(共35张PPT)
HS版九年级下
27．1.2 圆的对称性
第27章
圆
第2课时 垂直于弦的直径性质
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1．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连结BC、DB，则下列结论不一定正确的是( )
A．AD＝BD
B．AF＝BF
C．OF＝CF
D．AC＝BC
︵
︵
︵
︵
【点拨】∵DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴点D是优弧ADB的中点，点C是劣弧ACB的中点，且AF＝BF，故选项A，B，D一定正确；无法证明OF＝CF，故选C.
【答案】C
2．【2020·滨州】在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为( )
A．6
B．9
C．12
D．15
C
B
【答案】C
5.【中考·嘉兴】如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．
C
7．如图，若AN＝BN，MN为⊙O的直径，则下列结论：①AC＝BC；②MN⊥AB；③AM＝BM；④ON＝AB.其中一定正确的结论有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
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︵
【点拨】垂径定理包含这样一个推论：“平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧”，故①②③一定都正确，④不一定正确．
【答案】B
8.【2020?宁夏】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形
木材，埋在墙壁中(如图)，不知其
大小．
用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺(1尺＝10寸)．这根圆柱形木材的直径是________寸．
设半径OA＝OE＝r寸，
∵ED＝1寸，∴OD＝(r－1)寸．
【答案】26
在Rt△OAD中，根据勾股定理可得(r－1)2＋52＝r2，解得r＝13.∴木材的直径为26寸．
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝BE.其中一定正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
︵
︵
正解：C
错解：D
诊断：根据垂径定理，可知①②③一定正确；因为CD不一定平分OB，所以④不一定正确．本题的易错之处是对垂径定理理解不透，并且因图形画得比较特殊，容易误认为CD平分OB.
10．【中考·湖州】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D(如图)．
(1)求证：AC＝BD；
证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
11．如图，D是⊙O的弦BC的中点，A是⊙O上一点，OA与BC
交于点E，已知AO＝8，BC＝12.
(1)求线段OD的长；
(1)求AB的长；
(2)求⊙O的半径．
13．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80
m处有一所学校A.当重型运输卡车P沿公路ON方向行驶时，在以P为圆心，50
m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．
若该重型运输卡车P沿公路ON
方向行驶的速度为18
km/h.
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
解：如图，过点A作AD⊥ON于点D.
∵∠NOM＝30°，AO＝80
m，
∴AD＝40
m，即对学校A的噪声影
响最大时卡车P与学校A的距离为40
m.
(2)求卡车P沿公路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．(共22张PPT)
HS版九年级下
阶段核心技巧
构造圆的基本性质的基本图形的六种常用作辅助线的技巧
第27章
圆
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1．【2020?临沂】如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°.点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点，则∠CED的大小可能是( )
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
︵
【点拨】如图，连结AE、OD、OE.
∵∠AOC＝80°，∴∠BOC＝100°，∠AEC＝40°.
又∵∠CED＜∠AEC＝40°，
∴20°＜∠CED＜40°.
故选C.
【答案】C
D
3．如图，在⊙O中，OA、OB为⊙O的半径，点C为优弧AB的中点，AD＝BE，求证：CD＝CE.
证明：如图，连结OC.
∵点C为优弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC.
4．如图，点A，B，C是⊙O的三等分点．
(1)求∠AOB的度数；
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(2)若AO＝4，求AB的长及△ABC的面积．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连结AO.
(1)求证：∠BAD＝∠CAO；
证明：如图，延长AO交⊙O于点E，连结CE，∴∠ACE＝90°.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∴∠ACE＝∠ADB.
又∵∠B＝∠E，
∴∠BAD＝∠CAO.
(2)若∠B＝60°，AC＝6，求OA的长．
(1)四边形EBFD是矩形；
证明：如图，连接BD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°.
∴BD为⊙O的直径．
∴∠BED＝∠BFD＝90°.
∵DF∥BE，
∴∠EBF＝180°－∠DFB＝90°.
∴∠BED＝∠EBF＝∠BFD＝90°.
∴四边形EBFD是矩形．
(2)DG＝BE.
又∵四边形BEDF是矩形，
∴∠EDF＝90°，BE＝DF.
∴∠DGF＝90°－∠DFG＝45°＝∠DFG.
∴DG＝DF，即DG＝BE.(共40张PPT)
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27．3 圆中的计算问题
第27章
圆
第3课时 用三角函数解圆中的
计算问题
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一、选择题
D
C
A
∵AB＝AC＝OA＝OC＝OB，∴四边形ABOC是菱形，所以④正确，故选B.
【答案】B
5．【中考·黔东南州】如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.
二、填空题
6．【中考·玉林】如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos
E＝________.
7．【中考·泰安】如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cos
C的值为________．
8．【中考·荆州】如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝________.
【点拨】利用圆周角的性质，以及三角函数的定义即可解决．
9．【2020·北京】如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.
(1)求证：∠ADC＝∠AOF；
三、解答题
证明：连结OD，如图所示．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴AD⊥BD.
∵OF⊥AD，∴OF∥BD.∴∠AOF＝∠B.
∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴∠CDO＝90°.
∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°.
∴∠CDA＝∠BDO.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B.
∴∠ADC＝∠AOF.
10．【2020·陕西】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连结AO
并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C
作⊙O的切线，与BA的延长线
相交于点E.
(1)求证：AD∥EC；
证明：连结OC，如图所示．
∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°.
∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°.
∵∠AOC＋∠OCE＝180°，∴AD∥EC.
(2)若AB＝12，求线段EC的长．
解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于点F，
∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°.
∴∠ADB＝∠ACB＝60°.
11．【中考·广安】如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.
(1)求证：∠PCA＝∠ABC.
证明：连结OC.
∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠PCA＋∠OCA＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠OCB＋∠OCA＝90°.
∴∠PCA＝∠OCB.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC.
∴∠PCA＝∠ABC.
12．【中考·随州】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF.
(1)求证：BF是⊙O的切线．
证明：连结AE，如图．
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°，AE⊥BC.
∵AB＝AC，∴2∠1＝∠BAC.
又∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠1＝∠CBF.
∴∠CBF＋∠2＝90°，即∠ABF＝90°.∴AB⊥BF.
∵AB是⊙O的直径，
∴BF是⊙O的切线．
解：过点C作CH⊥BF于点H，如图.
13．【中考·广安】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的
外接圆⊙O交AC于点F，连结EF.
(1)求证：BC是⊙O的切线．
证明：∵ED⊥AD，
∴∠EDA＝90°.
∴AE是⊙O的直径．
∴AE的中点是圆心O.
如图，连结OD，则OA＝OD，
∴∠1＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠2＝∠1＝∠ODA.∴OD∥AC.
∴∠BDO＝∠ACB＝90°，∴BC⊥DO.
∴BC是⊙O的切线．
(2)求⊙O的半径r及∠3的正切值．(共33张PPT)
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27．2 与圆有关的位置关系
第27章
圆
27．2.1 点与圆的位置关系
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1．【中考·宜昌】在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为( )
A．E、F、G
B．F、G、H
C．G、H、E
D．H、E、F
A
当BP最大时，OQ最大．
而BP过圆心C时，BP最大，
即点P运动到P′位置时，BP最大．
【答案】C
3．下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( )
A．三个点一定能确定一个圆
B．以已知线段为半径能确定一个圆
C．以已知线段为直径能确定一个圆
D．菱形的四个顶点能确定一个圆
C
4．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
5．下列说法中，真命题的个数是( )
①任何三角形有且只有一个外接圆；
②任何圆有且只有一个内接三角形；
③三角形的外心不一定在三角形内；
④三角形的外心到三角形三边的距离相等；
⑤经过三点确定一个圆．
A．1
B．2
C．3
D．4
B
6．【中考·河北】如图，AC、BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
B
D
8.【中考·广元】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是________．
【点拨】过点O作OM⊥AC于点M，延长MO交⊙O于点P，
则此时点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值为PM.
