第一章 1.1 1.1.1
基础练习
1．下列语句中，不能作为命题的是( )
A．地球上有四大洋
B．－5∈Z
C．π?R
D．|x＋a|
【答案】D
【解析】选项D没有做出判断，故不是命题．
2．在下列4个命题中，是真命题的序号为( )
①3≥3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②④
【答案】D
【解析】对于③，举一反例，若A＝15°，B＝15°，则C为150°，为钝角三角形．
3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥平面α，b⊥平面β，则下列命题中，是假命题的是( )
A．若a∥b，则平面α∥平面β
B．若平面α⊥平面β，则a⊥b
C．若a，b相交，则平面α，β相交
D．若平面α，β相交，则a，b相交
【答案】D
【解析】由已知a⊥平面α，b⊥平面β，若平面α，β相交，a，b有可能异面．
4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4
B．2
C．0
D．－3
【答案】C
【解析】方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0，故a＝0时适合条件．
5．命题“方程x2－x＋1＝0有两个实数根”的条件是______________________．
【答案】一个方程是x2－x＋1＝0
【解析】把命题改写成“若p，则q”的形式为“若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根”，所以命题的条件是一个方程是x2－x＋1＝0.
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”为______(填“真命题”或“假命题”)．
【答案】假命题
【解析】当x＝－1时，满足x≠1，但x2－1＝0.故为假命题．
7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式：
(1)对顶角相等；
(2)平行四边形的对角线相交于一点且互相平分；
(3)偶数能被2整除；
(4)当二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根．
解：(1)若两个角是对顶角，则这两个角相等．
(2)若四边形是平行四边形，则其对角线交于一点且互相平分．
(3)若一个数是偶数，则这个数能被2整除．
(4)若二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ>0，则该方程有两个不相等的实数根．
8．判断下列语句是否是命题．若是，判断其真假，并说明理由．
(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列．
(2)求证：若方程x2－x＋2＝0无实根．
(3)平行于同一条直线的两条直线必平行吗？
(4)当x＝4时，2x＋1<0.
解：(1)是命题，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，因此这是一个假命题．
(2)不是命题，它是祈使句．
(3)不是命题，它是一个疑问句，没有做出判断．
(4)是命题，能判断真假，它是一个假命题．
能力提升
9．给出下列命题：
①若＞1，则x＞1；
②若α，β，γ是三个不同的平面，若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β；
③已知sin＝，则cos＝.
其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】对于①，由>1，可得>0，故x>1或x<0，∴①不正确．对于②，在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，令平面ABB1A1，平面ADD1A1，平面ABCD分别为α，β，γ，∵平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ADD1A1⊥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ADD1A1不平行，
∴②不正确．对于③，∵sin＝，∴cos＝cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×2＝，∴③正确．故选B．
10．设实数a，b，t满足|a＋1|＝|sin
b|＝t，则下列命题正确的是( )
A．若t确定，则b2唯一确定
B．若t确定，则a2＋2a唯一确定
C．若t确定，则sin唯一确定
D．若t确定，则a2＋a唯一确定
【答案】B
【解析】∵实数a，b，t满足|a＋1|＝t，∴(a＋1)2＝t2，a2＋2a＝t2－1.t确定，则t2－1为定值，则a2＋2a唯一确定．故选B．
11．(2019年山东烟台期末)已知p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m的取值范围是________．
【答案】(1,2)
【解析】若命题p为真命题，由x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥m，可知m≤1；若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，即或所以1
12．试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件．
解：方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：
当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－.
当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0.
综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．
PAGE第一章 1.1 1.1.2 1.1.3
基础练习
1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
【答案】A
【解析】a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.故选A．
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
【答案】D
【解析】原命题的条件是a＝－b，结论是|a|＝|b|，所以逆命题是：若|a|＝|b|，则a＝－b.
3．命题“若m＝10，则m2＝100”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，是真命题的是( )
A．原命题、否命题
B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题
D．逆命题、否命题
【答案】C
【解析】因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题．
4．命题“若x＝1，则x2－3x＋2＝0”的逆否命题是( )
A．若x≠1，则x2－3x＋2≠0
B．若x2－3x＋2＝0，则x＝1
C．若x2－3x＋2＝0，则x≠1
D．若x2－3x＋2≠0，则x≠1
【答案】D
【解析】将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠1.故选D．
5．给出下列四个论断：①a是正数；②b是负数；③a＋b是负数；④ab是非正数．选择其中两个作为条件，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的命题是
________.
【答案】若a是正数且a＋b是负数，则b是负数
【解析】命题“若a是正数且a＋b是负数，则b是负数”为真，其逆否命题也为真．
6．已知x，y∈R，命题“若xy＜18，则x＜2或y＜9”是________命题(填“真”或“假”)．
【答案】真
【解析】命题的逆否命题为“若x≥2且y≥9，则xy≥18”．“若x≥2且y≥9，则xy≥18”成立，即命题的逆否命题为真命题，则“若xy＜18，则x＜2或y＜9”是真命题．
7．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题．
解：逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.
