期末达标检测卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列调查中，适宜采用普查方式的是( )
A．调查全国中学生心理健康现状
B．调查一片试验田里某种大麦的穗长情况
C．调查冷饮市场上冰激凌的质量情况
D．调查你所在班级的每一名同学所穿鞋子的尺码情况
2．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线对应的函数表达式是( )
A．y＝(x－1)2＋2
B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1
D．y＝x2＋3
3．如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是( )
A.
B.
C.
D.
4．某校九(1)班和九(2)班各有5人参加了数学竞赛的初赛，成绩(单位：分)如下：
(1)班：80，45，89，40，98；
(2)班：78，90，60，75，69.从能够获奖的角度来看，你认为应派( )参加复赛．
A．(1)班
B．(2)班
C．都可以
D．不能确定
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4
cm，以点C为圆心，以3
cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
6．若A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(1，y3)是抛物线y＝x2＋4x－5上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2
D．y1＜y3＜y2
7．如图，⊙P与x轴交于点A(－5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为( )
A．＋
B．2＋
C．4
D．2＋2
8．若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为( )
A．x1＝0，x2＝4
B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝－5
D．x1＝－1，x2＝5
9．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按如图方式折叠，使EA′恰好与⊙O相切于A′(△EFA′与⊙O除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于G，则A′G的长是( )
A．6
B．
C．7
D．
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其结论正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题(每题3分，共30分)
11．若y＝(m2＋m)xm2－m是二次函数，则m的值为________．
12．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝30°，则∠D＝________．
13．某学校九年级举行了一次数学竞赛(满分为10分)，为了估计平均成绩，抽取了一部分试卷，这些试卷中有1人得10分，3人得9分，8人得8分，12人得7分，9人得6分，7人得5分．在这个问题中，样本容量是________，样本的平均成绩是________分．
14．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h(米)与小球运动时间t(秒)的函数关系式是h＝9.8t－4.9t2，那么小球运动中的最大高度为________米．
15．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，扇形的半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D.当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为________．
16．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝________．
17．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________．
18．如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为点E，交⊙O于点D，连结BE.设∠BEC＝α，则sin
α＝________．
19．如图，小华用一个半径为36
cm，面积为324π
cm2的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽，则帽子的底面半径r＝________cm.
20．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝________．
三、解答题(21、22题每题8分，23、24题每题10分，25、26题每题12分，共60分)
21．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且经过原点(0，0)，求该函数的表达式．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
23．某校九年级共有360名学生，为了解该校九年级学生每周运动的时间，从中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，并将获得的数据(每周运动的时间，单位：时)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
学生每周运动的时间的频数分布直方图如图(数据分成6组：1≤x＜3，3≤x＜5，5≤x＜7，7≤x＜9，9≤x＜11，11≤x＜13)．
学生每周运动的时间在7≤x＜9这一组的数据是7，7.2，7.4，7.5，7.5，7.6，7.8，7.8，8，8.2，8.4，8.5，8.6，8.8.根据以上信息，解答下列问题：
(1)求这次被抽取的学生人数；
(2)求被抽取学生每周运动的时间的中位数；
(3)根据此次问卷调查的结果，估计该校九年级全体学生每周运动的时间超过7.9小时的学生有多少人．
24．某水果店经销一批柑橘，每千克进价是3元．试销期间发现每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用800元．
销售单价x(元)
3.5
5.5
每天的销售量y(千克)
2
800
1
200
(1)请求出y与x之间的函数表达式；
(2)如果每天获得1
600元的利润，销售单价应为多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
25．已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos
∠AOC＝.设OP＝x，△CPF的面积为y.
(1)求证：AP＝OQ；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.
(1)直接写出点A的坐标，并求直线l对应的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)；
(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
答案
一、1．D
2．C 点拨：抛物线平移的规律是“上加下减，左加右减”，由此即可求得将抛物线平移后所得新抛物线对应的函数表达式.
3．B 点拨：由垂径定理得BC＝AB＝2，根据勾股定理得OB＝＝，故选B.
4．A 5．A
6．B 点拨：由y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，得抛物线的对称轴为直线x＝－2，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．由对称性知，x＝1与x＝－5时的函数值相等，∴y27．B 点拨：如图，连结PA、PB、PC，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥y轴于点E.
∵∠ACB＝60°，
∴∠APB＝120°.
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°.
∵A(－5，0)，B(1，0)，
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2.
∵PD⊥AB，PE⊥y轴，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE＋OE＝2＋，
∴点C的纵坐标为2＋.