【点拨】由题意可得，存在两种情况，当△ABC为钝角三角形时，如图中的△A1BC，
当△ABC为锐角三角形时，
如图中的△A2BC.
连结A1A2，交BC于D.∵A1B＝A1C，A2B＝A2C，
∴A1A2垂直平分BC.∴A1A2为⊙O的直径，BD＝CD＝1.
∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形．∴OB＝OC＝BC＝2.
【答案】C
10．【中考·临沂】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠BAE.
︵
︵
∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，
∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB.
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆的半径．
解：连结CD，如图所示．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD.∴CD＝BD＝4.
︵
︵
11．【中考·台州】如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B、C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°.∴∠AEP＝∠ABP＝45°.
∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°.
∴AP＝AE.∴△APE是等腰直角三角形．
(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
解：如图，作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，
易得四边形PMAN是矩形，
∴PM＝AN，易知△PCM，
△PNB都是等腰直角三角形．
12．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，弦CE⊥AB于点F，C是AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、
BC于点P、Q，
求证：点P是△ACQ的外心．
︵
证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.
∵AB⊥CE，AB是直径，∴AC＝AE.
︵
︵
又∵AC＝CD，∴CD＝AE.∴∠CAP＝∠ACP.
∴AP＝PC.又∠QCP＋∠ACP＝∠CAP＋∠CQP＝90°，
∴∠PCQ＝∠CQP.∴CP＝PQ.
∴CP＝AP＝PQ，即点P是△ACQ的外心．
︵
︵
︵
︵
13．已知：⊙O是正三角形ABC的外接圆．
(1)如图①，若PC为⊙O的直径，连结AP、BP，
求证：AP＋BP＝PC；
证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴∠APC＝∠BPC＝60°.
(2)如图②，若点P是弧AB上任意一点，连结AP、BP、CP，那么结论AP＋BP＝PC还成立吗？试证明你的结论．
解：成立．证明：如图，在PC上取一点D，使PD＝PA，连结AD.
∵∠APD＝∠ABC＝60°，∴△APD为等边三角形．
∴AP＝AD，∠PAD＝60°.
又∵∠BAC＝60°，∴∠PAB＝∠DAC.
又∵AP＝AD，AB＝AC，∴△APB≌△ADC.
∴PB＝DC.∴AP＋BP＝PD＋DC＝PC.(共38张PPT)
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27．1.3 圆周角
第27章
圆
第2课时 圆周角和圆心角、弧的关系
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1．【中考·宜昌】如图，点A、B、C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是( )
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
A
2．【中考?贵港】如图，AD是⊙O的直径，AB＝CD，若∠AOB＝40°，则∠BPC的度数是( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
B
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3．【中考·吉林】如图，在⊙O中，AB所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为AB上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为( )
A．30°
B．45°
C．55°
D．60°
B
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C
5．【中考·广州】如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连结CO、AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( )
A．AD＝2OB
B．CE＝EO
C．∠OCE＝40°
D．∠BOC＝2∠BAD
D
【点拨】连结OC，由题意知圆心O到弦CD的距离为OE的长度，由圆周角定理知∠COB＝2∠CDB＝60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求出OE的长度．
【答案】A
7.【2020·杭州】如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A、点C重合)，BD与OA交于点E.设∠AED＝α，∠AOD＝β，则( )
A．3α＋β＝180°
B．2α＋β＝180°
C．3α－β＝90°
D．2α－β＝90°
【点拨】∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°.
∴∠DBC＝90°－∠BEO＝90°－∠AED＝90°－α.
∴∠COD＝2∠DBC＝180°－2α.
∵∠AOD＋∠COD＝90°，
∴β＋180°－2α＝90°，
∴2α－β＝90°.
【答案】D
8．下列结论正确的是( )
A．直径所对的角是直角
B．90°的圆心角所对的弦是直径
C．同一条弦所对的圆周角相等
D．半圆所对的圆周角是直角
D
9．【中考?台州】从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判定圆弧为半圆的是( )
B
【答案】D
【点拨】因为直径AB垂直于弦CD，所以CE＝DE.
因为∠A＝22.5°，所以∠COE＝45°.
【答案】A
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C、P两点；
②连结BP.
线段BP就是所求作的线段．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
解：如图即为补全的图形．
∠BPC
圆周角的度数等于它所对弧上
的圆心角度数的一半．
13．如图，已知ED为⊙O的直径且ED＝4，点A(不与E、D重合)为⊙O上一个动点，线段AB经过点E，且EA＝EB，F为⊙O上一点，∠FEB＝90°，BF的延长线与AD的延长线交于点C.
(1)求证：△EFB≌△ADE；
证明：如图，连结FA.
∵∠FEB＝90°，∴EF⊥AB.
∴∠FEA＝90°.
∵BE＝AE，∴BF＝AF.
∵∠FEA＝90°，
∴AF是⊙O的直径．∴AF＝DE.∴BF＝ED.
(2)当点A在⊙O上移动时，请直接写出四边形FCDE的最大面积为多少．
解：四边形FCDE的最大面积＝4×2＝8.
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB的延长线相交于点E，连结BD.
(1)求证：∠COE＝2∠BDE；
证明：如图，连结AC.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.
∵∠EOC＝∠A＋∠OCA，
∴∠EOC＝2∠A.
∵∠A所对的弧为BC，
∠CDB所对的弧为CAB，
∴∠A＋∠CDB＝180°.
又∵∠CDB＋∠EDB＝180°，
∴∠A＝∠EDB，∴∠COE＝2∠BDE.
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(2)当OB＝BE＝2，且∠BDE＝60°时，求tan
E.
解：如图，作CF⊥OA于点F.
∵∠BDE＝60°，
∴∠EOC＝120°，
∴∠A＝∠OCA＝60°，
∴∠COF＝60°.
(1)求线段AB的长及∠ABO的大小；
(2)在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．
解：存在．如图，作OB的垂直平分线MN，交⊙C于点M、N，交OB于点D，连结OM、BM、ON、BN.易知MN过点C，即MN是⊙C的直径，
∵MN垂直平分OB，
∴△OBM、△OBN都是等腰三角形．
∴点M、N均符合点P的要求．
∵MN是⊙C的直径，∴∠MON＝90°.
∵∠BMO＝∠BAO＝60°，
∴△OBM是等边三角形．
∴∠BOM＝60°.∴∠BON＝30°.
故存在符合条件的P点，∠BOP的度数为60°或30°.(共38张PPT)
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27．3 圆中的计算问题
第27章
圆
第2课时 圆锥的侧面积和表面积
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A
2．【中考·西藏】如图，从一张腰长为90
cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的底面半径为( )
A．15
cm
B．12
cm
C．10
cm
D．20
cm
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【点拨】连结OD交AC于点M，如图．
【答案】D
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5．【中考·云南】一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆形，则该圆锥的全面积是( )
A．48π
B．45π
C．36π
D．32π
A
6．【中考·宁波】如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝6
cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( )
A．3.5
cm
B．4
cm
C．4.5
cm
D．5
cm
B
【答案】D
错解：B
诊断：误认为以斜边所在的直线为轴将直角三角形旋转一周所形成的几何体的表面积是两个共底面的圆锥的侧面积与一个底面积之和．
正解：C
(1)圆锥的母线长与底面半径之比；
解：设此圆锥的底面半径为r
cm，母线长AB＝l
cm.
