】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
(1)求证：EF＝BC；
(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°.
∴∠FAG＝50°.
∵△AEF≌△ABC，∴∠F＝∠ACB＝28°.
∴∠FGC＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78°.
12．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于M，N两点．当∠MAN绕
点A旋转到BM＝DN时(如图①)，易
证BM＋DN＝MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图②)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？并说明理由．
解：BM＋DN＝MN.理由如下：如图，将△AND绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，由旋转的性质可得∠EAN＝90°，BE＝DN，AE＝AN，∠ABE＝∠D＝90°，
∴E，B，C三点共线．
∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°.
又∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)．
∴ME＝MN.
又ME＝BE＋BM＝DN＋BM，
∴BM＋DN＝MN.
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
解：DN－BM＝MN.
13．【中考·荆州】如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针
旋转α角(0°<α<90°)，
连接AF，DE(如图②)．
(1)在图②中，∠AOF＝____________________；(用含α的式子表示)
90°－α
(2)在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．
解：AF＝DE.证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD＝∠COD＝90°，
OA＝OD.
∵∠DOF＝∠COE＝α，
∴∠AOF＝∠DOE.(共38张PPT)
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24．7 弧长与扇形面积
第24章
圆
第3课时 用三角函数解圆中的
计算问题
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见习题
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B
5．【中考·黔东南州】如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.
6．【中考·玉林】如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos
E＝________.
7．【中考·泰安】如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cos
C的值为________．
8．【中考·荆州】如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝________.
9．【2020·北京】如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.
(1)求证：∠ADC＝∠AOF；
证明：连接OD，如图所示．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴AD⊥BD.
∵OF⊥AD，∴OF∥BD.∴∠AOF＝∠B.
∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴∠CDO＝90°.
∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°.
∴∠CDA＝∠BDO.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B.
∴∠ADC＝∠AOF.
10．【2020·陕西】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO
并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C
作⊙O的切线，与BA的延长线
相交于点E.
(1)求证：AD∥EC；
证明：连接OC，如图所示．
∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°.
∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°.
∵∠AOC＋∠OCE＝180°，∴AD∥EC.
(2)若AB＝12，求线段EC的长．
解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于点F，
∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°.
∴∠ADB＝∠ACB＝60°.
11．【中考·广安】如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.
(1)求证：∠PCA＝∠ABC.
证明：连接OC.
∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠PCA＋∠OCA＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠OCB＋∠OCA＝90°.
∴∠PCA＝∠OCB.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC.
∴∠PCA＝∠ABC.
12．【中考·随州】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF.
(1)求证：BF是⊙O的切线．
证明：连接AE，如图．
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°，AE⊥BC.
∵AB＝AC，∴2∠1＝∠BAC.
∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠1＝∠CBF.
∴∠CBF＋∠2＝90°，即∠ABF＝90°.∴AB⊥BF.
∵AB是⊙O的直径，
∴BF是⊙O的切线．
解：过点C作CH⊥BF于点H，如图.
13．【中考·广安】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的
外接圆⊙O交AC于点F，连接EF.
(1)求证：BC是⊙O的切线．
证明：∵ED⊥AD，
∴∠EDA＝90°.
∴AE是⊙O的直径．
∴AE的中点是圆心O.
如图，连接OD，则OA＝OD，
∴∠1＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠2＝∠1＝∠ODA.∴OD∥AC.
∴∠BDO＝∠ACB＝90°，∴BC⊥DO.
∴BC是⊙O的切线．
(2)求⊙O的半径r及∠3的正切值．(共34张PPT)
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24．2 圆的基本性质
24．2.1 垂径分弦
第24章
圆
第3课时 垂直于弦的直径
4
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1．【2020?山西】自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )
D
2．下列说法正确的是( )
A．直径是圆的对称轴
B．经过圆心的直线是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与半径垂直的直线是圆的对称轴
B
B
4．【2020·滨州】在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3
：
5，则DE的长为( )
A．6
B．9
C．12
D．15
【点拨】如图所示，连接OD，
【答案】C
B
C
7．【中考·嘉兴】如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．
C
【点拨】由垂径定理的推论可以得到这样一个结论：“平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧”，故①②③都正确，④错误．
【答案】B
10.【2020·宁夏】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中(如图)，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深
ED＝1寸，锯道长AB＝1尺(1尺＝10寸)．
这根圆柱形木材的直径是________寸．
【答案】26
错解：D
诊断：根据垂径定理，可知①②③一定正确；因为CD不一定平分OB，所以④不一定正确．本题的易错之处是对垂径定理理解不透，并且图形画得比较特殊，容易误认为CD平分OB.
正解：C
12．【中考·湖州】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．
(1)求证：AC＝BD；
证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
解：如图，连接OA，OC，由(1)可知，OE⊥AB，
∵圆心O到直线AB的距离为6，
∴OE＝6.
13．如图，D是⊙O的弦BC的中点，A是⊙O上一点，OA与BC
交于点E，已知AO＝8，BC＝12.
(1)求线段OD的长；
解：如图，连接OB.
(2)求⊙O的半径．
15．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．
若卡车P沿道路ON方向行
驶的速度为18千米/时．
解：如图，过点A作AD⊥ON于点D.
∵∠NOM＝30°，AO＝80米，
∴AD＝40米，即对学校A的噪声
影响最大时卡车P与学校A的距离为40米．
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．(共37张PPT)
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24．4 直线与圆的位置关系
第24章
圆
第1课时 直线与圆的位置关系
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1．在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为(－3，4)，以半径r在坐标平面内作圆．
(1)当r满足________时，⊙O与坐标轴有1个交点；
【点拨】当⊙O和y轴相切时，⊙O与坐标轴有1个交点，此时r＝3.
r＝3
(2)当r满足____________时，⊙O与坐标轴有2个交点；
【点拨】当⊙O和y轴相交，且和x轴相离时，⊙O与坐标轴有2个交点，此时3＜r＜4.
3＜r＜4
(3)当r满足______________时，⊙O与坐标轴有3个交点；
【点拨】当⊙O和y轴相交且和x轴相切或⊙O经过原点时，⊙O与坐标轴有3个交点，此时r＝4或5.
r＝4或r＝5
(4)当r满足___________时，⊙O与坐标轴有4个交点．
【点拨】当⊙O和x轴，y轴都相交且不经过原点时，⊙O与坐标轴有4个交点，此时r＞4且r≠5.
r＞4且r≠5
2.如图，已知两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的长的取值范围是( )
A．8≤AB≤10
B．8＜AB≤10
C．4≤AB≤5
D．4＜AB≤5
【答案】A
【答案】B
4．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则正确反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
B
5．已知⊙O的半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A．相切
B．相交
C．相切或相离
D．相切或相交
D
6．【中考·广州】平面内，⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
C
7．已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列结论：
①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；
③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；
⑤若d＜1，则m＝4.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．5
C
∴A(－4，0)，B(0，－3)．
∴OA＝4，OB＝3.∴AB＝5.
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，如图，则PD⊥AB，PD＝1.
9．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为________________.
【点拨】本题分四种情况．
(1)当圆P与矩形OC，OA，BC三边相切时，圆P的半径为1，点P的坐标为(1，1)；
(2)当圆P与矩形OA，AB，BC三边相切时，圆P的半径为1，点P的坐标为(3，1)；
(3)当圆P与矩形OC，AB，BC三边相切时，圆P的半径为2，点P的坐标为(2，0)；
(4)当圆P与矩形OC，AB，OA三边相切时，圆P的半径为2，点P的坐标为(2，2)．
本题易因考虑圆与哪三条边相切不周而致错．
【答案】(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)
10．【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示．
(2)请你判断BC与(1)中⊙P的位置关系，并证明你的结论．
解：BC与⊙P相切．证明：
如图，过P作PD⊥BC，交BC于点D.
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA.
∴点P到BC的距离等于⊙P的半径．
∴BC与⊙P相切．
11．【中考·徐州】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点，过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD.
︵
(1)求证：∠A＝∠DOB.
(2)DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
解：DE与⊙O相切．
理由：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD.
∵DE⊥AE，∴OD⊥DE.
∴圆心O到DE的距离等于半径．
∴DE与⊙O相切．
12．已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.
(1)如图①，当x取何值时，⊙O与AM相切？
解：如图①，过O点作OF⊥AM于点F，当OF＝r＝2时，⊙O与AM相切，此时OA＝4，故AD＝2.即当x＝2时，⊙O与AM相切．
(2)如图②，当x取何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？
解：如图②，过O点作OG⊥AM于
点G，则
BG＝CG.