否命题：已知a，b，c，d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d.
逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等．
8．已知a，b，c∈R，求证：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于.
证明：原命题的逆否命题为：已知a，b，c∈R，若a，b，c都不小于，则a＋b＋c≥1.
由条件a≥，b≥，c≥，三式相加得a＋b＋c≥1.
显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，
即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于.
能力提升
9．在命题“若x＋2y＝9，则x＝3且y＝3”及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由题可知原命题是假命题，逆命题是真命题，根据互为逆否命题的两个命题真假性相同可知否命题为真命题，逆否命题为假命题．故真命题的个数为2.
10．(2019年湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax－4，若命题“函数f(x)与g(x)的图象没有公共点”为真命题，则实数a的取值范围为( )
A．[－2,6]
B．(－2,6)
C．[－6,2]
D．(－6,2)
【答案】D
【解析】令x2－2x＝ax－4，即x2－(a＋2)x＋4＝0，由题意得Δ＝(a＋2)2－16<0，解得－611．以下关于命题的说法正确的有________(填序号)．
①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”等价．
【答案】②④
【解析】对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，∴函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，①不正确．对于②，依据一个命题的否命题的定义可知该说法正确．对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但1和3均为奇数，故③不正确．对于④，命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”互为逆否命题，因此二者等价，∴④正确．综上，正确的说法有②④.
12．命题：已知数列{an}，{bn}是两个公比分别为p，q的等比数列，当p≠q时，数列{an＋bn}不是等比数列．判断此命题的真假．
解：此命题的逆否命题：已知数列{an}，{bn}是两个公比分别为p，q的等比数列，若{an＋bn}是等比数列，则p＝q.这是一个真命题，证明如下：
∵{an＋bn}是等比数列，
∴(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2，
即(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝(a1p＋b1q)2.
化简得(p－q)2＝0，∴p＝q.
∵逆否命题与原命题等价，
∴原命题也是真命题．
PAGE第一章 1.2
基础练习
1．(2019年湖北恩施期末)使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( )
A．x≥0
B．x2≥－x
C．log2(x＋1)>0
D．2x<1
【答案】B
【解析】∵|x|＝x?x≥0，∴选项A是充要条件．对于选项B，由x2≥－x得x≥0或x≤－1，故选项B是必要不充分条件．同理，选项C是充分不必要条件，选项D是既不充分也不必要条件．故选B．
2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立；当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．
3.(2020年山西太原模拟)已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，∴a＞b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立.若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立.故选D.
4．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是( )
A．a＞b＋1
B．a＞b－1
C．a2＞b2
D．a3＞b3
【答案】A
【解析】a>b＋1?a>b，a>b?/
a>b＋1.
5．已知两个命题A：2x＋3＝x2，B：x＝x2，则A是B的____________条件．
【答案】既不充分也不必要
【解析】命题A就是x∈{x|2x＋3＝x2}＝{－1,3}；命题B就是x∈{x|x＝x2}＝{0,3}．由于{－1,3}?{0,3}且{0,3}?{－1,3}，∴A是B的既不充分也不必要条件．
6．(2019年重庆期末)设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，∴解得0≤a≤.
7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．
(1)p：x>1；q：x2>1；
(2)p：a＝3；q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a>2；q：a>5.
解：(1)p：x>1；q：x>1或x<－1，所以p是q的充分不必要条件．
(2)p：a＝3；q：a＝－2或a＝3，所以p是q的充分不必要条件．
(3)p是q的必要不充分条件．
8．已知p：1<2x<8，q：不等式x2－mx＋4≥0恒成立．若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
解：p：1<2x<8，即0∵p是q的充分条件，
∴不等式x2－mx＋4≥0对任意x∈(0,3)恒成立．
∴m≤＝x＋对任意x∈(0,3)恒成立．
∵x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，等号成立，∴m≤4.