∵2πr＝πl，
∴l＝2r，即l：r＝2：1.
∴圆锥的母线长与底面半径之比为2：1.
(2)∠BAC的度数；
解：由(1)知AB＝AC＝2BO＝2CO.
∴AB＝AC＝BC.
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝60°.
(3)圆锥的侧面积．(结果保留π)
10．【中考·邵阳】如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F.
︵
(1)求由弧EF及线段FC，CB，BE围成图形(图中阴影部分)的面积；
解：∵在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
︵
(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.
11．【中考·襄阳】如图所示，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，
点C落在点A处．再将线段FA
绕点F顺时针旋转90°得线段
FG，连结EF，CG.
(1)求证：EF∥CG；
证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°，
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△BFA，
∴△ABF≌△CBE.∴∠FAB＝∠ECB，
∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝CE.
∴∠AFB＋∠FAB＝90°.
∵线段FA绕点F顺时针旋转90°得线段FG，
∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°.
∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB.∴EC∥FG.
∵AF＝CE，AF＝FG.∴EC＝FG.
∴四边形EFGC是平行四边形．
∴EF∥CG.
︵
︵
(1)当⊙O的半径为2时，求这个扇形(阴影部分)的面积．(结果保留π)
解：如图，连结AO并延长，分别交扇形ABC，⊙O于点E，F.
︵
︵
(2)当⊙O的半径为R(R＞0)时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．
【点拨】本题的难点在于第(2)问，解决问题的关键是找到剩下的余料中所能剪出的最大圆并求其周长，再与扇形的弧长比较大小来判断．(共35张PPT)
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27．2.2 直线与圆的位置关系
第27章
圆
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见习题
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1．在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为(－3，4)，以半径r在坐标平面内作圆．
(1)当r满足________时，⊙O与坐标轴有1个交点；
【点拨】当⊙O和y轴相切时，⊙O与坐标轴有1个交点，此时r＝3.
r＝3
(2)当r满足____________时，⊙O与坐标轴有2个交点；
【点拨】当⊙O和y轴相交，且和x轴相离时，⊙O与坐标轴有2个交点，此时3＜r＜4.
3＜r＜4
(3)当r满足______________时，⊙O与坐标轴有3个交点；
【点拨】当⊙O和y轴相交且和x轴相切或⊙O经过原点时，⊙O与坐标轴有3个交点，此时r＝4或5.
r＝4或r＝5
(4)当r满足___________时，⊙O与坐标轴有4个交点．
【点拨】当⊙O和x轴，y轴都相交且不经过原点时，⊙O与坐标轴有4个交点，此时r＞4且r≠5.
r＞4且r≠5
2．如图，已知两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的长的取值范围是( )
A．8≤AB≤10
B．8＜AB≤10
C．4≤AB≤5
D．4＜AB≤5
A
3．已知⊙O的面积为9π
cm2，若圆心O到直线的距离为
3
cm，则直线与⊙O的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不能确定
A
4．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则正确反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
B
5．已知⊙O的半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A．相切
B．相交
C．相切或相离
D．相切或相交
D
6．【中考·广州】平面内，⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为( )
A．0
B．1
C．2
D．无数
C
【点拨】∵⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，∴点P在⊙O外，∴过点P可作⊙O的切线为2条．故选C.
7．已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列结论：
①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；
③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；
⑤若d＜1，则m＝4.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．5
C
∴A(－4，0)，B(0，－3)．
∴OA＝4，OB＝3.∴AB＝5.
设⊙P与直线AB相切于D，
连结PD，如图，则PD⊥AB，PD＝1.
9．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为________________.
【点拨】本题分四种情况．
(1)当圆与矩形OC、OA、BC三边相切时，圆P半径为1，点P坐标为(1，1)；
(2)当圆与矩形OA、AB、BC三边相切时，圆P半径为1，点P坐标为(3，1)；
(3)当圆与矩形OC、AB、BC三边相切时，圆P半径为2，点P坐标为(2，0)；
(4)当圆与矩形OC、AB、OA三边相切时，圆P半径为2，点P坐标为(2，2)．
本题易因考虑圆与哪三条边相切不周而致错．
【答案】(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)
10．【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示．
(2)请你判断BC与(1)中⊙P的位置关系，并证明你的结论．
解：BC与⊙P相切．证明：
如图，过P作PD⊥BC，交BC于点D.
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA.
∴点P到BC的距离等于⊙P的半径．
∴BC与⊙P相切．
11．【中考·徐州】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点，过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD.
︵
(1)求证：∠A＝∠DOB.
︵
︵
︵
(2)DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
解：DE与⊙O相切．
理由：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD.
∵DE⊥AE，∴OD⊥DE.
∴圆心O到DE的距离等于半径．
∴DE与⊙O相切．
12．已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.
(1)如图①，当x取何值时，⊙O与AM相切？
解：如图①，过O点作OF⊥AM于点F，当OF＝r＝2时，⊙O与AM相切，此时OA＝4，故AD＝2.即当x＝2时，⊙O与AM相切．
(2)如图②，当x取何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？
解：如图②，过O点作OG⊥AM于
点G，则
BG＝CG.
13．【中考·扬州】如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连结CF.
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由．
解：DE与半圆O相切．
理由：∵CD⊥AD，∴∠D＝90°.
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD∥OC，∴∠OCE＝∠D＝90°.
∴CO⊥DE.又∵CO为半径，∴DE与半圆O相切．
(2)①求证：CF＝OC.
证明：如图，连接OB.
∵OA＝OC，
∴平行四边形OABC是菱形．
∴OA＝OB＝AB.
∴△AOB为等边三角形．
∴∠BAO＝60°.
∵AD∥OC，
∴∠COF＝∠BAO＝60°.
∵OC＝OF，
∴△OCF是等边三角形．
∴CF＝OC.
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
解：在Rt△OCE中，∠COE＝60°，∠OCE＝90°，∴∠E＝30°.
︵(共42张PPT)
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27．4 正多边形和圆
第27章
圆
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见习题
见习题
B
1．正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系为( )
A．两角互余
B．两角互补
C．两角互余或互补
D．不能确定
【点拨】如图，连结AC.
【答案】C
【点拨】连结OA，OB，OD，过点O作OH⊥AB于点H，如图所示．
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°.
【答案】B
D
5．【中考·湖州】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是( )
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
C
【点拨】设正六边形的中心为O，
连结OA、OB.如图所示．
【答案】A
7.【中考·威海】如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连结AF，EF，则图中阴影部分的面积是( )
A．18＋36π
B．24＋18π
C．18＋18π
D．12＋18π
【点拨】如图，作FH⊥BC交BC的延长线于点H，连结AE.
【答案】C
8．【中考·宜宾】刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设⊙O的半径为1，若用⊙O的外切正六边形的面积S来近似估计⊙O的面积，则S＝________．(结果保留根号)
9．如图，按要求画出⊙O的内接正多边形．
(1)正三角形；(2)正方形；(3)正六边形；(4)正八边形．
解：如图所示．
错解：B
诊断：设正多边形的边数为n.∵正多边形内角和为(n－2)·180°，正多边形外角和为360°，根据题意得(n－2)·180°＝360°×2，解得n＝6，故正多边形为正六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，∴正多边形的半径等于2.