13．【中考·扬州】如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF.
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由．
解：DE与半圆O相切．
理由：∵CD⊥AD，∴∠D＝90°.
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD∥OC，∴∠OCE＝∠D＝90°.
∴CO⊥DE.又∵CO为半径，∴DE与半圆O相切．
(2)①求证：CF＝OC.
证明：如图，连接OB.
∵OA＝OC，
∴平行四边形OABC是菱形．
∴OA＝OB＝AB.
∴△AOB为等边三角形．
∴∠BAO＝60°.
∵AD∥OC，
∴∠COF＝∠BAO＝60°.
∵OC＝OF，
∴△OCF是等边三角形．
∴CF＝OC.
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
解：在Rt△OCE中，∠COE＝60°，∠OCE＝90°，∴∠E＝30°.(共21张PPT)
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阶段核心技巧
构造圆的基本性质的基本图形的六种常用作辅助线的技巧
第24章
圆
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1．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于B，E，且AB＝OC，若∠DOE＝72°，求∠A的度数．
解：如图，连接OB.∵点B，E在⊙O上，CD为直径，∴OB＝OE＝OC.
又∵AB＝OC，∴OB＝AB＝OE.
∴∠A＝∠AOB，∠E＝∠EBO.
又∵∠EBO＝∠A＋∠AOB，
∴∠EBO＝∠E＝2∠A.
又∵∠DOE＝∠A＋∠E，
∴∠DOE＝∠A＋2∠A＝72°.∴∠A＝24°.
2．如图，A，B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A，B重合)，我们称∠APB为⊙O上关于点A，B的滑动角．已知∠APB是⊙O上
关于点A，B的滑动角．
(1)若AB为⊙O的直径，
则∠APB＝________；
90°
4．如图，点A，B，C是⊙O的三等分点．
(1)求∠AOB的度数；
(2)若AO＝4，求AB的长及△ABC的面积．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO.
(1)求证：∠BAD＝∠CAO；
证明：如图，延长AO交⊙O于点E，连接CE，∴∠ACE＝90°.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∴∠ACE＝∠ADB.
又∵∠B＝∠E，
∴∠BAD＝∠CAO.
(2)若∠B＝60°，AC＝6，求OA的长．
(1)四边形EBFD是矩形；
证明：如图，连接BD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°.
∴BD为⊙O的直径．
∴∠BED＝∠BFD＝90°.
∵DF∥BE，
∴∠EBF＝180°－∠DFB＝90°.
∴∠BED＝∠EBF＝∠BFD＝90°.
∴四边形EBFD是矩形．
(2)DG＝BE.
又∵四边形BEDF是矩形，
∴∠EDF＝90°，BE＝DF.
∴∠DGF＝90°－∠DFG＝45°＝∠DFG.
∴DG＝DF，即DG＝BE.(共44张PPT)
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阶段核心技巧
旋转在解几何题中的九种常见技巧
第24章
圆
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1．如图，把正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBP′，若BP＝2，AP＝1.
(1)求PP′的长；
(2)连接CP，若CP＝3，求∠APB的度数．
解：∵PB＝P′B，∠PBP′＝90°，
∴∠BP′P＝∠BPP′＝45°.
∵△ABP≌△CBP′，
∴AP＝CP′＝1，∠APB＝∠BP′C.
2．【中考·毕节】如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转
得到△ADE，连接BD，CE交于
点F.
(1)求证：△AEC≌△ADB；
证明：由旋转的性质得△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE.
又∵AB＝AC，∴AE＝AD.
由∠BAC＝∠DAE得∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠BAD.
(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
解：∵四边形ADFC是菱形，∴DF∥AC.
又∵∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°.
由(1)得AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°.
3．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF.求证：EF证明：由题意可知BM＝MC，
∴可将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM，如图所示．
∴BF＝CN，FM＝MN.
连接EN，又∵ME⊥MF，
∴EN＝EF.
在△ENC中，EN∴EF4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将一个含30°角的直角三角尺DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角尺的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角尺DEF绕D点按逆时针方向旋转．
(1)在图①中，DE交AB于M，DF交BC于N.求证：DM＝DN.
证明：如图①，连接BD.
又∵BD＝CD，∠ABD＝∠C，
∴△BMD≌△CND(ASA)，
∴DM＝DN.
(2)继续旋转至如图②的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
解：DM＝DN仍然成立，证明如下．如图②，连接BD，由(1)知BD⊥AC，BD＝CD，∠ABD＝∠ACB＝45°.
∵∠ABD＋∠MBD＝∠ACB＋∠NCD＝180°，
∴∠MBD＝∠NCD.
∵∠BDM＋∠MDC＝90°＝∠MDC＋∠CDN，
∴∠BDM＝∠CDN.
∴△BDM≌△CDN(ASA)，∴DM＝DN.
6．【中考·日照】如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
连接EQ.求证：
(1)EA是∠QED的平分线；
证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴AQ＝AF，∠QAF＝90°.
∵∠EAF＝45°，∴∠QAE＝∠QAF－∠EAF＝45°.
∴∠QAE＝∠FAE.
(2)EF2＝BE2＋DF2.
解：易知QB＝DF，由(1)知△AQE≌△AFE，
∴QE＝EF.
由题易知∠ABQ＝∠ADF＝∠ABD＝45°，
∴∠QBE＝∠ABQ＋∠ABD＝45°＋45°＝90°.
∴在Rt△QBE中，QB2＋BE2＝QE2.
∴EF2＝BE2＋DF2.
7．如图，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
(1)如图①，连接BE，CD，求证：BE＝CD.
证明：∵△ACE，△ABD都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，
∠BAD＝∠CAE＝60°.
∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC.
∴△BAE≌△DAC(SAS)．∴BE＝CD.
(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.
①当旋转角为________度时，边AD′落在边AE上；
60
②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′，当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
解：当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．
证明：由旋转和等边三角形的知识可知AB＝BD＝DD′＝AD′，
∴四边形ABDD′是菱形．
∵△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝CE，∠ACE＝60°.
∵DP∥BC，∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°.
∴BD′＝CD′.
∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．
8．某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同且含60°角的直角三角尺ABC与直角三角尺AFE按如图①所示方式放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°＜α
＜90°)，如图②，AE
与BC交于点M，AC与
EF交于点N，BC与EF交于点P.
(1)求证：AM＝AN.
证明：由题可知，AB＝AF，
∠BAM＝∠FAN，∠B＝∠F＝60°，
∴△ABM≌△AFN(ASA)．
∴AM＝AN.
(2)当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状．并说明理由．
解：当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．
理由：∵α＝30°，∴∠FAB＝120°.
∵∠B＝60°，∴∠FAB＋∠B＝180°.
∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°.
∴∠FPC＝∠B＝60°，∴AB∥FP.
∴四边形ABPF是平行四边形．
又∵AB＝AF，∴四边形ABPF是菱形．
9．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是边AC上任意一点(点E与点A，C不重合)，以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD＝90°，连接BE，AD.若Rt△ABC和Rt△ECD都是等腰直角三角形．
(1)猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论．
解：BE＝AD，BE⊥AD.
(2)现将图①中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转n°，得到图②，请判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解：BE＝AD，BE⊥AD仍然成立．证明：
设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，
∵Rt△ABC和Rt△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝90°.
∴∠ACD＝∠BCE.
∵∠BFC＝∠AFG，∠BFC＋∠CBE＝90°，
∴∠AFG＋∠CAD＝90°.
∴∠AGF＝90°.
∴BE⊥AD.(共30张PPT)
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阶段核心方法
证明圆的切线的常用方法
第24章
圆
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1．如图，⊙O的直径AB＝12，点P是AB延长线上一点，且PB＝4，点C是⊙O上一点，PC＝8.
求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC.
∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OC＝6.
∵PB＝4，∴PO＝10.
在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，
∴PC2＋OC2＝PO2.
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.
又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．
2．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：PD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接PO，
则∠AOP＝2∠ACP＝120°.
∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.
∵PA＝PD，∴∠OAP＝∠D＝30°.
∴∠OPD＝180°－∠OAP－∠OPA－∠D＝90°，
即OP⊥PD.
又∵OP是半径，∴PD与⊙O相切．
3．【2020·邵阳】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
证明：如图，连接OA，
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.