8．D
9．B 点拨：作FS⊥CD于点S，由于点O是正方形ABCD的中心，正方形是中心对称图形，则AF＝CG.
易知△EFA≌△EFA′，则有AF＝A′F.根据四边形ADSF是矩形，设AF＝A′F＝DS＝CG＝x，在Rt△FSG中利用勾股定理得[2(2＋x)]2＝(8－2x)2＋82，解得x＝.
所以A′G＝GF－
A′F＝2(2＋x)－x＝4＋x＝.
10．C 点拨：①∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0.∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①错误；②当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.∵－＝1，∴b＝－2a，把b＝－2a代入a－b＋c＞0中，得3a＋c＞0，故②正确；③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，∴(a＋c)2－b2＝(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0.故③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c.当x＝m时，y＝am2＋bm＋c.∴a＋b＋c≤am2＋mb＋c，即a＋b≤m(am＋b)，故④正确．故选C.
二、11．2 点拨：由二次函数的定义得m2－m＝2且m2＋m≠0，解得m1＝2，m2＝－1，但m≠0，且m≠－1，所以m＝2.本题易忽略m2＋m≠0而出错．
12．150° 13．40；6.85 14．4.9
15．2π－4 点拨：当OD＝CD时，△OCD的面积最大．
16．50° 点拨：连结OF.
∵∠ACF＝65°，
∴∠AOF＝130°.
∵EF是⊙O的切线，
∴∠OFE＝90°.易知AB⊥CD，
∴∠OHE＝90°，
∴∠E＝360°－90°－90°－130°＝50°.
17． 18． 19．9
20．3－ 点拨：设A点坐标为(0，a)(a>0)，令x2＝a，解得x＝(x＝－舍去)，
∴点B(，a)．令＝a，则x＝(x＝－舍去)，∴点C(，a)．
∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，而()2＝3a，∴点D的坐标为(，3a)．
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴＝3a，
∴x＝3
(x＝－3舍去)，
∴点E的坐标为(3
，3a)．
∴DE＝3
－，
∴＝＝3－.
三、21．解：设所求二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－1(a≠0)，
∵抛物线经过原点(0，0)，
∴a(0－1)2－1＝0，解得a＝1.
∴该函数的表达式为y＝(x－1)2－1，
即y＝x2－2x.
点拨：本题运用待定系数法解答．由于已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，因此可设所求二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－1(a≠0)，再把x＝0，y＝0代入函数表达式中确定a的值．
22．(1)证明：如图，连结OC.
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO＋∠OCB＝90°.
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠A＝∠BCD.
∴∠BCD＋∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°.
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，
∴OD＝＝5.
∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.
23．解：(1)这次被抽取的学生人数为2＋6＋12＋14＋18＋8＝60(人)．
(2)被抽取学生每周运动的时间的中位数是(8.2＋8.4)÷2＝8.3(时)．
(3)360×＝192(人)，即估计该校九年级全体学生每周运动的时间超过7.9小时的学生有192人．
24．解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，分别将x＝3.5，y＝2
800；x＝5.5，y＝1
200代入，得解得则y与x之间的函数表达式为y＝－800x＋5
600(3.5≤x≤5.5)．
(2)由题意，得(x－3)(－800x＋5
600)－800＝1
600，整理，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.∵3.5≤x≤5.5，
∴x＝4.
答：如果每天获得1
600元的利润，销售单价应为4元．
(3)设每天的利润为w元．由题意得w＝(x－3)(－800x＋5
600)－800＝－800x2＋8
000x－17
600＝－800(x－5)2＋2
400.∵3.5≤x≤5.5，∴当x＝5时，w有最大值，最大值为2
400.故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是2
400元．
25．(1)证明：连结OD.
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC.
∵CD∥AB，
∴∠AOC＝∠OCD，
∴∠AOC＝∠ODC.
在△AOP和△ODQ中，
∴△AOP≌△ODQ，
∴AP＝OQ.
(2)解：作PH⊥OA，垂足为点H，作OG⊥CD，垂足为点G.由题易得OH＝x，PH＝x，S△AOP＝3x.
∵CD∥AB，
∴△PFC∽△PAO，
∴＝＝，
即y＝.
∵AP延长线与CD相交于点F，
∴CF∵∠AOC＝∠OCQ，cos∠AOC＝，OA＝OC＝10，
∴CD＝2OC·cos∠OCQ＝16.
∵＝，
∴CF＝<16，
∴x>.