正解：A
11．【中考·镇江】在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC＝78°，AC＝10，小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②)．
(1)∠ABC＝________°；
30
(2)求正五边形GHMNC的边GC的长．
(参考值：sin
78°≈0.98，cos
78°≈0.21，tan
78°≈4.70)
12．作图与证明：
如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
解：如图，先作直径AD，然后分别以A、D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B、F、C、E，连结AB、BC、CD、DE、EF、AF，则正六边形ABCDEF即为所求．(作法不唯一)
(2)连结BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．
解：如图，四边形BCEF是矩形．
︵
︵
︵
︵
︵
︵
13．【2020·通辽】如图，中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6
cm，点P、Q同时分别从A、D两点出发，以
1
cm/s的速度沿AF、DC向终点F、C运动，连结PB、PE、QB、QE，设运动时间为t(s)．
(1)求证：四边形PBQE为平行四边形；
证明：∵正六边形ABCDEF，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，
∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F.
∵点P、Q同时分别从A、D两点出发，
以1
cm/s的速度沿AF、DC向终点F、C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6－t.
(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
易得S△BPE＝S△BAE，S△BQE＝S△BDE始终成立，
∴S矩形PBQE＝S矩形ABDE始终成立．
14．如图①②③④，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCD…分别内接于⊙O，点M，N分别从点B，C同时开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，AM与BN相交于点P.
(1)图①中，∠APN＝________.
(2)图②中，∠APN＝________，
图③中，∠APN＝________.
60°
90°
108°
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系．(直接写答案)(共37张PPT)
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27．1.3 圆周角
第27章
圆
第3课时 圆内接四边形
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见习题
见习题
见习题
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见习题
1．下列说法正确的是( )
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
B
2．下列多边形中一定有外接圆的是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
A
3．下列命题中，不正确的是( )
A．矩形有一个外接圆
B．弦的垂直平分线一定平分弦所对的弧
C．菱形有一个外接圆
D．任何一个三角形都有一个外接圆
C
4．【2020·张家界】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
C
A
5．【中考?镇江】如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC＝CB，若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于( )
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
︵
︵
6．【2020·黄石】如图，点A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为( )
A．140°
B．70°
C．110°
D．80°
C
7.【2020·牡丹江】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD.若AC＝BC，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是( )
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
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【点拨】如图，连结OA、OB、OC.
∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°.
【答案】B
︵
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【点拨】如图，连结AC.
∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2.
∵∠1＋∠ABC＝180°，
∠CDA＋∠ABC＝180°，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA.∴AC＝AD＝5.
【答案】D
9．【中考·天水】如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连结AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为( )
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
C
【点拨】连结BD、EC，根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义可得∠ADE＝∠ABC＝45°，再证得∠ADE＝∠A＝45°，即AE＝DE，根据直径所对圆周角是直角可得∠FCE＝90°，在Rt△EFC中求得EF＝4，所以BD＝4，在Rt△BDE中根据勾股定理可得BE2＋DE2＝BD2＝16.
【答案】C
11.【中考·潍坊】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC的延长线相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连结BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( )
A．50°
B．60°
C．80°
D．85°
【答案】C
【点拨】由圆内接四边形的性质可得，∠ADC＝∠GBC＝50°.又∵AO⊥CD，∴∠DAE＝40°，延长AE交⊙O于点F，由垂径定理，得DF＝CF，∴∠DBC＝2∠DAF＝80°.
︵
︵
12．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，如果∠COD＝32°，那么∠B的度数为( )
A．16°
B．32°
C．16°或164°
D．32°或148°
【点拨】点B可能在弦AC所对的优弧上，也可能在弦AC所对的劣弧上．本题没有给出图形，其易错之处在于画图时考虑不全而漏解．
【答案】D
解：如图，连结OA，OC，作OH⊥AC于点H.
(2)求证：AB＋BC＝BM.
证明：如图，在BM上截取BE＝BC，连结CE.
又∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形．
∴CE＝CB＝BE，∠CEB＝60°.
∴∠MEC＝180°－∠CEB＝120°.
∴△ABC≌△MEC．
∴AB＝ME.
∵ME＋EB＝BM，
∴AB＋BC＝BM.
14．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是CAD上一点(不与点C、D重合)，求证：∠CPD＝∠COB；
︵
︵
︵
解：∠CP′D＋∠COB＝180°.
证明：∵四边形PCP′D是⊙O的内接四边形，
∴∠CPD＋∠CP′D＝180°.
∴∠CP′D＋∠COB＝180°.
(2)当点P′在劣弧CD上(不与点C、D重合)时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCB＋∠BAD＝180°.
15．【中考·湖州】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.
(1)求证：BD＝CD.
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°－105°＝75°.
又∵∠DBC＝75°，
∴∠DCB＝∠DBC＝75°.
∴BD＝CD.
解：如图，连结OB、OC.
∵∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴∠BDC＝30°.
(2)若⊙O的半径为3，求BC的长．
︵
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16．【2020·南京】如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F.求证：
(1)四边形DBCF是平行四边形；
证明：∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B.
∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B.
∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD.∴BD∥CF.
又∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形．
(2)AF＝EF.
解：如图，连结AE.
∵∠ADF＝∠B，
∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B.
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF＋∠EAF＝180°.
∵BD∥CF，∴∠ECF＋∠B＝180°.
∴∠EAF＝∠B.∴∠AEF＝∠EAF.
∴AF＝EF.(共53张PPT)
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阶段核心题型
圆中常见的计算题型
第27章
圆
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1．【中考·娄底】如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB.
(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
解：∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE.∴∠ABE＝90°.
∵∠DBE＝37°.∴∠ABD＝53°.
∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°，
即∠ADC的度数为37°.
2．【中考·绍兴】在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
(1)在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长，请你解答．
解：连结OC，如图．
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.
∴∠OCD＝90°.
∵∠D＝30°，∴OD＝2OC＝2.
∴AD＝AO＋OD＝1＋2＝3.
(2)以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长．
小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．
请你参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目(可以添线、添字母)，并解答．
解：添加条件∠DCB＝30°，求AC的长．(答案不唯一)
解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵CD为⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＋∠DCB＝90°.
∴∠ACO＝∠DCB.
3．【2020·江西】已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r.
(1)如图①，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数．
解：如图①，连结OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°.
∵∠APB＋∠PAO＋∠PBO＋∠AOB＝360°，
∴∠APB＋∠AOB＝180°.
∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°.
∴∠ACB＝50°.
(2)如图②，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由．
解：当∠APB＝60°时，四边形APBC为菱形．理由如下：连结OA，OB，如图②.
由(1)可知，∠AOB＋∠APB＝180°，
∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°.
∴∠ACB＝60°＝∠APB.
∵点C运动到如图所示的位置时，PC距离最大，
∴PC经过圆心．
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°.
又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)，
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC.
∴∠APC＝∠ACP＝30°.
∴AP＝AC.∴AP＝AC＝PB＝BC.
∴四边形APBC是菱形．
(3)若PC交⊙O于点D，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)．
︵
︵
4．【2020·内江】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.
(1)求证：BE是⊙O的切线．
证明：如图，连结OC，
∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE.
∴∠OCE＝90°.
∵OD⊥BC，∴CD＝BD，
即OD垂直平分BC，∴EC＝EB.
(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积．
5.【中考·赤峰】如图，AB为⊙O的直径，C，D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E.