∵AB＝AC，∴∠OBA＝∠C.
∴∠OAB＝∠C.
∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD.
∵BD是直径，∴∠BAD＝90°.
∵∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，
∴AC是⊙O的切线．
(2)若AC＝4，求⊙O的半径．
解：由(1)可知AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠AOD＝2∠B，
∴∠AOC＋∠C＝2∠B＋∠C＝3∠C＝90°.
∴∠B＝∠C＝30°.
4．【2020·衡阳】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F.
(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：BC与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC.
∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°.∴OD⊥BC.
又∵OD为半径，∴BC与⊙O相切．
(2)若AD＝8，AE＝10，求BD的长．
解：如图，连接DE.
∵AE是⊙O的直径，AE＝10，
∴∠ADE＝90°，OA＝OE＝OD＝5.
∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C.
5．已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP.
(1)求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，
∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵AC∥OP，∴∠OAC＝∠POB，∠POC＝∠OCA.
∴∠POB＝∠POC.
∵OC＝OB，OP＝OP，∴△POC≌△POB(SAS)．
∴∠OBP＝∠OCP＝90°，即OC⊥PC.
又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．
(2)若∠A＝60°，AB＝4，求PC的长．
解：∵AB＝4，∴OB＝2.
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B.
求证：CD与⊙O相切．
证明：如图，过点O作OH⊥CD于点H.
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.
∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠AEB＝90°，即OA⊥DA.
∵DO平分∠ADC，OH⊥DC，OA⊥DA，∴OH＝OA.
又∵OH⊥DC，∴DC是⊙O的切线，
即CD与⊙O相切．
7．【中考·江西】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，
且∠AOD＝∠BAD.
(1)求证：AB为⊙O的切线．
证明：如图，作OE⊥AB于点E.
∵⊙O与BC相切于点C，∴AC⊥BC.(共33张PPT)
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24．3 圆周角
第24章
圆
第1课时 圆周角和圆心角、
弧的关系
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见习题
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1．【中考·柳州】下列四个图中，∠x为圆周角的是( )
C
4
∠C与∠D
∠A与∠B
3．【2020·宜昌有改动】E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，下列图形中P点可能是圆心的是( )
C
B
5.【中考·赤峰】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】D
6.【中考·宜昌】如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是( )
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
【答案】A
7.【2020·杭州】如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E.设∠AED＝α，∠AOD＝β，则( )
A．3α＋β＝180°
B．2α＋β＝180°
C．3α－β＝90°
D．2α－β＝90°
【点拨】∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°.
∴∠DBC＝90°－∠BEO＝90°－∠AED＝90°－α.
∴∠COD＝2∠DBC＝180°－2α.
∵∠AOD＋∠COD＝90°，∴β＋180°－2α＝90°，
∴2α－β＝90°.
【答案】D
8．【2020·荆门】如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为( )
A．14°
B．28°
C．42°
D．56°
D
D
【点拨】∵直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE.
∵∠A＝22.5°，∴∠COE＝45°.
∴∠OCE＝45°＝∠COE.
∴CE＝OE.
【答案】A
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
解：如图即为补全的图形．
∠BPC
圆周角的度数等于它所对弧上的
圆心角度数的一半
(2)AE＝CE.
13．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD.
(1)求证：AD＝AN.
证明：∵∠ADC与∠ABC都是所对的圆周角，
∴∠ADC＝∠ABC.
∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠CEB＝∠AMC＝90°.
∴∠ABC＋∠C＝∠CNM＋∠C.∴∠ABC＝∠CNM，
又∵∠CNM＝∠AND.∴∠ABC＝∠AND.
∴∠ADC＝∠AND.∴AD＝AN.
解：连接AO，如图所示．
又∵ON＝1，∴设NE＝DE＝x，则OE＝x－1，
OA＝OD＝OE＋DE＝2x－1.
14．【中考·德州】如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状：______________.
等边三角形
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由．
解：PA＋PB＝PC.
理由：如图①，在PC上截取PD＝PA，连接AD.
∵∠APC＝60°，∴△PAD是等边三角形．
∴PA＝AD，∠PAD＝60°.
∵∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC.∴∠PAB＝∠DAC.
又∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.
∴△PAB≌△DAC(SAS)．∴PB＝DC.
∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC.(共44张PPT)
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24．3 圆周角
第24章
圆
第2课时 圆周角和直径的关系
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60°或120°
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∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠D＝90°.
∵AC＝2，AB＝4，∴BC2＝22＋42＝20.
【答案】D
【答案】B
【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∴∠ACB＝∠CDB.
【答案】A
4.【中考·滨州】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；
③BC平分∠ABD;
④AF＝DF；
⑤BD＝2OF;
⑥△CEF≌△BED.
其中一定成立的是( )
A．②④⑤⑥
B．①③⑤⑥
C．②③④⑥
D．①③④⑤
【答案】D
5．【中考·襄阳】如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是( )
A．AP＝2OP
B．CD＝2OP
C．OB⊥AC
D．AC平分OB
A
【点拨】如图，连接BD.
又∵∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD.
∵DE⊥AB，∴∠ABD＋∠BDE＝90°.
又∵∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE.
∴∠ADE＝∠DAC.∴FA＝FD＝5.
【答案】C
∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠DEB，
∴△ADE∽△DBE.
∴DE?BE＝AE?DE，即8?BE＝4?8.
∴BE＝16.∴AB＝4＋16＝20.
7．下列结论正确的是( )
A．直径所对的角是直角
B．90°的圆心角所对的弦是直径
C．同一条弦所对的圆周角相等
D．半圆所对的圆周角是直角
D
8．【中考?台州】从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判定圆弧为半圆的是( )
B
【答案】D
【点拨】如图，当点P(P1)在弦AB所对的优弧上时，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，OB.
【答案】60°或120°
【易错总结】对于“图形不明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论．一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角，解题时要分情况求解，否则容易漏解．例如本题应分两种情况：点P在弦AB所对的优弧上和点P在弦AB所对的劣弧上．
11．【2020·衢州】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
(1)求证：∠CAD＝∠CBA.
(2)求OE的长．
解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.
∵AE＝DE，∴OC⊥AD，
∴∠AEC＝90°.∴∠AEC＝∠ACB，
12．【中考·宜昌】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.
(1)求证：四边形ABFC是菱形．
证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BC.
∵AB＝AC，∴BE＝CE.
又∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．
(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．
【点拨】第(2)问通过连接BD，构造直角三角形，设出CD后，运用勾股定理列出方程求解．
解：设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x.
由(1)知BC＝2BE＝4.
如图，连接BD.
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴AB2－AD2＝CB2－CD2，
∴(7＋x)2－72＝42－x2，
解得x＝1或x＝－8(舍去)．
13．如图，已知ED为⊙O的直径且ED＝4，点A(不与E，D重合)为⊙O上一个动点，线段AB经过点E，且EA＝EB，F为⊙O上一点，∠FEB＝90°，BF的延长线与AD的延长线交于点C.
(1)求证：△EFB≌△ADE.
证明：如图，连接FA.
∵∠FEB＝90°，
∴EF⊥AB，∠FEA＝90°.
∵BE＝AE，∴BF＝AF.
∵∠FEA＝90°，∴AF是⊙O的直径．
∴AF＝DE.∴BF＝ED.
∵DE是⊙O的直径，∴∠EAD＝90°.
(2)当点A在⊙O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面积为多少．
解：四边形FCDE的最大面积＝4×2＝8.
解：如图，连接DF.
∵点C，F关于DG对称，∴DC＝DF＝10.∴DE＝5.(共79张PPT)
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第24章
圆
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见习题
A
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15°或75°
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1．如图，将一个钝角三角形ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B按顺时针方向旋转得△A1BC1，使得点C落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.
(1)求出旋转角的度数；
解：由题意可知∠ABC＋∠CBC1＝180°，
∠ABC＝120°，
∴∠CBC1＝60°，即旋转角的度数为60°.
(2)求证：∠A1AC＝∠C1.
证明：由(1)知∠CBC1＝60°，
∴△A1BC1是由△ABC绕点B顺时针旋转60°得到的．
∴AB＝A1B，∠ABA1＝∠CBC1＝60°，∠C＝∠C1.
∴△ABA1是等边三角形．
∴∠A1AB＝60°.
∴∠A1AB＝∠CBC1，∴AA1∥BC.
∴∠A1AC＝∠C.∴∠A1AC＝∠C1.