∴x的取值范围为(3)解：当∠POE＝90°时，
CQ＝＝12.5，
OP＝DQ＝CD－CQ＝3.5(舍去)；
当∠OPE＝90°时，则∠APO＝90°，
∴OP＝AO·cos
∠AOC＝8；
当∠OEP＝90°时，如图，
由(1)知△AOP≌△ODQ，
∴∠APO＝∠OQD，
∴∠AOQ＝∠OQD＝∠APO，
∵∠AOQ＜90°，∠APO＞90°(矛盾)，
∴此种情况不存在．
∴线段OP的长为8.
26．解：(1)A(－1，0)．
∵直线l经过点A，
∴0＝－k＋b，b＝k.
∴y＝kx＋k.
令ax2－2ax－3a＝kx＋k，
即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0.
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4.
∴＝－1×4，
∴k＝a.
∴直线l对应的函数表达式为y＝ax＋a.
(2)如图①，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F.
设E(x，ax2－2ax－3a)，
则F(x，ax＋a)．
∴EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a.
∵S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝
(ax2－3ax－4a)＝a(x－)2－a，
∴△ACE的面积的最大值为－a.
∵△ACE的面积的最大值为，
∴－a＝，解得a＝－.
(3)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形．
令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0，解得x1＝－1，x2＝4.
∴D(4，5a)．
∵y＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
设P(1，m)，①如图②，若AD是矩形的一条边，连结AP，则Q(－4，21a)，m＝21a＋5a＝26a，则P(1，26a)．
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2＋PD2＝AP2，
∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，
解得a2＝，
∵a＜0，∴a＝－，
∴P.
②如图③，若AD是矩形的一条对角线，连结PQ，则线段AD的中点坐标为，Q(2，－3a)．
又∵(－3a＋m)＝a，
∴m＝8a.
∴P(1，8a)．
∵四边形APDQ为矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2＋PD2＝AD2，
∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝(－1－4)2＋(5a)2，解得a2＝，
∵a＜0，∴a＝－.
∴P(1，－4)．
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为或(1，－4)．第26章达标检测卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列函数中是二次函数的是( )
A．y＝3x－1
B．y＝3x2－1
C．y＝(x＋1)2－x2
D．y＝
2．抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是( )
A．(2，1)
B．(0，1)
C．(1，0)
D．(1，2)
3．将二次函数y＝x2－2x＋4化成y＝a(x－h)2＋k的形式正确的是( )
A．y＝(x－1)2＋2
B．y＝(x－1)2＋3
C．y＝(x－2)2＋2
D．y＝(x－2)2＋4
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式为( )
A．y＝(x＋2)2＋2
B．y＝(x－2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2
D．y＝(x＋2)2－2
5．关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是( )
A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
6．点A(2.18，－0.51)、B(2.68，0.54)在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个近似解可能是( )
A．2.18
B．2.68
C．－0.51
D．2.45
7．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋b(a、b都不为0)的图象的相对位置可以是( )
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
下列说法正确的是( )
A．抛物线开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－
9．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是( )
A．600元
B．625元
C．650元
D．675元
10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是( )
A．－3＜P＜－1
B．－6＜P＜0
C．－3＜P＜0
D．－6＜P＜－3
二、填空题(每题3分，共30分)
11．二次函数y＝x2＋2x－4的图象的开口方向是________，对称轴是直线________，顶点坐标是____________．
12．函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝______；当1＜x＜2时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．
13．二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________．
14．如图，二次函数y＝x2－x－6的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．
15．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b，则M、N的大小关系为M________N．(填“＞”“＝”或“＜”)
16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．
17．如图是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4
m时，拱顶(桥洞的最高点)离水面2
m，当水面下降1
m时，水面的宽度为________．
18．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a＋b＝0；②a＋c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；④abc＞0.其中正确的结论是________(填写序号)．
19．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则＋的值为________．
20．如图，抛物线y＝ax2＋1(a＜0)与过点(0，－3)且平行于x轴的直线相交于点A、B，与y轴交于点C，若∠ACB为直角，则a＝________．
三、解答题(21题8分，22～25题每题10分，26题12分，共60分)
21．如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.
(1)求该二次函数的表达式，写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值．
22．已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0)，(－3m，0)(m≠0)．
(1)求证：4c＝3b2；
(2)若该函数图象的对称轴为直线x＝1，试求二次函数的最小值．
23．已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)．
(1)求该函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点O时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．
24．如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．
25．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．
(1)求y2的表达式；
(2)第几月销售这种水果，每千克所获得的利润最大？每千克所获得的最大利润是多少？
26．我们规定当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A、B时，线段AB称为该抛物线的“横截弦”，其长度记为d.
