6.4.3 第2课时 正弦定理课件（共25张PPT）

第2课时　正弦定理
第六章　6.4.3　余弦定理、正弦定理
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理.
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.
学习目标
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等.
知识点一　正弦定理
正弦
1.a＝ ，b＝ ，c＝ .
知识点二　正弦定理的变形公式
思考　在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？
答案　等于2R(R为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.
2Rsin A
2Rsin B
2Rsin C
思考辨析 判断正误
1.正弦定理对任意的三角形都成立.(　　)
2.在△ABC中，等式bsin C＝csin B总能成立.(　　)
3.在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.(　　)
4.任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.(　　)
×
×
√
√
例1　在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形.
一、已知两角及任意一边解三角形
又C＝180°－(30°＋60°)＝90°，
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式： ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
跟踪训练1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
解　因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
二、已知两边及其中一边的对角解三角形
例2　在△ABC中，已知c＝ ，A＝45°，a＝2，解三角形.
∵0° 延伸探究
若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
反思感悟
这一类型题目的解题步骤为
①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；
②用三角形内角和定理求出第三个角；
③根据正弦定理求出第三条边.
其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值.
跟踪训练2　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于
√
三、三角形形状的判断
例3　在△ABC中，已知 ，且sin2A＋sin2B＝sin2C.求证：△ABC为等腰直角三角形.
∴a2＝b2即a＝b，
又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，
∴△ABC为等腰直角三角形.
反思感悟
判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)；
(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：
跟踪训练3　在△ABC中，已知2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形
√
解析　方法一　(利用边的关系进行判断)
由正弦定理和余弦定理，
所以△ABC是等腰三角形.
方法二　(利用角的关系进行判断)
因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
即C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B).
由2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，得2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin(A－B)＝0.
因为－π 所以△ABC是等腰三角形.
即a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，故a＝b.
1.在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是
1
2
3
4
5
√
课堂练习
1
2
3
4
5
2.在△ABC中，若sin A＝sin C，则△ABC是
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
√
解析　由sin A＝sin C及正弦定理，知a＝c，
∴△ABC为等腰三角形.
1
2
3
4
5
3. 在△ABC中，一定成立的等式是
A.asin A＝bsin B
B.acos A＝bcos B
C.asin B＝bsin A
D.acos B＝bcos A
√
4.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，求△ABC最短边的边长.
解　由三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝75°，
所以B是最小角，b为最短边.
1.知识清单：
(1)正弦定理.
(2)正弦定理的变形推论.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽视分类讨论.
课堂小结
谢谢聆听