(1)求证：CE是⊙O的切线．
︵
︵
︵
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【点拨】连结OD、OC，由AD＝CD＝BC，得到∠COD＝60°，根据CD∥AB，利用等积法得到S△ACD＝S△COD，根据扇形的面积公式即可得到结果．
︵
︵
︵
︵
︵
︵
6．如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？
【点拨】观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆形的面积减去小半圆形的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不变，所以我们可以通过平移，使两个半圆的圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积．
解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图所示，则阴影部分的面积等于半圆环的面积．
7．【中考·孝感】如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连结AD，BD.
︵
(2)求证：DE是⊙O的切线．
证明：如图，连结OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵DE∥AB，∴OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线．
(3)求线段DE的长．
如图，过点A作AF⊥DE于点F，
则四边形AODF是正方形，
∴AF＝OD＝FD＝5，∠FAB＝90°.
8．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30
km/h，
受影响区域的半径为200
km，
B市位于点P北偏东75°的方
向上，距离P点320
km处．
(1)试说明台风是否会影响B市；
(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
【点拨】本题在图形中画出圆，建立数学模型，然后利用垂径定理解决问题．
解：如图，以B为圆心，200
km为半径画圆，交PQ于P1，P2两点，连结BP1，由垂径定理知P1P2＝2P1H.
9．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同队队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员
乙，由队员乙射门．从射门角度考虑，
你认为选择哪种射门方式较好？为什么？
【点拨】本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，通过建模转化到圆中，根据圆周角的相关知识来解决实际问题．
解：选择射门方式二较好，理由如下．设AQ与圆的另一交点为C，连结PC，如图所示．
∵∠PCQ是△PAC的外角，
∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，
∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．∴选择射门方式二较好．
10．如图，已知A，B两地相距1
km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350
m为半径的
圆形公园，则修建的这条水渠
会不会穿过公园？为什么？
解：修建的这条水渠不会穿过公园．
理由：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.(共37张PPT)
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27．2.3 切 线
第27章
圆
第1课时 切 线
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见习题
见习题
见习题
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见习题
1．下列四个命题：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中是真命题的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
C
2．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
A．DE＝DO
B．AB＝AC
C．CD＝DB
D．AC∥OD
A
D
4．【2020·徐州】如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P.若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于( )
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
B
A
6．【中考·重庆】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为( )
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
B
7．【2020·通辽】如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P＝72°，则∠C＝( )
A．108°
B．72°
C．54°
D．36°
C
【点拨】连结OB，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB.
∵OA＝OB，∴OA＝AB＝OB.
∴△AOB为等边三角形．∴∠AOB＝60°.
∵BD是⊙O的切线，
在Rt△OBD中，∴∠DBO＝90°.
【答案】D
【答案】A
10．【中考·嘉兴】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( )
A．2.3
B．2.4
C．2.5
D．2.6
【点拨】如图，设切点为D，连结CD.
【答案】B
11．【中考·雅安】如图，已知AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于点E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连结DC并延长，
交BA的延长线于点F.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
证明：如图，连结OC.∵OE∥AC，
∴∠1＝∠ACB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠1＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE.
又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，
即∠DBO＝∠DCO.
∵DB为⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠DBO＝90°，∴∠DCO＝∠DBO＝90°，
即OC⊥DC.
∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．
(2)若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．
解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴∠2＝60°，又OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形．
12．【2020·武汉】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E.
(1)求证：AD平分∠BAE；
证明：连结OD，如图，
∵DE为切线，∴OD⊥DE.
∵DE⊥AE，∴OD∥AE.∴∠1＝∠ODA.
∵OA＝OD，∴∠2＝∠ODA.
∴∠1＝∠2.∴AD平分∠BAE.
(2)若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
解：连结BD，如图，∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°.∴∠2＋∠ABD＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠3＋∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3.
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.
设CD＝x，BC＝AD＝y，
∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，
∴△CDB∽△CBA.
∴CD：CB＝CB：CA，
即x：y＝y：(x＋y)，
13．【2020·天津】在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°.
(1)如图①，若∠APC＝100°，
求∠BAD和∠CDB的大小；
解：∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC－∠ABC＝100°－63°＝37°，
由圆周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，
∠ADC＝∠ABC＝63°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝90°－63°＝27°.
(2)如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
解：连结OD，如图所示．
∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°.
∴∠PCB＝90°－∠ABC＝
90°－63°＝27°.
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD.∴∠ODE＝90°.
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°－∠BOD＝90°－54°＝36°.
14．【中考·宜昌】已知，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，B点在⊙O上，连结OB.
(1)求证：DE＝OE；
证明：如图，连结OD.
∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，
∴∠2＋∠3＝∠1＋∠COD＝90°.
∵DE＝EC，∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠COD，∴DE＝OE.
(2)若CD∥AB，求证：四边形ABCD是菱形．
解：∵OD＝OE，DE＝OE，
∴OD＝DE＝OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，
∴∠2＝∠1＝30°.
∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC，
∴OA＝OB＝DE＝EC.
∵AB∥CD，∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，
∴△ABO≌△CDE，∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．(共32张PPT)
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第27章
圆
27．1.2 圆的对称性
第1课时 圆心角、弧、弦间的关系
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见习题
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1．【中考?枣庄】下列图形，可以看成中心对称图形的是( )
B
2．下列关于圆的轴对称性的说法：
①每条直径所在的直线都是圆的对称轴；
②每条半径所在的直线都是圆的对称轴；
③过圆心的每条直线都是圆的对称轴；
④过直径上任意一点的直线都是圆的对称轴．其中，正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
3．如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则AB所对的圆心角等于( )
A．40°
B．80°
C．100°
D．120°
C
︵
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则BD的度数为( )
A．25°
B．30°
C．50°
D．65°
C
︵
5．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( )
①AB＝CD；
②BD＝AC；
③AC＝BD;
④∠BOD＝∠AOC.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
︵
︵
︵
︵
D
B
6．在同圆或等圆中，不一定成立的是( )
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的弦所对的弧相等
C．相等的弧所对的弦相等
D．相等的弧所对的圆心角相等
7．如图，观察下列图形及相应推理，其中正确的是( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
C
8．如图，AB是⊙O的直径，若∠COA＝∠DOB＝60°，则与线段AO的长度相等的线段有( )
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
【点拨】∵∠COA＝∠DOB＝60°，∴∠COD＝60°，∵OA＝OC＝OD＝OB，∴△AOC，△COD，△BOD均为等边三角形，∴OA＝OC＝OD＝OB＝AC＝CD＝BD，故选D.
【答案】D
9.在⊙O中，点M、N分别为弦AB、CD的中点，如果OM＝ON，那么在结论：①AB＝CD；②AB＝CD；③∠AOB＝∠COD中，正确的是( )
A．①② B．①③
C．②③
D．①②③
︵
︵
【点拨】∵点M、N分别是弦AB、CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD.
∵OM＝ON，
∴AB＝CD，AB＝CD，∠AOB＝∠COD.
【答案】D
︵
︵
10．如图，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，点M、N分别为垂足，那么OM、ON的大小关系是( )
A．OM>ON
B．OM＝ON
C．OMD．无法确定
错解：A或B
诊断：对于“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等”这一性质中反映的各组量之间的关系判断不准，从而导致错误．
正解：C
11．【中考·牡丹江】如图，在⊙O中，AC＝CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：AD＝BE.
︵
︵
证明：连结OC.
∵AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.
∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°.
︵
︵
12．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直且相交于点P，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，AC＝BD.