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
【点拨】A既是轴对称图形，又是中心对称图形；B是中心对称图形，不是轴对称图形；C，D是轴对称图形，不是中心对称图形．
【答案】A
3．下列说法正确的是( )
A．直径是弦，弦也是直径
B．半圆是弧，弧是半圆
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍
D
(1)求证：△ACD是等边三角形；
证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE.
(2)连接OE，若DE＝2，求OE的长．
解：如图，过点O作ON⊥AD于点N.∴AN＝DN.
由(1)知△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°.
6．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.
(1)弦长AB等于________；(结果保留根号)
【点拨】圆周角定理和垂径定理在与圆有关的证明、计算题中经常出现，要牢固掌握．
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；
【思路引导】如图，连接OA，利用半径相等，可得∠BAD＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D＝30°＋20°＝50°.再利用圆周角定理可得
∠BOD＝2∠BAD＝100°.
【点拨】圆周角定理和垂径定理在与圆有关的证明、计算题中经常出现，要牢固掌握．
解：如图，连接OA.
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D.
∴∠BAD＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D.
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，
∴∠BAD＝50°.
∴∠BOD＝2∠BAD＝100°.
(3)当AC的长度为多少时，以点A，C，D为顶点的三角形与以点B，C，O为顶点的三角形相似？
【点拨】圆周角定理和垂径定理在与圆有关的证明、计算题中经常出现，要牢固掌握．
解：∵∠BCO＝∠DAC＋∠D，
∴∠BCO＞∠DAC，∠BCO＞∠D.
∴要使△DAC与△BOC相似，
只能∠ACD＝∠OCB＝90°.
7．由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400
km的B处，正向西北
方向转移，如图所示，距沙尘暴中心
300
km的范围内将受到影响，则A市
是否会受到这次沙尘暴的影响？
解：如图，过点A作AC⊥BD于点C.
由题意，得AB＝400
km，
∠DBA＝45°，∴AC＝BC.
8．如图，已知O为原点，点A的坐标为(4，3)，⊙A的半径为2.过点A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动．
(1)当点P在⊙A上时，请你直接写出它的坐标；
【思路导引】由题意知点P，B的纵坐标与点A的纵坐标相同，即为3，当点P在BA之间时，它的横坐标为4－2＝2；当点P在BA的延长线上时，它的横坐标为4＋2＝6.
解：点P的坐标是(2，3)或(6，3)．
(2)设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由．
【思路引导】连接OP，过点A作AC⊥OP，垂足为C，则有△APC∽△OPB，即可求得AC的值，与⊙A的半径比较即可得到OP与⊙A的位置关系．
9．如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD…，AD分别交OB，OC于M，N.求证：
(1)MN∥BC；
解：∵∠AON＝36°×2＝72°，∠ANO＝72°，∴AN＝AO＝OB.
(2)MN＋BC＝OB.
又AB＝BC，
∴AN＝AM＋MN＝AB＋MN＝BC＋MN.
∴MN＋BC＝OB.
10．【中考·哈尔滨】如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE.
(1)求∠ACB的度数；
解：在⊙O中，∠A＝∠D.
∵∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，
∴△AEB≌△DEC(ASA)．
∴EB＝EC.
又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC.
∴△EBC为等边三角形．
∴∠ACB＝60°.
(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．
解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°，∴∠EGF＝30°.
∵EG＝2，∴EF＝1.
又∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4.
∴AC＝8，CE＝5.∴BC＝5.
如图，过点B作BM⊥AC于点M，
11．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为( )
A．5
B．3
C．4.5
D．4
A
12．如图，已知正六边形ABCDEF是边长为2
cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12
cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( )
A．13π
cm
B．14π
cm
C．15π
cm
D．16π
cm
【答案】B
B
A
15．在手工课上，王红制成了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为10
cm，母线长为50
cm，则制作一顶这样的纸帽所需纸板的面积至少为( )
A．250π
cm2
B．500π
cm2
C．750π
cm2
D．1
000π
cm2
【点拨】由圆锥的侧面展开图的面积计算公式，得S＝πrl＝π×10×50＝500π(cm2)．
【答案】B
16．已知圆锥底面圆的半径为2，母线长是4，则它的全面积为( )
A．4π
B．8π
C．12π
D．16π
【答案】C
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.
(1)作出△ABE关于点E成中心对称的图形；
解：如图，延长AE到点M，使EM＝AE.连接CM，则△MCE为所求．
(2)探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
解：AB＝AF＋CF.
证明：∵△MCE为△ABE关于点E成中心对称的图形，
∴AB＝MC，∠BAE＝∠M，∴AB∥MC，∴D，C，F，M共线．
又∵∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠M.∴MF＝AF.
∵MC＝MF＋CF，∴AB＝AF＋CF.
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
(1)求证：BE＝CE.
证明：如图，连接AE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°.∴AE⊥BC.
又∵AB＝AC，∴BE＝CE.
(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
解：如图，连接CD，由(1)知BE＝CE，
∴BC＝2BE＝6.
设AC＝x，则AD＝x－2.
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝62－22＝32.
在Rt△ADC中，
∵AD2＋CD2＝AC2，
∴(x－2)2＋32＝x2，
解得x＝9，即AC的长为9.
19．【中考·江西】如图①，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC.
(1)连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
证明：如图①，连接OC，
∵CD∥AB，BC∥OD，
∴四边形BODC是平行四边形．
∴OB＝CD.
∵OA＝OB，∴CD＝OA，
易知四边形ADCO是平行四边形．
∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD.
∴平行四边形ADCO是矩形．
∴OC⊥CD.∴CD是半圆的切线．
(2)如图②，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．
解：∠AED＋∠ACD＝90°.
证明：如图②，连接BE，
∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°.
∴∠EBA＋∠BAE＝90°.
∵AB⊥AD，∴∠DAE＋∠BAE＝90°.∴∠ABE＝∠DAE.
∵∠ACE＝∠ABE，∴∠ACE＝∠DAE.
∵CD∥AB，AB⊥AD，
∴CD⊥AD，即∠ADE＝90°.
∴∠AED＋∠ACD＝∠DAE＋∠AED＝90°.
【点拨】如图，当圆心O在∠CAB的外部时，过点A作直径AD，连接OC，OB，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F.
【答案】15°或75°
21．【中考·绥化】如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，∠AFC＝∠ACD.
证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.
∴C是弧BD的中点．∴OC⊥BD.
(1)求证：直线CF是⊙O的切线．
∵∠AFC＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，
∴∠AFC＝∠ABD.
∴BD∥CF.
∴OC⊥CF.
∵OC是⊙O的半径，∴直线CF是⊙O的切线．
解：设OC＝R.
易知BE＝DE.
∵DE＝2CE＝2，
∴BE＝DE＝2，CE＝1.
∴OE＝R－1.
(2)若DE＝2CE＝2.
①求AD的长；
∵OA＝OB，BE＝DE，
∴OE为△ABD的中位线．
∴AD＝2OE＝3.
②求△ACF的周长．(结果可保留根号)(共21张PPT)
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24．1 旋 转
第24章
圆
第6课时 图形变换的四种作图
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1．如图，已知△ABC，将△ABC沿着北偏东60°的方向平移1
cm，作出平移后的图形．(不写作法，保留作图痕迹)
【点拨】平移作图时，找关键点的对应点是解题的关键．
解：如图，△A1B1C1即为所求．
2．【中考·桂林】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点均在格点上．
(1)将线段AB向右平移3个单位长度，得到线段A′B′，画出平移后的线段并连接AB′和A′B，两线段相交于点O；
解：如图所示．
(2)求证：△AOB≌△B′OA′.
3．如图，将△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C的对应点的位置并画出旋转后的三角形．
解：作法：(1)连接OA，OD，OB，OC；
(2)分别以OB，OC为一边按顺时针方向作∠BOE，∠COF，使得∠BOE＝∠COF＝∠AOD且OE＝OB，OF＝OC；
(3)连接EF，ED，FD，△DEF就是所求作的三角形，如图．
4．【中考·宁夏】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，
B(1，1)，C(5，1)．
(1)把△ABC平移，其中点A平移到点A1(4，5)，画出平移后得到的△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求；
(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2.