(1)已知抛物线y＝2x2－x－3，则d＝________；
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(1，0)，当d＝2时，求该抛物线所对应的函数表达式；
(3)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的交点为点A(1，0)、B，与y轴交于点D.
①抛物线恒存在“横截弦”，求c的取值范围；
②求d关于c的函数表达式；
③连结AD、BD，设△ABD的面积为S.当1≤S≤10时，请直接写出c的取值范围．
答案
一、1．B 2．B 3．B 4．B 5．D
6．D 7．A 8．D 9．B
10．B 点拨：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，∴0＝a－b＋c，－3＝c，
∴b＝a－3.∵当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c，∴P＝a＋b＋c＝a＋a－3－3＝2a－6.
∵抛物线顶点在第四象限，a＞0，
∴b＝a－3＜0，∴a＜3，
∴0＜a＜3，∴－6＜2a－6＜0，
即－6＜P＜0.故选B.
二、11．向上；x＝－1；(－1，－5)
12．－1；增大 13．7 14．15 15．＜
16．－1＜x＜3 17.2
m
18．①④ 19．－4
20．－ 点拨：设直线AB与y轴交于点D，则D(0，－3)．易知C(0，1)，∴CD＝4.易知△ABC为等腰三角形，又∠ACB＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形．∴AD＝BD＝CD＝4.∴B(4，－3)．把B(4，－3)的坐标代入y＝ax2＋1得16a＋1＝－3，解得a＝－.
三、21．解：(1)将A(－1，－1)，B(3，－9)的坐标分别代入y＝ax2－4x＋c，得解得
∴该二次函数的表达式为y＝x2－4x－6.
∵y＝x2－4x－6＝(x－2)2－10，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－10)．
(2)∵点P(m，m)在该函数的图象上，
∴m2－4m－6＝m.∴m1＝6，m2＝－1.
∴m的值为6或－1.
22．(1)证明：由题意，知m、－3m是一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得m＋(－3m)＝－b，m·(－3m)＝－c，∴b＝2m，c＝3m2.∴4c＝12m2，3b2＝12m2.∴4c＝3b2.
(2)解：由题意得－＝1，∴b＝－2.
由(1)得c＝b2＝×(－2)2＝3，
∴y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴二次函数的最小值为－4.
23．解：(1)设该函数的表达式为y＝a(x＋1)2＋4(a≠0)，将B(2，－5)的坐标代入得a＝－1，
∴该函数的表达式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.
(2)令x＝0，得y＝3，因此该函数图象与y轴的交点坐标为(0，3)．
令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，因此该函数图象与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)．
(3)设函数图象与x轴的交点为M、N(M在N的左侧)，由(2)知M(－3，0)，N(1，0)．
当函数图象向右平移直至经过原点O时，M与O重合，可知函数图象向右平移了3个单位，故A′(2，4)，B′(5，－5)，
如图，易知S△OA′B′＝×(2＋5)×9－×2×4－×5×5＝15.
24．解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1，0)，
∴0＝1＋m.∴m＝－1.
∴二次函数的表达式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3.
∴点C的坐标为(0，3)，
抛物线的对称轴为直线x＝－2.
又∵点B、C关于对称轴对称，
∴点B的坐标为(－4，3)．
∵y＝kx＋b经过点A、B，
∴解得
∴一次函数的表达式为y＝－x－1.
(2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围为x≤－4或x≥－1.
25．解：(1)由题意得，函数y2＝mx2－8mx＋n的图象经过点(3，6)，(7，7)，
∴解得
∴y2＝x2－x＋(1≤x≤12，且x是整数)．
(2)设y1＝kx＋b.
∵函数y1＝kx＋b的图象过点(4，11)，(8，10)，
∴解得
∴y1＝－x＋12(1≤x≤12，且x是整数)．
设这种水果每千克所获得的利润为w元，
则w＝y1－y2＝－＝－x2＋x＋.
∴w＝－(x－3)2＋(1≤x≤12，且x是整数)．
∴当x＝3时，w取最大值，最大值为.
∴第3月销售这种水果，每千克所获得的利润最大，每千克所获得的最大利润是元．
26．解：(1)
(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(1，0)，d＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－1，0)或(3，0)，
将A(1，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋2，得a＋b＝－2，将(－1，0)代入y＝ax2＋bx＋2，得a－b＝－2，将(3，0)代入y＝ax2＋bx＋2，得9a＋3b＝－2.由得
由得
∴y＝－2x2＋2或y＝x2－x＋2.