能力提升
9．无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn(n∈N
)，则“a1＋d>0”是“{Sn}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若{Sn}为递增数列，则对于n≥2且n∈N
，恒有an>0，可得a2＝a1＋d>0.若a1＋d>0，则只能推得a2>0，不能推得{Sn}是递增数列．所以“a1＋d>0”是“{Sn}为递增数列”的必要不充分条件．
10.(多选题)下列各选项中，
p是q的充要条件的是( )
A.p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点
B.p：＝1，q：y＝f(x)为偶函数
C.p：cos
α＝cos
β，q：tan
α＝tan
β
D.p：A∩B＝A，q：
【答案】AD
【解析】对于A，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点q：Δ＝m2－4(m＋3)＞0q：m＜－2或m＞6p.对于B，当f(x)＝0时，qp.对于C，若α，β＝kπ＋(k∈Z)，则有cos
α＝cos
β，但没有tan
α＝tan
β，pq.对于D，p：A∩B＝Ap：ABq：
11．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；
②已知a≠0，“b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R”的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
【答案】①④
【解析】①当x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之，不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件．②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题．③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件．④lg
x＋lg
y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.所以“lg
x＋lg
y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然，因此“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．综上可知真命题是①④.
12．设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝的定义域为集合B．已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p＜0，α是β的充分条件，求实数p的取值范围．
解：A＝{x|x2－x－2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，
B＝＝(0,3]，∴A∩B＝(2,3]．
设集合C＝{x|2x＋p＜0}＝，
∵α是β的充分条件，∴A∩B?C．
∴3＜－.解得p＜－6.
∴实数p的取值范围是(－∞，－6)．
PAGE第一章 1.3
基础练习
1．命题“梯形的两对角线互相不平分”的形式为( )
A．p或q
B．p且q
C．非p
D．简单命题
【答案】C
【解析】命题“梯形的两对角线互相不平分”是命题“梯形的两对角线互相平分”的否定．故选C．
2．下列命题为简单命题的是( )
A．5和10是20的约数
B．正方形的对角线垂直平分
C．方程x2＋x＋2＝0没有实数根
D．是无理数
【答案】D
【解析】选项A，B是p且q的形式，选项C是非p的形式．故选D．
3．若命题p：?∈{?}，命题q：??{?}，那么下列结论不正确的是( )
A．“p或q”为真
B．“p且q”为假
C．“非p”为假
D．“非q”为假
【答案】B
【解析】命题p：?∈{?}，是把?看作一个元素，是真命题．命题q：??{?}，是把?看作一个集合，是真命题．故“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假，“非q”为假．故选B．
4．条件p：x∈A∪B，则?p是( )
A．x?A或x?B
B．x?A且x?B
C．x∈A∩B
D．x?A或x∈B
【答案】B
【解析】因x∈A∪B?x∈A或x∈B，所以?p为x?A且x?B，故选B．
5．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“?q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
【答案】{－1,0,1,2}
【解析】因为“p∧q”为假，“?q”为假，所以q为真，p为假．故即因此x的值可以是－1,0,1,2.
6．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
【答案】[1,2)
【解析】x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x<2，即x∈[1,2)．
7．分别写出由下列各组命题构成的p∨q，p∧q，?p形式的复合命题：
(1)p：是无理数，q：大于1；
(2)p：N?Z，q：0∈N；
(3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1解：(1)p∨q：是无理数或大于1；
p∧q：是无理数且大于1；
?p：不是无理数．
(2)p∨q：N?Z或0∈N；
p∧q：N?Z且0∈N；
?p：N?Z.
(3)p∨q：x2＋1>x－4或x2＋1p∧q：x2＋1>x－4且x2＋1?p：x2＋1≤x－4.
8．给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解：当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”?a＝0或∴0≤a<4.
当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”?Δ＝1－4a≥0，∴a≤.
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p，q一真一假．
∴若p真q假，则0≤a<4且a>，即若p假q真，则即a<0.
故实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
能力提升
9．(2019年山东青岛三中模拟)设α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，且m?α，n?β，有两个命题：p：若m∥n，则α∥β；q：若m⊥β，则α⊥β.那么( )
A．“(?p)或q”是假命题
B．“(?p)且q”是假命题
C．“p或(?q)”是真命题
D．“(?p)且q”是真命题
【答案】D
【解析】若分别位于两个平面内的两条直线平行，则这两个平面可能平行，也可能相交，故命题p为假；由面面垂直的判定定理可知命题q为真．故“(?p)且q”是真命题．
10．当a＞0时，设命题p：函数f(x)＝x2－2ax在区间(1,2)上单调递增，命题q：不等式x2＋ax＋1＞0对任意x∈R都成立．若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．0＜a≤1
B．1≤a＜2
C．0≤a≤2
D．0＜a＜1或a≥2
【答案】A
【解析】∵函数f(x)＝x2－2ax在区间(1,2)上单调递增，∴0＜a≤1.∵不等式x2＋ax＋1＞0对任意x∈R都成立，∴Δ＝a2－4＜0.解得－2＜a＜2.∵“p且q”是真命题，∴p真q真．∴0＜a≤1.故选A．
11．对于函数：①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．命题p：f(x＋2)是偶函数，q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．能使命题“p∧q”为真的所有函数的序号是________．
【答案】②
【解析】对于①，p，q假．对于②，p，q真．对于③，p真q假．故能使命题p∧q为真的函数的序号是②.