解：如图，△A2B2C2即为所求．
5．请作出图中与△ABC关于直线m成轴对称的图形．
解：如图，作法：(1)过点A作直线m的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′＝OA，点A′就是点A关于直线m的对称点；
(2)类似地，可以分别作出点B，C关于直线m的对称点B′，C′；
(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，得到的△A′B′C′就是所要求作的图形．
6．【中考·枣庄】如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中，画出一个与△ABC
成中心对称的格点三角形；
【点拨】以C为对称中心，作点A，B关于C的对称点A′，B′，连接A′C，B′C，A′B′即可画出三角形；或以AB的中点为对称中心，作出点C关于AB的中点的对称点C′，连接BC′，AC′即可画出三角形；或以AB的中点和点C所连线段的中点为对称中心，作出点A，B，C的对称点A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，A′C′即可画出三角形．
解：如图①所示．(答案不唯一)
(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
【点拨】以AC所在直线为对称轴，作点B关于直线AC的对称点B′，连接AB′，B′C即可画出三角形；或以BC所在直线为对称轴，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′C，A′B即可画出三角形．
解：如图②所示．(答案不唯一)
(3)在图③中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【点拨】根据旋转的性质作点A和点B绕点C顺时针旋转90°的对应点A′，B′，连接A′C，B′C
，A′B′即可画出旋转后的三角形．
解：如图③所示．(共39张PPT)
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24．4 直线与圆的位置关系
第24章
圆
第4课时 切线长定理
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见习题
B
1．【中考·杭州】如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB的长是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
2．【中考·南充】如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
C
【点拨】如图，连接OD.
∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线．
∵DC是⊙O的切线，∴DC＝DT，故选项A正确．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°.
∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，
∴△DOC≌△DOT(SSS)．∴∠DOC＝∠DOT.
∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，
∴∠AOT＝∠BOT＝45°.∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°.
∴∠BOD＝67.5°.
∴∠BOD＝180°－∠B－∠BOD＝67.5°.
∴∠BOD＝∠ODB.
∴BD＝BO，故选项C正确．故选D.
【答案】D
【点拨】如图，设直角三角尺与光盘的切点为C，光盘所在圆的圆心为O，连接OA，OB，则∠BAC＝120°.
【答案】D
A
6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，若∠C＝50°，则∠APO的度数为( )
A．130°
B．100°
C．80°
D．40°
D
C
8.【2020·永州】如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：
①PA＝PB；②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB，所以②正确；
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB.
∴∠OAP＝∠OBP＝90°.
∴点A，B在以OP为直径的圆上．
∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，
∴M不一定是△AOP外接圆的圆心，所以④错误．
【答案】C
9．既有外接圆，又有内切圆的四边形是( )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．矩形或菱形
【点拨】解答本题的关键是(1)四边形的内切圆到四边形四条边的距离相等；(2)圆内接四边形的对角互补．
【答案】C
10．【中考·枣庄】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，
且CD＝CB，连接DO并延长交CB的
延长线于点E.
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：直线CD与⊙O相切．理由如下：连接OC.
∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，
∴△OCB≌△OCD(SSS)．
∴∠ODC＝∠OBC＝90°.
∴OD⊥CD.∴直线CD与⊙O相切．
(2)若BE＝2，DE＝4，求⊙O的半径及AC的长．
解：设⊙O的半径为r.
在Rt△OBE中，∵OE2＝OB2＋EB2，
∴(4－r)2＝r2＋22.
解得r＝1.5，即⊙O的半径为1.5.
11．【中考·资阳】如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
解：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°.
∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形．
∴∠BAP＝60°.∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°.
(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．
12．【中考·威海】已知：AB为⊙O的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的
切线DF交BC于点F.
(1)如图①，若DE∥AB，求证：CF＝EF.
解：证明：如图，连接OD，OE.
∵AB＝2，
∴OA＝OD＝
OE＝OB＝1.
∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE.∴△ODE是等边三角形．
∴∠ODE＝∠OED＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝∠OED＝60°.
∴△AOD和△BOE都是等边三角形．
∴∠OAD＝∠OBE＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°.
∴△CDE是等边三角形．
∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF.
∴∠EDF＝90°－60°＝30°.
∴∠DFE＝90°.∴DF⊥CE.
∴CF＝EF.
(2)如图②，当点E运动至与点B重合时，试判断BF与CF是否相等，并说明理由．
解：相等．理由如下：
当点E运动至与点B重合时，BC与⊙O只有一个公共点，即BC是⊙O的切线．
∵⊙O的切线DF交BC于点F，
∴BF＝DF.∴∠BDF＝∠DBF.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
∴∠BDF＋∠FDC＝∠C＋∠DBF＝90°.
∴∠FDC＝∠C.∴DF＝CF.∴BF＝CF.
13．(1)如图①，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E，F，G，H，试说明
AB＋CD与BC＋AD的大小关系；
解：由切线长定理，得AE＝AH，
BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，
∴AB＋CD＝AE＋BE＋CG＋DG＝
AH＋BF＋CF＋DH＝BC＋AD，
即AB＋CD＝BC＋AD.
(2)如图②，四边形ABCD的三边分别切⊙O于点F，G，H，试说明AB＋CD与BC＋AD的大小关系．
解：过点B作⊙O的切线，交AD于点M.
由(1)可知BM＋CD＝BC＋MD.
∵AB＜AM＋BM，
∴AB＋BM＋CD＜AM＋BM＋BC＋MD，
即AB＋CD＜BC＋AD.(共26张PPT)
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第24章
圆
第7课时 阅读与欣赏——
图形变换中的图案设计
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见习题
见习题
见习题
1．如图是一个镶边的模板，该图案是由基本图形( )通过一次平移得到的．
B
2．如图，若要使这个图案与自身重合，则至少绕它的中心旋转( )
A．45°
B．90°
C．135°
D．180°
A
3．根据如图所示的排列规律，“？”处应填的图形是( )
B
4.【中考?枣庄】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠，且组成的图形既是轴对称图形，又是
中心对称图形，则这个格点正方形的
作法共有( )
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
【点拨】试着作出图中阴影部分关于某条直线成轴对称且不与原图形重叠的图形，若这两个正方形组成的图形是中心对称图形，则是满足题意的作法，试着找出所有满足题意的图形．
【答案】C
5．【中考·绍兴】一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是( )
B
6．老师要求同学们利用图形变化设计图案．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
C
7．以给出的图形“
”(两个相同的圆、两个相同的等边三角形、两条线段)为构件，各设计一个构思独特且有意义的轴对称图形或中心对称图形．举例：如图，左框中是符合要求的一个图形．你还能构思出其他图形吗？请在右框中画出与之不同的图形．
【点拨】本题答案不唯一．
解：如图所示．
8．如图所示的图案是由一个梯形经过旋转和轴对称形成的，则该梯形应该满足什么条件？
错解：因为该图案是由一个梯形作全等变换形成的，所以围绕一个顶点的三个角相等，所以该梯形的四个内角分别为120°，120°，60°
，60°.
诊断：该图案的设计不仅与梯形的角有关，而且与梯形的上、下底和腰都有关．
正解：该梯形从边的角度分析，上底等于腰且等于下底的一半；从角的角度分析，四个内角分别为120°，120°，60°，60°.
9．一个由小平行四边形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小平行四边形的个数可能是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C
10．【中考?绥化】如图，把一张正方形纸片按图①，图②对折两次后，再按图③挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是( )
【答案】C
11．【中考?广安】在数学活动课上，王老师要求学生将图①所示的3×3的正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图②的四幅图就视为同一种设计方案．(阴影部分为要剪掉部分)
请在图③中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂上阴影．(每个3×3的正方形方格纸上画一种，例图除外)
解：如图所示．(答案不唯一)
12．如图所示的图案是由7个正六边形组成的，下面是三名同学对该图案的形成过程的不同见解．
甲：该图案可看成是由其中一个正六边形经过6次平移而形成的．
乙：该图案可看成是由图案的一半经过轴对称变换而形成的．
丙：该图案可看成是由图案的一半经过中心对称变换而形成的．
你认为上述观点都正确吗？
解：甲从平移的角度，以一个正六边形为基本图案进行分析；乙从轴对称的角度，以图案的一半为基本图案进行分析；丙从中心对称的角度，以图案的一半为基本图案进行分析．虽然各自分析的角度不同，但是他们的观点都是正确的．
13．利用1个等腰三角形、2个长方形、3个圆，可以构造出许多独特且有意义的轴对称图形，如图已给出三幅图，你能再构思出一些轴对称图形吗(画出三幅即可)？别忘了加一两句贴切、有创意的解说词．
【点拨】答案不唯一．
解：如图所示．(共11张PPT)
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第24章
圆
第2课时 旋转的性质在证明线
段(角)关系中的应用
4
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见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，正方形ABCD和正方形CEFG，将正方形CEFG绕点C旋转．求证：BE＝DG.