(3)将A(1，0)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c得b＋c＝1，∴y＝－x2＋(1－c)x＋c.令y＝0，得－x2＋(1－c)x＋c＝0，∴x1＋x2＝1－c，x1·x2＝－c.
①∵抛物线恒存在“横截弦”，∴Δ＝(1－c)2＋4c＝c2＋2c＋1＝(c＋1)2＞0，
∴c≠－1.
②d＝|x1－x2|＝＝＝|c＋1|，当c＞－1时，d＝c＋1；当c＜－1时，d＝－c－1.
③－5≤c≤－2或1≤c≤4.第28章达标检测卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．以下问题，不适合用普查的是( )
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
2．为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，下列抽取方法最合适的是( )
A．随机抽取100位女性老人
B．随机抽取100位男性老人
C．随机抽取公园内100位老人
D．在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人
3．今年某市有30
000名考生参加中考，从中抽取1
000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是( )
A．每名考生的数学成绩是个体
B．30
000名考生是总体
C．这1
000名考生是总体的一个样本
D．1
000名考生是样本容量
4．为了解我区七年级2
800名学生的视力情况，从中抽查了100名学生的视力进行统计分析，下列说法正确的是( )
A．2
800名学生是总体
B．样本容量是100名学生
C．每名学生是总体的一个样本
D．100名学生的视力是总体的一个样本
5．从如图所示的两个统计图来看，车间生产的合格品的情况为( )
A．甲车间多
B．乙车间多
C．一样多
D．不能确定
6．为了解某校学生今年“五一”期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制如图所示的频数直方图，已知该校共有
1
000名学生，据此估计，该校“五一”期间参加社团活动时间在8
h～10
h之间的学生数大约是( )
A．280
B．240
C．300
D．260
7．为了了解某市6
000名学生参加初中毕业会考数学考试的成绩情况，从中抽取了200名考生的数学会考成绩进行统计．在这个问题中，下列说法：①这6
000名学生的数学会考成绩的全体是总体；②每名考生是个体；③200名考生是总体的一个样本；④样本容量是200.其中正确的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
8．某市关心下一代工作委员会为了了解全市九年级学生的视力状况，从全市30
000名九年级学生中随机抽取了500名进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100名，则可估计全市30
000名九年级学生中视力不良的有( )
A．100名
B．500名
C．6
000名
D．15
000名
9．下面是利群超市今年5月份中连续七天的利润情况记录：(单位：万元)
日期
14日
15日
16日
17日
18日
19日
20日
当日利润
0.20
0.17
0.23
0.21
0.23
0.18
0.25
可估计利群超市这一个月的利润是( )
A．6.51万元
B．6.42万元
C．1.47万元
D．5.88万元
10．某校为了了解全校学生对“智能武汉”的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信息进行了统计，绘制了如图所示的尚不完整的统计图．
根据以上信息，下列判断：①参加问卷调查的学生有50人；②参加问卷调查的学生中，“基本了解”的有10人；③扇形图中“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是108°；④在参加问卷调查的学生中，“了解”的学生占10%，其中结论正确的序号是( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题(每题3分，共30分)
11．为了解某校学生一周参加课外活动的时间，调查了其中20名学生一周参加课外活动的时间，这个问题中的总体是____________________________，样本是_________________________________________________________．
12．妈妈做了一份菜品，为了解菜品的咸淡是否合适，妈妈取了一点品尝，这应该属于________．(填“普查”或“抽样调查”)
13．小芳从编号为1～200的总体中抽取10个个体组成一个样本，编号依次是：21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，你认为她选取的这个样本____________随机性．(填“具有”或“不具有”)
14．“手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因．随机选择150人进行调查，有99人有此习惯．据此调查，有“手机阅读”习惯的约占________%.
15．某出租车公司在“五一”期间平均每天的营业额为5万元，由此推断该出租车公司5月份的总营业额约为5×31＝155(万元)，根据所学的统计知识，你认为这样的推断__________．(填“合理”或“不合理”)
16．秋季新学期开学时，某中学对七年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制成了不完整的统计表，则c＝________.