求证：四边形OEPF是正方形．
︵
︵
证明：连结OA、OD.∵AC＝BD，
∴AC＋BC＝BD＋BC，
即AB＝CD，∴AB＝CD.
︵
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︵
︵
︵
︵
13．如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在AC上，且AD＝2CD，OA＝4.
(1)∠COD＝________°；
30
︵
︵
︵
(2)求弦AD的长；
解：如图①所示，
易知∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°.
∵OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形．
∴AD＝OA＝4.
(3)P是半径OC上一动点，连接AP，PD，请求出AP＋PD的最小值．(解答上面各题时，请按题意自行补足图形)
解：如图②，延长AO交⊙O于点B，连接BD交OC于点P，连结AP，此时AP＋PD的值最小．理由如下：
∵OA⊥OC，OA＝OB，∴PA＝PB.∴PA＋PD＝PB＋PD.
14．【中考·绵阳】如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连结BD交CF于点G，连结CD、AD、BF.
︵
(1)求证：△BFG≌△CDG；
证明：如图，连结BC.
∵点C是BD的中点，∴CD＝BC.
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴BC＝BF，
∴CD＝BC＝BF，
∴CD＝BC＝BF，BD＝CF.
︵
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︵
︵
︵
︵
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(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．
解：如图，连结OC，交BD于点H，
∵点C是BD的中点，
∴OC⊥BD，∴DH＝BH.
︵(共62张PPT)
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第27章
圆
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见习题
见习题
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15°或75°
见习题
1．下列说法正确的是( )
A．直径是弦，弦也是直径
B．半圆是弧，弧是半圆
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍
D
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(1)求证：△ACD是等边三角形；
证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE.
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(2)连结OE，若DE＝2，求OE的长．
解：如图，过点O作ON⊥AD于点N.则AN＝DN.
由(1)知△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°.
︵
︵
4．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连结CO并延长CO交⊙O于点D，连结AD.
(1)弦长AB等于________；(结果保留根号)
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；
解：如图，连结OA.
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D.
∴∠BAD＝∠BAO＋∠DAO＝
∠B＋∠D＝30°＋20°＝50°.
∴∠BOD＝2∠BAD＝100°.
5．由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400
km的B处，正向西北
方向转移，如图所示，距沙尘暴中心
300
km的范围内将受到影响，则A市
是否会受到这次沙尘暴的影响？
解：如图，过点A作AC⊥BD于点C.
由题意，得AB＝400
km，
∠DBA＝45°，∴AC＝BC.
6．【2020·丹东】如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连结BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB.
(1)判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：BC所在直线与⊙O相切．理由如下：
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB.
又∵∠ABF＝∠ABD＋∠DBF，
∠AFB＝∠CBF＋∠C，
∴∠ABD＋∠DBF＝∠CBF＋∠C.
∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF.∴∠ABD＝∠C.
∵∠A＋∠ABD＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.
∴∠ABC＝90°.∴AB⊥BC.
∴BC是⊙O的切线．
解：∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF.
∵DF＝2，∴BD＝6.
设AB＝AF＝x，则AD＝x－2.
∵AB2＝AD2＋BD2，∴x2＝(x－2)2＋62，解得x＝10.
∴AB＝10.∴⊙O的半径为5.
7．如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD…，AD分别交OB，OC于M，N.求证：
(1)MN∥BC；
证明：如图，连结OA、OD，
则∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝360°÷10＝36°，则∠AOD＝
∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝108°.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝36°.
∴∠ANO＝∠COD＋∠ODA＝36°＋36°＝72°.
∵∠BOC＝36°，OB＝OC，
∴∠BCO＝∠OBC＝72°.
∴∠ANO＝∠BCO.∴MN∥BC.
∵∠AON＝∠AOB＋∠BOC＝72°， ∠ANO＝72°，∴AN＝AO＝OB.
(2)MN＋BC＝OB.
∵MN∥BC，∴∠AMB＝∠OBC＝72°.
又AB＝BC，
∴AN＝AM＋MN＝AB＋MN＝BC＋MN.
∴MN＋BC＝OB.
8．【中考·哈尔滨】如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连结CD，且AE＝DE，BC＝CE.
(1)求∠ACB的度数；
解：在⊙O中，∠A＝∠D.
又∵∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，
∴△AEB≌△DEC.∴EB＝EC.
又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC.
∴△EBC为等边三角形．
∴∠ACB＝60°.
(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．
解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°，∴∠EGF＝30°.
∵EG＝2，∴EF＝1.
又∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4.
∴AC＝8，CE＝5.∴BC＝5.
如图，过点B作BM⊥AC于点M，
9．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为( )
A．5
B．10
C．7.5
D．4
【答案】A
【答案】C
11．如图，已知正六边形ABCDEF是边长为2
cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为
12
cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( )
A．13π
cm
B．14π
cm
C．15π
cm
D．16π
cm
【答案】B
D
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B
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B
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
(1)求证：BE＝CE.
证明：如图，连结AE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°.∴AE⊥BC.
又∵AB＝AC，∴BE＝CE.
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(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
解：如图，连结CD，由(1)知BE＝CE，
∴BC＝2BE＝6.
设AC＝x，则AD＝x－2.
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝62－22＝32.
在Rt△ADC中，
∵AD2＋CD2＝AC2，
∴(x－2)2＋32＝x2，
解得x＝9，即AC的长为9.
16．【中考·江西】如图①，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连结BC.
(1)连结DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
证明：如图①，连结OC，
∵CD∥AB，BC∥OD，
∴四边形BODC是平行四边形．
∴OB＝CD.
∵OA＝OB，∴CD＝OA，
∴四边形ADCO是平行四边形．
∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD.
∴平行四边形ADCO是矩形．
∴OC⊥CD.∴CD是半圆的切线．
(2)如图②，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．
解：∠AED＋∠ACD＝90°.
证明：如图②，连结BE，
∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°.
∴∠EBA＋∠BAE＝90°.
∵AB⊥AD，∴∠DAE＋∠BAE＝90°.∴∠ABE＝∠DAE.
∵∠ACE＝∠ABE，∴∠ACE＝∠DAE.
∵CD∥AB，AB⊥AD，
∴CD⊥AD，即∠ADE＝90°.
∴∠AED＋∠ACD＝∠DAE＋∠AED＝90°.
【点拨】如图，当圆心O在∠CAB的外部时，过点A作直径AD，连结OC，OB，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F.
【答案】15°或75°
18．【中考·绥化】如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD，交弦BD于点G，连结半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，∠AFC＝∠ACD.
证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.
∴C是弧BD的中点．∴OC⊥BD.
(1)求证：直线CF是⊙O的切线．
∵∠AFC＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，
∴∠AFC＝∠ABD.
∴BD∥CF.
∴OC⊥CF.
∵OC是⊙O的半径，∴直线CF是⊙O的切线．
解：设OC＝R.
易知BE＝DE.
∵DE＝2CE＝2，
∴BE＝DE＝2，CE＝1.
∴OE＝R－1.
(2)若DE＝2CE＝2.
①求AD的长；
∵OA＝OB，BE＝DE，
∴OE为△ABD的中位线．
∴AD＝2OE＝3.
②求△ACF的周长．(结果可保留根号)(共40张PPT)
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27．1.3 圆周角
第27章
圆
第1课时 圆周角和直径的关系
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见习题
见习题
见习题
14
见习题
1．【中考·柳州】下列四个图中，∠x为圆周角的是( )
C
2．如图，图中的圆周角共有______个，其中AB所对的圆周角是___________，CD所对的圆周角是_________．
4
︵
︵
∠C与∠D
∠A与∠B
3．【中考·襄阳】如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是( )
A．AP＝2OP
B．CD＝2OP
C．OB⊥AC
D．AC平分OB
A
C
【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∴∠ACB＝∠CDB.