证明：∵∠BCE＝90°＋∠DCE，
∠DCG＝90°＋∠DCE，
∴∠BCE＝∠DCG.
又∵BC＝CD，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG(SAS)，
∴BE＝DG.
2．如图，在△ABC中，∠CAB＝67°，将△ABC绕点A逆时针旋转46°得到△AB′C′.求证：CC′∥AB.
3．如图，已知△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，将△ABC绕点A旋转．
求证：CD⊥BE.
证明：如图，延长DC交BE于点H，
∵∠BAE＝∠DAC＝90°－∠EAC，
AB＝AC，AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)．
∴∠AEB＝∠ADC.
设AE，DH交于点O，则∠AOD＝∠EOH，
∴∠EHO＝∠DAO＝90°.∴CD⊥BE.
4．如图，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED＝EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF.求证：AB＝AF＋BD.
证明：如图，过点E作EG∥BC交AC于点G，易得△AEG为等边三角形．∴AE＝EG＝AG.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°.
∴AC－AG＝AB－AE.
∴BE＝CG.
∵DE＝CE，∴∠CDE＝∠ECD.
∵∠CDE＋∠BED＝∠ECD＋∠GCE＝60°，
∴∠BED＝∠GCE.
又∵BE＝CG，DE＝CE，∴△BDE≌△GEC(SAS)．
∴BD＝GE＝AE.
又易知AF＝BE，∴AB＝BE＋AE＝AF＋BD.(共11张PPT)
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24．8 综合与实践 进球线路
与最佳射门角
第24章
圆
4
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B
见习题
见习题
B
1．如图，足球运动员在球门AB前横向带球准备射门，下列说法正确的是( )
A．在C处射门进球的可能性大
B．在D处射门进球的可能性大
C．在C，D两处射门进球的可能性一样大
D．无法判断C，D两处哪处进球的可能性大
【点拨】因为点D距离球门AB的中心比较近，所以∠ADB大于∠ACB，所以在D处射门进球的可能性大．
【答案】B
2．如图，点A，B，C表示足球比赛中三个不同的射门位置，估测图中各角的大小关系，请指出在图中________点处射门最好．
【点拨】观察可知∠A＜∠C＜∠B.故在B点处射门最好．
【答案】B
3．足球训练场上，教练在球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门训练．如图，甲、乙两名运动员分别在C，D两处，他们争论不休，都说自己所
在的位置对球门AB的张角大．如果
你是教练，请评一评他们两个人谁的
位置对球门AB的张角大？为什么？
解：甲、乙两个人所在的位置对球门AB的张角一样大．根据圆周角定理的推论可得∠ADB＝∠ACB.
4．某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔A，B，通告所有船只不要进入以AB为弦的弓形区域(阴影部分)内(含边界)
以免触礁，如图所示．现有一艘货
轮P正向暗礁区域靠近，当∠APB
多大时，才能避开暗礁？(共36张PPT)
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24．7 弧长与扇形面积
第24章
圆
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
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见习题
见习题
见习题
见习题
A
2．【中考·西藏】如图，从一张腰长为90
cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的底面半径为( )
A．15
cm
B．12
cm
C．10
cm
D．20
cm
A
【点拨】连接OD交AC于点M，如图．
【答案】D
D
5．【中考·云南】一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆形，则该圆锥的全面积是( )
A．48π
B．45π
C．36π
D．32π
A
6．【中考·宁波】如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝6
cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( )
A．3.5
cm
B．4
cm
C．4.5
cm
D．5
cm
B
【答案】D
错解：B
诊断：误认为以斜边所在的直线为轴将直角三角形旋转一周所形成的几何体的表面积是两个共底面的圆锥的侧面积与一个底面积之和．
正解：C
(1)圆锥的母线长与底面半径之比；
解：设此圆锥的底面半径为r
cm，母线长AB＝l
cm.
∵2πr＝πl，
∴l＝2r，即l：r＝2：1.
∴圆锥的母线长与底面半径之比为2：1.
(2)∠BAC的度数；
解：由(1)知AB＝AC＝2BO＝2CO.
∴AB＝AC＝BC.
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝60°.
(3)圆锥的侧面积．(结果保留π)
10．【中考·邵阳】如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F.
(1)求由弧EF及线段FC，CB，BE围成图形(图中阴影部分)的面积；
解：∵在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.
11．【中考·襄阳】如图所示，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，
点C落在点A处．再将线段FA
绕点F顺时针旋转90°得线段
FG，连接EF，CG.
(1)求证：EF∥CG；
证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°，
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△BFA，
∴△ABF≌△CBE.∴∠FAB＝∠ECB，
∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝CE.
∴∠AFB＋∠FAB＝90°.
∵线段FA绕点F顺时针旋转90°得线段FG，
∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°.
∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB.∴EC∥FG.
∵AF＝CE，AF＝FG.∴EC＝FG.
∴四边形EFGC是平行四边形．
∴EF∥CG.
(1)当⊙O的半径为2时，求这个扇形(阴影部分)的面积．(结果保留π)
解：如图，连接AO并延长，分别交扇形ABC，⊙O于点E，F.
(2)当⊙O的半径为R(R＞0)时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．
【点拨】本题的难点在于第(2)问，解决问题的关键是找到剩下的余料中所能剪出的最大圆并求其周长，再与扇形的弧长比较大小来判断．(共40张PPT)
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24．6 正多边形与圆
第24章
圆
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见习题
见习题
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见习题
见习题
见习题
见习题
B
1．正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系为( )
A．两角互余
B．两角互补
C．两角互余或互补
D．不能确定
【点拨】如图，连接AC.
【答案】C
【点拨】连接OA，OB，OD，过点O作OH⊥AB于点H，如图所示．
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°.
【答案】B
D
5．【中考·湖州】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是( )
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
C
A
7.【中考·威海】如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，则图中阴影部分的面积是( )
A．18＋36π
B．24＋18π
C．18＋18π
D．12＋18π
【点拨】如图，作FH⊥BC交BC的延长线于点H，连接AE.
【答案】C
8．【2020·株洲】据《汉书·律历志》记载：“量者，龠(yuè)、合、升、斗、斛(hú)也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(tiāo)焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外
接一个圆，此圆外是一个同心圆”，
如图所示．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的周长为________尺．(结果用最简根式表示)
9．如图，按要求画出⊙O的内接正多边形．
(1)正三角形；(2)正方形；(3)正六边形；(4)正八边形．
解：如图所示．
错解：B
诊断：设正多边形的边数为n.∵正多边形内角和为(n－2)·180°，正多边形外角和为360°，根据题意得(n－2)·180°＝360°×2，解得n＝6，故正多边形为正六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，∴正多边形的半径等于2.
正解：A
11．【中考·镇江】在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC＝78°，AC＝10，小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②)．
(1)∠ABC＝________°；
30
(2)求正五边形GHMNC的边GC的长．
(参考值：sin
78°≈0.98，cos
78°≈0.21，tan
78°≈4.70)
12．作图与证明：
如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
解：如图，先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF即为所求．(作法不唯一)
(2)连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．
解：如图，四边形BCEF是矩形．
13．【中考·铜仁】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，
过F作FG⊥BA，垂足为G.
(1)求证：FG是⊙O的切线．
证明：连接OF，如图．
∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠BFO＝30°.
∴∠ABF＝∠OFB.∴AB∥OF.
∵FG⊥BA，∴OF⊥FG.
∴FG是⊙O的切线．
∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形．
∴∠AFO＝60°.
14．如图①②③④，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCD…分别内接于⊙O，点M，N分别从点B，C同时开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，AM与BN相交于点P.
(1)图①中，∠APN＝________.
(2)图②中，∠APN＝________，
图③中，∠APN＝________.
