18.2.1正方形的判定课件（18张）

第十八章 平行四边形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学练优八年级数学下（RJ）
教学课件
18.2.3 正方形
第2课时 正方形的判定
问题1 正方形有哪些性质？
A
B
C
D
O
导入新课
复习引入
正方形的性质
对边平行
四条边相等
四个角都是直角
互相垂直
边
角
对角线
每一条对角线平分一组对角
互相平分
相等
问题2 如何判断矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
边：
有一个直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线垂直
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
两组对边平行
两组对边相等
一组对边平行且相等
角：
两组对角相等
对角线：
对角线互相平分
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形既是特殊的矩形,也是特殊的菱形.
所以判定一个四边形是正方形,就判定这个四边
形既是矩形，也是菱形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
讲授新课
正方形的判定
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形.
正方形
问题：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
〃
〃
A
B
C
D
E
F
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，这时菱形框架变成了正方形.
正方形
菱形
问题：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
1
1
判定正方形的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
总结归纳
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
判定正方形的方法判断四边形既是矩形，也是菱形
典型例题1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥BC，DF⊥AC.求证:四边形CEDF为正方形.
N
证明：
过点D作DN⊥AB，垂足为N
∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC
∴∠C=∠DFC=∠DEC=90°
∴四边形DFCE是矩形
∵AD平分∠FAN，DF⊥AC,DN⊥AB
∴DF＝DN
∵BD平分∠EBN，DE⊥BC,DN⊥AB
∴DE＝DN
∴DF＝DE
∴四边形CEDF是正方形
典型例题2：如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)求四边形EFGH面积的最小值.
证明(1):
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°，AB=AD
∵AE=DH=BF
∴AH=BE
在△AEH和△BFE中
∴△AEH≌△BFE（SAS）
∴EH=EF
同理：EH=EF=FG=GH
∴四边形EFGH是菱形
∵∠A=90°
∴∠AEH+∠BEF=90°
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是正方形
∴∠AHE+∠AEH=90°
∵△AEH≌△BFE
∴∠AHE=∠BEF
典型例题2：如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)求四边形EFGH面积的最小值.
证明(1):
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°，AB=AD
∵AE=DH=BF
∴AH=BE
在△AEH和△BFE中
∴△AEH≌△BFE（SAS）
∴∠AHE=∠BEF
同理:∠EFG=∠FGH=∠HEF=90°
∴四边形EFGH是矩形
∴∠AEH+∠BEF=90°
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是正方形
∵∠A=90°
∴∠AHE+∠AEH=90°
∵△AEH≌△BFE
∴EH=EF
典型例题2：如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)求四边形EFGH面积的最小值.
解(2):
设四边形EFGH面积为S，BE＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
EF2＝BE2+BF2＝x2+(8﹣x)2
∴S＝x2+（8﹣x）2＝2x2-16x+64
＝2(x2﹣8x)+64
＝2(x﹣4)2+32
∵2(x﹣4)2≥0
∴S有最小值
当x＝4时，S最小值＝32
∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2.
＝2(x2﹣8x+16-16)+64
＝2(x2﹣8x+16)-32+64
拓展延伸1：如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线，且AD=3，DE=1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H，求线段AH的长．
解：
∵四边形ABCD和四边形DEFG为正方形
∴AD=CD,DG=DE,∠ADE=∠CDG=90°
在△GDC和△EDA中
∴△GDC≌△EDA(SAS)
∴∠GCD＝∠EAD
∵AD=3，DE=1
在Rt△CDG中，
由勾股定理得：
∴CD=3，DG=1
∵∠ADE＝90°
∴∠HEC+∠EHC＝90°
∴∠EHC＝90°
∴∠DAE+∠AED＝90°
∵∠DEA＝∠CEH
∵∠AHC＝90°
∴AG=AD+DG=4
拓展延伸1：如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线，且AD=3，DE=1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H，求线段AH的长．
解：
∵四边形ABCD和四边形DEFG为正方形
∴AD=CD,DG=DE,∠ADE=∠CDG=90°
在△GDC和△EDA中
∴△GDC≌△EDA(SAS)
∴∠GCD＝∠EAD
∵AD=3，DE=1
在Rt△CDG中，由勾股定理得：
∴CD=3，DG=1
∵∠ADE＝90°
∴∠HEC+∠EHC＝90°
∴∠EHC＝90°
∴∠DAE+∠AED＝90°
∵∠DEA＝∠CEH
∴AG=AD+DG=4
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC=3,∠B=90°
∵∠EHC＝90°
∴∠AHC=∠AHG＝90°
拓展延伸2：如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'CD'处，B'C'与CD相交于点M，求点M的坐标.
解：连接AM
∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′
∴AD＝AB=AB′＝1，
∴∠B′AD＝∠BAD-∠BAB′=60°
在Rt△ADM和Rt△AB′M中
∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL）
∴∠DAM＝∠B′AM＝30°
在Rt△ADM中，∠DAM＝30°
AM=2DM
设DM=x，则AM=2x
在Rt△ADM中，由勾股定理得
∴x2+12=(2x)2
AD2+MD2=AM2
∠BAB′＝30°,
∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠B′=90°
课堂小结
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂小结
谈一谈本节课
你的收获是什么？
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.