【答案】A
6．【中考·盐城】如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
C
7．【中考·福建】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是( )
A．∠ADC
B．∠ABD
C．∠BAC
D．∠BAD
D
8．【中考·毕节】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为( )
A．30°
B．50°
C．60°
D．70°
C
9.【中考·青岛】如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A．100°
B．110°
C．115°
D．120°
【点拨】连结AC，∵∠AED＝20°，
∴∠ACD＝20°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝110°.
【答案】B
10．【中考·滨州】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC、OC相交于点E、F，有下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；
③BC平分∠ABD；④AF＝DF；
⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.
其中一定成立的是( )
A．②④⑤⑥
B．①③⑤⑥
C．②③④⑥
D．①③④⑤
【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.因此①正确．∠AOC＝2∠ABC，∠AEC＝∠ABC＋∠BAD，若∠AOC＝∠AEC，则∠BAD＝∠ABC，则AC＝BD，而由已知无法推断出AC＝BD，因此②错误．
︵
︵
︵
︵
∵OC∥BD，∴∠C＝∠DBC.∵OC＝OB，∴∠C＝OBC.∴∠OBC＝∠DBC.因此③正确．∵OC⊥AD，∴AF＝DF，因此④正确．∵AF＝DF，AO＝BO，∴BD＝2OF.因此⑤正确．
若△CEF≌△BED成立，则CF＝BD，此时CF＝2OF，而由已知无法推断出CF＝2OF，因此⑥错误，因此①③④⑤一定成立，故选D.
【答案】D
11．【中考·台州】如图，四边形ABCD内接于⊙O(点A、B、C、D在⊙O上)，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.
(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
解：∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝39°.
∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.
(2)求证：∠1＝∠2.
解：证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE.
而∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，
∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD.
∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
12．【2020·衢州】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC、BC于点E、F，其中点E是AD的中点．
(1)求证：∠CAD＝∠CBA；
证明：∵AE＝DE，OC是半径，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CBA.
︵
︵
(2)求OE的长．
解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.
∵AE＝DE，∴OC⊥AD，
∴∠AEC＝90°.∴∠AEC＝∠ACB，
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连结EB交OD于点F.连结ED.
(1)求证：OD⊥BE；
【点拨】连结AD，利用构造法，用圆的直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，再利用等腰三角形的“三线合一”的性质确定D为BC中点，从而解决问题．
证明：如图．连结AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°.
∵AB＝AC，∴DC＝DB.
又∵OA＝OB，
∴OD∥AC.
∴∠OFB＝∠AEB＝90°.
∴OD⊥BE.
【点拨】连结AD，利用构造法，用圆的直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，再利用等腰三角形的“三线合一”的性质确定D为BC中点，从而解决问题．
14．【2020?温州】如图，C、D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是AC上一点，∠ADC＝∠G.
︵
(1)求证：∠1＝∠2；
证明：∵∠ADC＝∠G，∴AC＝AD.
∵AB为⊙O的直径，
∴BC＝BD.∴∠1＝∠2.
︵
︵
解：如图，连结DF.
∵AC＝AD，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，CE＝DE.
∴FD＝FC＝10.
︵
︵
∵点C、F关于DG对称，
∴DC＝DF＝10.∴DE＝5.(共31张PPT)
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27．1 圆的认识
第27章
圆
27．1.1 圆的基本元素
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见习题
见习题
见习题
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见习题
1．到圆心的距离不大于半径的点的集合是( )
A．圆的外部
B．圆的内部
C．圆
D．圆的内部和圆
D
2．平面内已知点P，以P点为圆心，作半径等于3
cm的圆，这样的圆可以作( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
A
3．【2020·黔东南州】如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE的长为________．
4．如图，在⊙O中，若点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
B
5．下列说法错误的是( )
A．长度相等的两条弧是等弧
B．直径是圆中最长的弦
C．面积相等的两个圆是等圆
D．半径相等的两个半圆是等弧
A
6．如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B等于( )
A．100°
B．72°
C．64°
D．36°
C
7．下列说法中，错误的是( )
A．半圆是弧
B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径
D．直径是弦
C
8.【2020·常州】如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A、B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH的最大值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【点拨】∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°.
∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，
∴MH的最大值为3.
【答案】A
【答案】C
【点拨】本题分点P在⊙O内和点P在⊙O外两种情况，易因考虑不全而漏掉一种情况．
【答案】C
11．如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE＝BF，请你判断线段OE与OF的数量关系，并给予证明．
解：OE＝OF.
证明：如图，连结OA
,OB，
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
又∵AE＝BF，
∴△OAE≌△OBF(S.A.S.)．
∴OE＝OF.
12．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是正方形，其中点D、E在半圆O上，点C、F在直径AB上．
(1)求证：OC＝OF.
证明：如图，连结OD、OE，则OD＝OE，又∵∠OCD＝∠OFE＝90°，DC＝EF，∴Rt△ODC≌Rt△OEF(H.L.)．
∴OC＝OF.
(2)在正方形CDEF的右侧有一小正方形FGHK，点G在AB上，点H在半圆O上，点K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．
解：如图，连结OH，∵CF＝EF＝2，OC＝OF，∴OF＝1.∴OH2＝OE2＝OF2＋EF2＝12＋22＝5.
设FG＝GH＝x，∵OG2＋GH2＝OH2，
∴(x＋1)2＋x2＝5.∴x2＋x－2＝0，
解得x1＝1，x2＝－2(舍去)．
∴S正方形FGHK＝12＝1.
13．已知射线OM经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，点B在⊙O上，且∠BOA＝30°，点P为射线OM上异于点O的一动点，直线PB交⊙O于点C，且PC＝OC.
(1)如图①，当点P在线段OA上时，求∠PBO的度数；
解：∵OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.
设∠PBO＝∠C＝x，∵PC＝OC，
∴∠COP＝∠CPO＝∠B＋∠BOA＝x＋30°.
在△POC中，x＋2(x＋30°)＝180°，
∴x＝40°，∴∠PBO＝40°.
(2)如图②，当点P在线段OA的延长线上时，则∠PBO的度数为________(直接写出结果)．
【点拨】设∠BOC＝y，∵PC＝OC，∴∠CPO＝∠COP＝y＋30°.∵OB＝OC，∴∠OCP＝∠OBC＝∠BOA＋∠OPC＝30°＋(30°＋y)＝60°＋y.在△OBC中，y＋2(60°＋y)＝180°，
∴y＝20°，∴∠OBC＝80°，∴∠PBO＝100°.
【答案】100°
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC.将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．
(1)点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由．
解：点C在以AB为直径的圆上．
理由：如图，连结MC、MD.由折叠的性质知∠DAC＝∠BAC，AD＝AM.
∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD.
∵AD＝AM，∴CD＝AM，
∴四边形AMCD是平行四边形，∴MC＝AD.
∵AM＝BM，∴CD＝BM，
∴四边形BCDM是平行四边形，∴MD＝BC.