60°
90°
108°
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n(n≥3，且n为整数)的关系．(直接写答案)(共36张PPT)
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24．2 圆的基本性质
24．2.1 垂径分弦
第24章
圆
第1课时 圆的认识
4
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D
30°或110°
13
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15
见习题
见习题
见习题
16
见习题
1．圆是到定点的距离( )定长的点的集合．
A．大于
B．小于
C．不等于
D．等于
D
2．下列条件中，能确定一个圆的是( )
A．以点O为圆心
B．以10
cm长为半径
C．以点A为圆心，4
cm长为半径
D．经过已知点M
C
3．下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是( )
A．菱形、平行四边形
B．矩形、正方形
C．正方形、菱形
D．矩形、平行四边形
B
4．如图，在⊙O中，若点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
B
5．已知⊙O中最长的弦为8
cm，则⊙O的半径为( )
A．2
cm
B．4
cm
C．8
cm
D．16
cm
B
6．下列说法中，正确的是( )
①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④半圆是最长的弧；⑤直径是圆中最长的弦．
A．②③
B．③⑤
C．④⑤
D．②⑤
D
7.【中考·毕节】如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B等于( )
A．100°
B．72°
C．64°
D．36°
【点拨】连接OA，先根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠C＝28°，再根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠OAB，即可求出∠B.
【答案】C
8.【2020·常州】如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A，B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH的最大值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
9．与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )
A．圆的外部(包括边界)
B．圆的内部(不包括边界)
C．圆
D．圆的内部(包括边界)
D
10．若⊙O的面积为25π，在同一平面内有一个点P，且点P到圆心O的距离为4.9，则点P与⊙O的位置关系为( )
A．点P在⊙O外
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O内
D．无法确定
【点拨】∵⊙O的面积为25π，∴⊙O的半径R＝5.
连接OP，则OP＝4.9，∴OP＜R，
∴点P在⊙O内．
【答案】C
B
12．【中考·绍兴】等腰三角形ABC中，顶角∠A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为________.
【点拨】∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°.
如图①，当BP在∠ABC内部时，连接AP，
∵BP＝BA，AB＝AC，∴BP＝AC.
∵AP＝BC，AB＝BA，
∴△BAP≌△ABC(SSS)．
∴∠ABP＝∠BAC＝40°.
∴∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝30°.
如图②，当BP在∠ABC外部时，连接AP，同理可证△BAP≌△ABC，
∴∠ABP＝∠BAC＝40°，
∴∠PBC＝∠ABC＋∠ABP＝110°.
综上，∠PBC＝30°或110°.本题易因考虑不周而漏解．
【答案】30°或110°
13．如图，A，B，C都是⊙O上的点，且点A，O，B在同一条直线上，连接OC，AC.
(1)指出图中的半径与直径．
解：图中的半径有3条，分别是OA，OB，OC；直径有1条，是AB.
(2)指出图中的弦、弧、优弧．
14．如图，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)．判断点P(－1，1)，点Q(1，0)，点R(2，2)和⊙O′的位置关系．
解：如图①所示．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，BD.
(1)过点D作DF⊥AC于点F，过点A作AE⊥BD于点E，并求AE，AF的长．
(2)以点A为圆心画圆，使B，C，D，E，F
5个点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，并求⊙A的半径的取值范围．
解：画图答案不唯一，如图②③所示．
由(1)可得AE＜AB＜AF＜AD＜AC，
16．某公园计划建一个喷水池，其截面形状如图①所示，两个圆的半径相同．
(1)有人建议改为如图②所示的形状，且大圆的直径不变，请你比较两种方案，说一说哪种需要的材料多．
解：设大圆的半径为R，则图①中两个大圆的周长之和为2×2πR＝4πR.
设图②中3个小圆的半径分别为r1，r2，r3，则三个小圆的周长之和为2πr1＋2πr2＋2πr3＝2π(r1＋r2＋r3)．
∵r1＋r2＋r3＝R，
∴3个小圆的周长之和为2πR.
∴图②中所有圆的周长之和为2πR＋2πR＝4πR.
故这两种方案需要的材料一样多．
(2)若将图②中的3个小圆改成n个小圆，(1)中的结论是否成立？为什么？
解：将图②中的3个小圆改成n个小圆，结论仍然成立．理由如下：
设n个小圆的半径分别为r1，r2，…，rn，则n个小圆的周长之和为2πr1＋2πr2＋…＋2πrn＝2π(r1＋r2＋…＋rn)．
∵r1＋r2＋…＋rn＝R，
∴n个小圆的周长之和为2πR.
∴所有圆的周长之和为2πR＋2πR＝4πR.
故这两种方案需要的材料一样多．(共38张PPT)
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24．4 直线与圆的位置关系
第24章
圆
第3课时 切线的判定
4
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见习题
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见习题
见习题
见习题
见习题
C
1．下列四个命题：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中是真命题的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
B．∠EAB＝∠BAC
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径
A
3．如图，点P在⊙O的直径BA的延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，已知PC＝PD＝BC.下列结论：
①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；
③PO＝AB；④∠PDB＝120°.
其中，正确的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
A
D
5.【中考·无锡】如图，在矩形ABCD中，G是BC的中点，过A，D，G三点的圆O与边AB，CD分别交于点E、点F，给出下列说法：
①AC与BD的交点是圆O的圆心；
②AF与DE的交点是圆O的圆心；
③BC与圆O相切．其中正确说法的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【点拨】由题知，AF，DE是圆O的直径．∴AF与DE的交点是圆O的圆心，连接EF，则四边形AEFD是矩形．EF
BC.
连接OG，则易知OG⊥EF，∴OG⊥BC.
∴BC是圆O的切线．
【答案】C
6．如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A，OA＝AP.甲、乙两人想作一条过点P且与⊙O相切的直线，其作法如下．
甲：以点A为圆心，AP长为
半径画弧，交⊙O于B点，作
直线BP，则直线BP即为所求．
乙：过点A作直线MN⊥OP，以点O为圆心，OP长为半径画弧，交射线AM于点B，连接OB，交⊙O于点C，作直线CP，则直线CP即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A．甲正确，乙错误
B．甲错误，乙正确
C．两人都正确
D．两人都错误
C
7.如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，作∠ABC的平分线交AC于D，以D为圆心，DA长为半径作圆，与射线BD交于点E，F.有下列结论：①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF＝2.
其中正确的结论有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【点拨】∵32＋42＝52，∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，①正确．
作DM⊥BC于M，如图所示．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DM＝DA.
∴⊙D与直线BC相切，
②正确．
【答案】A
8．如图，点O为∠MPN平分线上一点，以点O为圆心的⊙O与PN相切于点A.求证：PM为⊙O的切线．
【点拨】利用切线的判定定理需满足两个条件．(1)经过半径外端点；(2)与这条半径垂直，这两个条件缺一不可．证明一条直线是圆的切线时，当直线和圆未明确是否有公共点时，应“作垂直，证半径”，而本题易错解为“连半径，证垂直”．
证明：如图，连接OA，过点O作OB⊥PM于点B.
∵PN与⊙O相切于点A，∴OA⊥PN.
又∵点O在∠MPN的平分线上，OB⊥PM，
∴OB＝OA.∴点O到直线
PM的距离等于⊙O的半径．
∴PM为⊙O的切线．
9．【2020·湘潭】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：直线DE与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD.
由Rt△ABD≌Rt△ACD知BD＝DC，又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．
10．【2020·营口】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.
(1)求证：AB为⊙O的切线；
证明：过点O作OH⊥AB于点H，如图所示．
∵∠ACB＝90°，∴OC⊥BC.
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC.即OH为⊙O的半径，
∵OH⊥AB，∴AB为⊙O的切线．
解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，
∵AD＝2，∴AO＝OD＋AD＝3x＋2.
∴3x＋2＝5x.∴x＝1.
∴OA＝3x＋2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3.
∴AC＝OA＋OC＝5＋3＝8.
11．【2020·青海】如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC
交⊙O于点D，连接CD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
证明：连接OD，如图所示．
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.
∵AD∥OC，
∴∠COD＝∠ODA，∠COB＝∠OAD.
∴∠COD＝∠COB.
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC(SAS)．
∴∠ODC＝∠OBC.
∵BC是⊙O的切线且OB为⊙O的半径，
∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°.∴OD⊥CD.
又∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．
解：连接BD，如图所示．
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.
12．【中考·枣庄】如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3
cm，BC＝4
cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.
(1)求线段AD的长度．
解：在Rt△ACB中，∵AC＝3
cm，BC＝4
cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5
cm.
如图，连接CD.∵BC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
(2)点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．
解：当点E是线段AC的中点时，直线ED与⊙O相切．
理由如下：如图，连接OD.