分数段
频数
频率
60≤x＜70
6
a
70≤x＜80
20
0.4
80≤x＜90
15
b
90≤x≤100
0.18
17．某学校计划开放A、B、C、D四门校本课程供学生选修，规定每名学生必须并且只能选修其中一门．为了了解学生的选
修意向，现随机抽取了部分学生进行调查，并
将调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已
知该校学生人数为2
000人，由此估计选修A
课程的学生有________人．
18．为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年六月份的全市中学生实验操作竞赛，赛前1月～5月每个月对他们的实验水平进行一次测试．甲的成绩(单位：分)分别为65，80，80，85，90；乙的成绩(单位：分)分别为75，90，83，76，80.如果你是辅导老师，应选派学生________参加这次竞赛．
19．某校征集校运会会徽图案，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中有60名学生喜欢甲图案，若该校共有学生2
000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有________人．
20．为了估计某市的空气质量情况，某同学在30天里的记录如下表：
污染指数w
40
60
80
100
120
140
天数
3
5
10
6
5
1
其中w<50时空气质量为优，50≤w≤100时空气质量为良，100三、解答题(21、22题每题10分，23、24题每题12分，25题16分，共60分)
21．为了解同学们对教师授课情况的满意程度，教导主任召集全校各班的学习委员开座谈会了解他们的看法，你认为这样的抽样调查合适吗？为什么？
22．为了调查某市噪声污染情况，该市生态环境局随机抽样调查了40个噪声测量点的噪声声级(单位：dB)，结果如下(每组含起点值，不含终点值)：
(1)在噪声最高的测点，其噪声声级所在范围是________dB～________dB；
(2)若噪声声级低于65
dB，则噪声污染情况为轻度污染(否则为中重度污染)，试估计该市噪声污染情况．
23．为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．
组别
身高x(cm)
A
x<150
B
150≤x＜155
C
155≤x＜160
D
160≤x＜165
E
x≥165
根据图表中提供的信息，回答下列问题：
(1)在样本中，男生身高的中位数落在________组(填组别序号)，女生身高
在B组的人数是_______________________________________________；
(2)在样本中，身高在150≤x＜155之间的共有________人，身高人数最多
的是________组(填组别序号)；
(3)已知该校共有男生500人、女生480人，请估计身高在155≤x＜165之
间的学生有多少人？
24．本学期初，某校开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校九年级学生四月份阅读该主题相关书籍的读书量(下面简称“读书量”)进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”(单位：本)进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)
补全下面两幅统计图，本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为
________；
(2)求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数．
(3)已知该校九年级有1
200名学生，请你估计该校九年级学生中四月份
“读书量”为5本的学生人数．
25．某校有2
000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了150名学生进行抽样调查．整理样本数据，得到如下频数分布表和扇形统计图(如图①)：
(1)理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由．
(2)根据抽样调查的结果，将估计出的全校2
000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图(补充在图②中)．
(3)该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议，如：骑车上学的学生人数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地．请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议：_________
_______________________________________________________.
答案
一、1．D 点拨：当调查对象数目较大，而且普查没有意义时选择用抽样调查．
2．D 3．A 4．D 5．D 6．A 7．C 8．C
9．A 点拨：先算出这七天平均每天的利润：(0.20＋0.17＋0.23＋0.21＋0.23＋0.18＋0.25)÷7＝0.21(万元)，则这一个月的利润大约为0.21×31＝6.51(万元)．
10．C
二、11．某校学生一周参加课外活动的时间；其中20名学生一周参加课外活动的时间
12．抽样调查
13．不具有 点拨：抽取的编号为连续的自然数，故不具有随机性．
14．66
15．不合理 点拨：样本的选取不具有代表性．
16．9 17.800 18．甲 19．1
200
20．292 点拨：30天中达到良以上(含良)的天数为3＋5＋10＋6＝24(天)，设一年中达到良以上(含良)的有x天，根据题意得＝，解得x＝292.
三、21．解：不合适，因为所选取的样本不具有代表性．
22．解：(1)75；80
(2)∵×100%＝×100%＝35%，1－35%＝65%.
∴该市约35%的地区噪声污染情况为轻度污染，约65%的地区噪声污染情况为中重度污染．
23．解：(1)D；12
(2)16；C
(3)500×＋480×(30%＋15%)＝541(人)．
答：身高在155≤x＜165之间的学生约有541人．
24．解：(1)补全统计图如图：
本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为3本．
(2)平均数为
＝3(本)．
(3)四月份“读书量”为5本的学生人数为1
200×10%＝120(名)．
25．解：(1)不合理，因为如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样抽取的学生不具有代表性，结果比较片面，所以这样的抽样不合理．
(2)步行的人数为2
000×10%＝200(名)，骑车的人数为2
000×34%＝680(名)，
乘公共交通工具的人数为2
000×30%＝600(名)，乘私家车的人数为
2
000×20%＝400(名)，选择其他方式的人数为2
000×6%＝120(名)，绘制条形统计图如图所示．
某校2
000名学生上学方式条形统计图
(3)为了节约和保护环境，请尽量不要乘坐私家车上学(答案不唯一)第27章达标检测卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O外
B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上
D．无法确定
2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )
A．8
B．4
C．10
D．5
3．下列说法正确的是( )
A．三点确定一个圆
B．一个三角形只有一个外接圆
C．若点P到圆心O的距离为8
cm，圆O的直径为8
cm，则点P在圆O上
D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
4．如图，在⊙O中，CD⊥AB，则下列结论中正确的是( )
A．AC＝AB
B．∠C＝∠BOD
C．∠C＝∠B
D．∠A＝∠BOD
5．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠A＝30°，则⊙O的半径是( )
A．1
B．2
C.