12．已知a>0，设p：y＝x为增函数，q：当x∈时，x＋>恒成立．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
解：∵y＝x为增函数，∴0令f(x)＝x＋，则f(x)在上为减函数，在[1,2]上为增函数，
∴f(x)在[，2]上的最小值为f(1)＝2.
当x∈时，由x＋>恒成立，得<2，
∴a>.
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴p，q一真一假．
若p真q假，则0若p假q真，则a≥1.
∴a的取值范围是∪[1，＋∞)．
PAGE第一章 1.4
基础练习
1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【答案】D
【解析】原命题是全称命题，其否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．
2．给出下列几个命题：
①至少有一个x0，使x＋2x0＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x0，使x＋2x0＋1＝0成立．
其中是全称命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】B
【解析】命题②③都含有全称量词“任意的”，故②③是全称命题．
3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
【答案】B
【解析】选项A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；选项B中x＝0时，x2＝0，所以选项B既是特称命题又是真命题；选项C中因为＋(－)＝0，所以选项C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以选项D是假命题．
4.(2020年湖南长沙模拟)已知命题“?x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A.(4，＋∞)
B.(0,4]
C.(－∞，4]
D.[0,4)
【答案】C
【解析】当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.
5．命题“?x0∈R，x－x0＋3＝0”的否定是__________．
【答案】?x∈R，x2－x＋3≠0
【解析】∵命题“?x∈R，x2－x＋3＝0”是特称命题，∴其否定命题为“?x∈R，x2－x＋3≠0”．
6．给出下列命题：
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
其中是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)
【答案】①②③ ④
【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．
7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
(1)?x∈N，x3>x2；
(2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
(3)?x∈R，x2－x＋1≤0；
(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．
解：(1)当x＝1时，13＝12，∴x＝1时，x3>x2不成立，即此命题是假命题．
命题的否定：?x0∈N，x≤x.
(2)15可以被5整除，但15的末位数字不是0，
∴此命题是假命题．
命题的否定：有些可以被5整除的整数，末位数字不是0.
(3)∵x2－x＋1＝2＋>0恒成立，∴此命题是假命题．
命题的否定：?x∈R，x2－x＋1>0.
(4)菱形的对角线互相垂直且平分，∴此命题是真命题．
命题的否定：任何一个四边形，它的对角线不互相垂直或不互相平分．
8．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解：若命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”为真命题，则a≤x2在区间[1,2]恒成立，所以a≤(x2)min＝1.
若命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”为真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2.
命题“p且q”为真命题，即命题p，q都为真命题，所以取两个范围的交集，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
能力提升
9．(2019年四川成都模拟)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“?x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解析】若“?x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0.
10．(2019年广西柳州期中)下列关于函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x的描述，正确的是( )
A．?a0∈R，当x>a0时，总有f(x)B．?x∈R，f(x)C．?x<0，f(x)≠g(x)
D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解
【答案】A
【解析】在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．当x>4时，由图象知f(x)11．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：①?x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.则m的取值范围是________．
【答案】(－4，－2)
【解析】由题意知m≠0，∴f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)为二次函数．若?x∈R，f(x)<0或g(x)<0，则f(x)必须开口向下，即m<0.f(x)＝0的两根x1＝2m，x2＝－m－3，则x1－x2＝3m＋3.
(1)当x1>x2，即m>－1时，必须大根x1＝2m<1，即m<；
(2)当x1－4；(3)当x1＝x2，即m＝－1时，x1＝x2＝－2<1也满足条件．∴满足条件①的m的取值范围为－4若?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，则满足方程f(x)＝0的小根小于－4.(1)当m>－1时，小根x2＝－m－3<－4且m<0，无解；(2)当m<－1时，小根x1＝2m<－4且m<0，解得m<－2；(3)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，∴不满足②.
∴满足①②的m的取值范围是－412．已知命题p：?x∈R，使得x2－2ax＋2a2－5a＋4＝0；命题q：?x∈[0,1]，都有(a2－4a＋3)x－3<0.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
解：若p为真命题，则Δ＝4a2－4(2a2－5a＋4)≥0，
解得1≤a≤4.
对于q，令f(x)＝(a2－4a＋3)x－3，
若q为真命题，则f(0)＜0且f(1)＜0，即解得0＜a＜4.
由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，知p，q一真一假，
所以或解得0＜a＜1
或a＝4.
故a的取值范围是{a|0＜a＜1
或a＝4}．
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