∵DE是Rt△ADC的中线，
∴ED＝EC.∴∠EDC＝∠ECD.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠EDO＝∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴ED⊥OD，∴直线ED与⊙O相切．(共51张PPT)
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24．5 三角形的内切圆
第24章
圆
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见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
C
1．下列说法错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
2．【中考·广州】如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
B
3．【中考·烟台】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为( )
A．56°
B．62°
C．68°
D．78°
C
4.【中考·河北】如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为( )
A．4.5
B．4
C．3
D．2
【点拨】如图，连接AI，BI，设CA，CB平移后与AB交于D，E两点．
∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，
∴∠CAI＝∠BAI.由平移得AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID.∴∠BAI＝∠AID，∴AD＝DI.
同理可得BE＝EI.
∴阴影部分的周长＝DE＋DI＋EI＝DE＋AD＋BE＝AB＝4.
【答案】B
5．【中考·德州】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( )
A．3步
B．5步
C．6步
D．8步
C
6．【中考·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4
B．6.25
C．7.5
D．9
【点拨】∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，
∴AB2＋CA2＝BC2.
∴△ABC为直角三角形，且∠A＝90°.
∵AB，AC与⊙O分别相切于点F，E，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
易知四边形OFAE为正方形．
设OE＝r，则AE＝AF＝r，
【答案】A
【点拨】过点B作BH⊥CD，交CD的延长线于点H，如图所示．
【答案】B
【点拨】如图，∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O.
设D，E为切点，连接OE，OD，OA，易得点，A，O，D共线，
则OE＝OD＝r，AO＝R，AD＝h，
∴h＝R＋r，故A正确．
在Rt△AOE中，OA＝2OE，
即R＝2r，故B正确．
【答案】C
9.【中考·荆门】如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为( )
A．(－2，3)
B．(－3，2)
C．(3，－2)
D．(2，－3)
【点拨】如图，过点I作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E.
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，且等于其内切圆的半径．
∴IF＝CF＝1，
则AE＝1，IE＝3－1＝2，
则OE＝4－1＝3，则I(3，2)，
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I′的坐标为(－2，3)．
【答案】A
10．如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆交于点D，和BC交于点E.求证：DI＝DB.
【点拨】三角形的内心是三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点；三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点．本题中既出现了三角形的外接圆，又出现了三角形的内切圆，易出现混淆三角形内心与外心概念的错误．
证明：如图，连接BI.
∵点I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC.∴∠ABI＝∠CBI.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.
11．如图，以点O为圆心的圆与△ABC的三边分别交于点E，F，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN，求证：点O是△ABC的内心．
证明：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OP⊥BC于点P，OQ⊥AC于点Q，连接OE，OF，OG，OH，OM，ON.
∵EF＝GH＝MN，OE＝OF＝OG＝OH＝OM＝ON，
∴△OEF≌△OGH≌△OMN(SSS)．
∴OD＝OP＝OQ.
∴点O是△ABC的内心．
(1)用海伦公式求△ABC的面积．
(2)求△ABC内切圆的半径r.
13．【中考·鄂州】如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线．
∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.
∴∠OBP＝90°，∴OB⊥PB.
∴PB是⊙O的切线．
(2)求证：E为△PAB的内心．
证明：连接AE，如图．
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE＋∠OAE＝90°.
∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.
∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED.
∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB且交∠PAD的平分线于点E.
∴E为△PAB的内心．
∵∠DPA＋∠PAD＝90°，∠PAD＋∠BAC＝90°，
∴∠DPA＝∠BAC.
14．【中考·呼和浩特】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，
垂足为H.
(1)求证：E为BC的中点．
证明：连接OE，如图．
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
AB是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线．
又∵DE是⊙O的切线，∴DE＝BE.
∵O为AB的中点，∴E为BC的中点．
(2)若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
解：连接BD，如图．
又∵DE是Rt△BCD的中线，
∴DE＝CE.
∴△DEC为等边三角形．(共32张PPT)
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24．2.2 圆心角、弧、弦、
弦心距间关系
第24章
圆
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见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
1．下列说法中正确的有( )
①圆是轴对称图形；②圆是旋转对称图形；③圆不是中心对称图形；④圆是轴对称图形但不是旋转对称图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
2．下面四个图形中的角，是圆心角的是( )
D
C
C
【答案】D
D
7．如图，观察下列图形及相应推理，其中正确的是( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
C
8．如图，AB是⊙O的直径，若∠COA＝∠DOB＝60°，则与线段AO的长度相等的线段有( )
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
D
【答案】D
10．如图，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，那么OM，ON的大小关系是( )
A．OM>ON
B．OM＝ON
C．OMD．无法确定
错解：A或B
诊断：对“在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等”这一性质中反映的各组量之间的关系判断不准，从而导致错误．
正解：C
30
(2)求弦AD的长；
解：易知∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°.
∵OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形．
∴AD＝OA＝4.
(3)P是半径OC上一动点，连接AP，PD，请求出AP＋PD的最小值．(解答上题时，请按题意自行补全图形)
如图，延长AO交⊙O于点B，连接BD交OC于点P，连接AP.
∵OA⊥OC，OA＝OB，∴PA＝PB.∴PA＋PD＝PB＋PD.
(1)求证：△BFG≌△CDG；
(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．(共37张PPT)
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24．3 圆周角
第24章
圆
第3课时 圆内接四边形
4
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见习题
见习题
见习题
16
见习题
1．下列说法正确的是( )
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
B
2．下列多边形中一定有外接圆的是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
A
3．下列命题中，不正确的是( )
A．矩形有一个外接圆
B．弦的垂直平分线一定平分弦所对的弧
C．菱形有一个外接圆
D．任何一个三角形都有一个外接圆
C
4．【2020·黄石】如图，点A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为( )
A．140°
B．70°
C．110°
D．80°
【点拨】如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP.
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°.
∵A，C，B，P四点共圆，
∴∠P＋∠ACB＝180°.
∴∠ACB＝180°－70°＝110°.
【答案】C
A
6．【2020·张家界】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
C
B
【点拨】如图，连接AC.
∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2.
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA.∴AC＝AD＝5.
【答案】D
9．【中考·天水】如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为( )
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
C
【点拨】连接BD，EC.根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义可得∠ADE＝∠ABC＝45°，再证得∠ADE＝∠A＝45°，即AE＝ED，根据直径所对的圆周角是直角可得∠FCE＝90°，在Rt△EFC中，求得EF＝4，所以BD＝4，在Rt△BDE中根据勾股定理可得BE2＋DE2＝BE2＋AE2＝BD2＝16.
【答案】C
11.【中考·潍坊】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC的延长线相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( )
A．50°
B．60°
C．80°
D．85°
【答案】C
12．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，如果∠COD＝32°，那么∠B的度数为( )
A．16°
B．32°
C．16°或164°
D．32°或148°
【点拨】点B可能在弦AC所对的优弧上，也可能在弦AC所对的劣弧上．本题没有给出图形，其易错之处在于画图时考虑不全而漏解．
【答案】D
解：如图，连接OA，OC，作OH⊥AC于点H.
(2)求证：AB＋BC＝BM.
证明：如图，在BM上截取BE＝BC，连接CE.
又∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形．
∴CE＝CB＝BE，∠CEB＝60°.
∴∠MEC＝180°－∠CEB＝120°.
∴△ABC≌△MEC(AAS)．
∴AB＝ME.
∵ME＋EB＝BM，
∴AB＋BC＝BM.
解：∠CP′D＋∠COB＝180°.
证明：∵四边形PCP′D是⊙O的内接四边形，
∴∠CPD＋∠CP′D＝180°.
又由(1)知，∠CPD＝∠COB，
∴∠CP′D＋∠COB＝180°.
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCB＋∠BAD＝180°.
15．【中考·湖州】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.
(1)求证：BD＝CD.
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°－105°＝75°.
又∵∠DBC＝75°，
∴∠DCB＝∠DBC＝75°.
∴BD＝CD.
解：∵∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴∠BDC＝30°.
如图，连接OB，OC.
16．【2020·南京】如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F.求证：
(1)四边形DBCF是平行四边形；
证明：∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B.
∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B.
∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD.∴BD∥CF.
又∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形．
(2)AF＝EF.
解：如图，连接AE.
∵∠ADF＝∠B，
∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B.
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF＋∠EAF＝180°.
∵BD∥CF，∴∠ECF＋∠B＝180°.
∴∠EAF＝∠B.∴∠AEF＝∠EAF.
∴AF＝EF.