D.
6．如图，BD为⊙O的直径，直线ED为⊙O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于点F.若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数是( )
A．97°
B．104°
C．116°
D．142°
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2，以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则的长为( )
A．
B．
C．π
D．2π
8．如图，△ABC内接于⊙O，D为BC上一点，E、F分别为AD、CD的中点．若⊙O的半径为1，则sin
∠ABC的值为( )
A．AD
B．AC
C．EF
D．CD
9．已知AC⊥BC于点C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则下列选项中⊙O的半径为的是( )
10．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切……按这样的规律进行下去，正六边形A10B10C10D10E10F10的边长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每题3分，共30分)
11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是________．
12．如图，已知⊙O的半径为3，点O到l的距离OA＝5，将直线l沿射线AO方向平移m个单位时，⊙O与直线l相切，则m＝________．
13．如图，AD为⊙O的直径，AD＝6
cm，∠DAC＝∠ABC，则AC＝________．
14．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．
15．如图，点P在半径为3的⊙O内，OP＝，点A为⊙O上一动点，弦AB过点P，则AB最长为________，AB最短为________．
16．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，直线EF也是⊙O的切线，Q是切点，交PA、PB于点E、F.若∠APB＝50°，则∠EOF的度数为________．
17．一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为________．
18．太极是中国文化史上的一个重要概念．如图所示的太极图是以大圆半径OB、OA为直径分别向左、向右作两个半圆而成．若AB＝10
cm，记、、的长分别为l1、l2、l3，则l1＋l2＋l3＝________cm.
19．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径是7，则GE＋FH的最大值是________．
20．如图，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND；②＝＝；③四边形MCDN是正方形；④MN＝AB，其中正确的是________．(填序号)
三、解答题(21、22题每题8分，23、24题每题10分，25、26题每题12分，共60分)
21．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连结DE、BE.
(1)若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数；
(2)若OC＝3，OA＝5，求AB的长．
22．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D.已知⊙O的半径为6，∠C＝40°.
(1)求∠B的度数；
(2)求的长(结果保留π)．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)判断四边形AOCD是否为菱形，并说明理由．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC＝3，∠B＝30°，
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．(结果保留根号和π)
25．如图，一拱形桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．
(1)求桥拱的半径；
(2)现有一艘宽60米，顶部截面为长方形且高出水面9米的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．
26．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连结DA、DC.已知半圆O的半径为3，BC＝2.
(1)求AD的长；
(2)点P是线段AC上一动点，连结DP，作∠DPF＝∠DAC，PF交线段CD于点F.当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．
答案
一、1．A 2．D 3．B 4．B
5．A 点拨：本题运用数形结合思想，如图，过点B作直径BB′，连结B′C，则∠B′＝30°，∠B′CB＝90°，∴BC＝B′B，则B′B＝2×1＝2，故⊙O的半径是1.
6．C
7．B 点拨：如图，连结OD、OE.设⊙O的半径为r.∵⊙O分别与AB、AC相切于D、E两点，∴OE⊥AC，OD⊥AB.∵∠A＝90°，∴∠DOE＝90°，OD∥AC.∵点O是BC的中点，∴OD是△ABC的中位线．∴OD＝AC.∴AC＝2r.同理可得AB＝2r.又∵∠A＝90°，AB＝AC.∴∠B＝45°，∵BC＝2，∴由勾股定理可得AB＝2，∴r＝1.∴的长为＝，故选B.
8．C
9．A 点拨：选项A中，如图，设⊙O的半径是x，⊙O切AC于点E，切BC于点D，切AB于点F，连结OD、OE，则四边形OECD是正方形，AE＝AF，BD＝BF，则a－x＋b－x＝c，解得x＝，故A正确．选项B中，⊙O的半径r1满足＝，∴r1＝.选项C中，⊙O的半径r2满足＝，∴r2＝.选项D中，⊙O的半径r3满足a＋r3＝c＋b－r3，
∴r3＝.故选A.
10．D 点拨：∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2＝，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆的半径为，则正六边形A2B2C2D2E2F2的边长为＝.
同理，正六边形A3B3C3D3E3F3的边长为＝……
正六边形AnBnCnDnEnFn的边长为.当n＝10时，正六边形A10B10C10D10E10F10的边长为＝＝＝，故选D.
二、11．150°
12．2或8
13．3
cm
14．8或10 15．6；2 16．65°
17．15π 18．10π 19．10.5
20．①②④ 点拨：连结OM、ON，易证Rt△OMC≌Rt△OND，可得MC＝ND，故①正确．在Rt△MOC中，CO＝MO，得∠CMO＝30°，所以∠MOC＝60°，易得∠MOC＝∠NOD＝∠MON＝60°，所以＝＝.故②正确．易得CD＝AB＝OA＝OM，因为MC＜OM，所以MC＜CD.所以四边形MCDN不是正方形．故③错误．易得MN＝CD＝AB，故④正确．
三、21．解：(1)∵OD⊥AB，∴＝.
∴∠DEB＝∠AOD＝30°.
(2)在Rt△AOC中，OC＝3，OA＝5，由勾股定理得AC＝4.
∴AB＝2AC＝8.
22．解：(1)∵AC切⊙O于点A，
∴∠BAC＝90°.
∵∠C＝40°，∴∠B＝50°.
(2)如图，连结OD.∵∠B＝50°，
∴∠AOD＝2∠B＝100°，
∴的长为＝π.
23．(1)证明：如图所示，连结AC，
∵点C、D是半圆O的三等分点，
∴＝＝，∴∠DAC＝∠CAB.
∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，∴AE∥OC.
∴∠OCE＋∠E＝180°.
∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，
∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线．
(2)解：四边形AOCD为菱形．理由如下：
∵＝，∴∠DCA＝∠CAB，
∴CD∥OA.
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形．
∵OA＝OC，
∴平行四边形AOCD是菱形．
24．解：(1)相切．理由如下：
如图，连结OD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
∵OA＝OD，∴∠1＝∠3.
∴∠2＝∠3.
∴OD∥AC.
又∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC.
又∵点D在⊙O上，
∴BC与⊙O相切．
(2)①设⊙O的半径为r.
∵AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6.
又∵OA＝OD＝r，∴OB＝2r.
∴2r＋r＝6，解得r＝2，即⊙O的半径是2.
②由①得OD＝2，OB＝4，则BD＝2
，又易知∠DOE＝60°，则S阴影＝
S△OBD－S扇形DOE＝×2
×2－＝2
－.
25．解：(1)如图，设点E是桥拱所在圆的圆心．
过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交⊙E于点C，连结AE，
则CF＝20米．由垂径定理知，F是AB的中点，
∴AF＝FB＝AB＝40米．设圆的半径是r米，由勾股定理，
得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，
即r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50.
∴桥拱的半径为50米．
(2)这艘轮船能顺利通过．理由如下：如图，设MN＝60米，MN∥AB，
EC与MN的交点为D，连结EM，
易知DE⊥MN，
∴MD＝30米，
∴DE＝＝＝40(米)．
∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(米)，
∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(米)．
∵10米>9米，
∴这艘轮船能顺利通过．
26．解：(1)如图①，连结OD，
∵OA＝OD＝OB＝3，BC＝2，
∴AC＝8，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝AC＝4，
∴OE＝AE－OA＝1，
在Rt△ODE中，DE＝＝2，
在Rt△ADE中，AD＝＝2.
(2)①当DP＝DF时，如图②，点P与点A重合，点F与点C重合，则AP＝0；
②当PF＝DF时，如图③，则∠FDP＝∠FPD，
∵∠DPF＝∠DAC＝∠C，
∴△DAC∽△PDC，
∴＝，即＝，
∴AP＝5；
③当DP＝PF时，如图④，则∠CDP＝∠PFD，
∵∠DPF＝∠DAC，
∴∠DPF＝∠C，
∵∠DFP＝180°－∠PDF－∠DPF，∠CPD＝180°－∠C－∠CDP，
∴∠DFP＝∠DPC，
∴∠CDP＝∠CPD，
∴CP＝CD，
∴AP＝AC－CP＝AC－CD＝AC－AD＝8－2.
综上所述，当△DPF为等腰三角形时，AP的长为0或5或8－2.