∵AD＝BC，
∴MC＝MD＝MA＝MB，
∴点C在以AB为直径的圆上．
(2)当AB＝4时，求此梯形的面积．(共42张PPT)
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27．2.3 切 线
第27章
圆
第2课时 切线长
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见习题
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见习题
见习题
见习题
1．【中考·杭州】如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B两点，若PA＝3，则PB的长是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B
2．【中考·南充】如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是( )
A．40°
B．60°
C．70°
D．80°
C
3．【中考·哈尔滨】如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连结AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为( )
A．60°
B．75°
C．70°
D．65°
D
4.【2020·湖州】如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是( )
A．DC＝DT
B．AD＝DT
C．BD＝BO
D．2OC＝5AC
?
?
【点拨】如图，连结OD.
∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线．
∵DC是⊙O的切线，∴DC＝DT，故选项A正确．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°.
∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，
∴△DOC≌△DOT(SSS)．∴∠DOC＝∠DOT.
∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，
∴∠AOT＝∠BOT＝45°.
∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°.∴∠BOD＝67.5°.
∴∠BOD＝180°－∠B－∠BOD＝67.5°.
∴∠BOD＝∠ODB.∴BD＝BO，故选项C正确．
故选D.
【答案】D
【点拨】连结PO，利用切线长定理得到PA＝PB，由∠APB＝60°，得到∠APO＝30°，再利用勾股定理求出AP的长，同理，由切线长定理可知，MA＝MC，NC＝NB，△PMN的周长等于PA＋PB，即2AP.
【答案】C
6．【中考·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4
B．6.25
C．7.5
D．9
A
【点拨】如图，∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O.
设D、E为切点，连结OE、OD、OA，易得点A、O、D共线，则OE＝OD＝r，AO＝R，AD＝h，
∴h＝R＋r，故A正确．
在Rt△AOE中，OA＝2OE，
即R＝2r，故B正确．
【答案】C
【点拨】过点B作BH⊥CD，交CD的延长线于点H，如图所示．
【答案】B
9．既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是( )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．矩形或菱形
【点拨】A.矩形只有外接圆，没有内切圆，故不符合题意；B.菱形只有内切圆，没有外接圆，故不符合题意；C.正方形既有外接圆，又有内切圆，符合题意；D选项也不符合题意，故选C.
【答案】C
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.
(1)求证：∠A＝∠ADE；
证明：如图，连结OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°.
∴∠ADE＋∠BDO＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠BDO.
∴∠A＝∠ADE.
(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
解：如图，连结CD.
∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线．∴ED＝EC.
∴AE＝EC＝DE.
∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20.
∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠ADC＝90°.
11．【中考·资阳】如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
解：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°.
∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，
∴∠BAP＝60°，
∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°.
(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．
12．【中考·鄂州节选】如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连结OP交⊙O于点E，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连结BC、PB.
求证：(1)PB是⊙O的切线；
证明：连结OB，如图．
∵AO＝BO，AB⊥PO，
∴∠AOP＝∠POB.
∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，∴OB⊥PB.
又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)E为△PAB的内心．
解：连结AE，如图．
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE＋∠OAE＝90°.
∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.
∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB交∠PAD的平分线于点E，
∴E为△PAB的内心．
13．(1)如图①，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E、F、G、H，说明
AB＋CD与BC＋AD的大小关系；
解：由切线长定理，得AE＝AH，
BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，
∴AB＋CD＝AE＋BE＋CG＋DG＝
AH＋BF＋CF＋DH＝BC＋AD，
即AB＋CD＝BC＋AD.
(2)如图②，四边形ABCD的三边切⊙O于点F、G、H，说明AB＋CD与BC＋AD的大小关系．
解：过点B作⊙O的切线，交AD于点M.
由(1)可知BM＋CD＝BC＋MD.
∵AB＜AM＋BM，
∴AB＋BM＋CD＜AM＋BM＋BC＋MD，
即AB＋CD＜BC＋AD.(共40张PPT)
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27．3 圆中的计算问题
第27章
圆
第1课时 弧长和扇形面积
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见习题
见习题
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见习题
见习题
见习题
C
C
︵
︵
【点拨】作O点关于直线AB的对称点O′，连结O′A，O′B，
则OA＝OB＝O′A＝O′B，
∴四边形OAO′B为菱形．
【答案】B
︵
D
︵
5．【中考?长沙】一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．2π
B．4π
C．12π
D．24π
C
D
︵
【点拨】如图，连结OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形．
∴CD∥OE.∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°.
∴图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积．
【答案】A
【答案】B
︵
︵
︵
【点拨】根据题意和图形，可知阴影部分面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去三角形BCD的面积．
【答案】B
︵
︵
︵
︵
︵
︵
11．【2020·潍坊】如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连结AC.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
证明：如图，连结BF、OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD.
∵CE⊥AD，∴BF∥CE，
∵点C为劣弧BF的中点，∴OC⊥BF.
∵BF∥CE，∴OC⊥CE.
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
解：如图，连结OF，与AC交于点M，
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ACO＝30°.
∴∠BOC＝60°.
由(1)知CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE.
又∵AD⊥CE，∴AD∥OC.
∴∠FAM＝∠OCM＝30°.∴∠FAB＝60°.
又∵OA＝OF，
∴△AFO为等边三角形．∴AF＝OF＝OC.
∵∠FMA＝∠OMC，∴△AFM≌△COM.
∴S△AFM＝S△COM.∴S阴影＝S扇形FOC.
∵点C为劣弧BF的中点，∴FC＝BC.
∴∠FOC＝∠BOC＝60°.
︵
︵
C
13．如图，在边长为a的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径画弧得到扇形BAD，分别以AB，AD为直径的两个半圆交于点E，求图中
阴影部分的面积．
︵
14．【2020·湖州】如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD.
(1)求证：∠CAD＝∠ABC.
证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC.
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC.
︵
︵
︵
︵
︵
︵
解：CD是⊙O的切线．理由如下：
如图，连结OC，
(1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
︵
︵
解：如图，连接OE，连接BE交OC于点F，
︵
︵
︵
︵(共30张PPT)
HS版九年级下
阶段核心方法
证明圆的切线的常用方法
第27章
圆
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见习题
见习题
见习题
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1．如图，⊙O的直径AB＝12，点P是AB延长线上一点，且PB＝4，点C是⊙O上一点，PC＝8.
求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连结OC.
∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OC＝6.
∵PB＝4，∴PO＝10.
在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，
∴PC2＋OC2＝PO2.
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.
又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．
2．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：PD与⊙O相切．理由如下：
如图，连结PO，
则∠AOP＝2∠ACP＝120°.
∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.
∵PA＝PD，∴∠OAP＝∠D＝30°.
∴∠OPD＝180°－∠OAP－∠OPA－∠D＝90°，
即OP⊥PD.
又∵OP是半径，∴PD与⊙O相切．
3．【2020·邵阳】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连结AD，∠CAD＝∠C.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
证明：如图，连结OA，
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.
∵AB＝AC，∴∠OBA＝∠C.
∴∠OAB＝∠C.
∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD.
∵BD是直径，∴∠BAD＝90°.
∵∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，
∴AC是⊙O的切线．
(2)若AC＝4，求⊙O的半径．
解：由(1)可知AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠AOD＝2∠B，
∴∠AOC＋∠C＝2∠B＋∠C＝3∠C＝90°.
∴∠B＝∠C＝30°.
4．【2020·衡阳】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F.
(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC.
∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°.∴OD⊥BC.
又∵OD为半径，∴BC与⊙O相切．
(2)若AD＝8，AE＝10，求BD的长．
解：如图，连结DE.
∵AE是⊙O的直径，AE＝10，
∴∠ADE＝90°，OA＝OE＝OD＝5.
∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C.
5．已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP.
(1)求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连结OC，
∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵AC∥OP，∴∠OAC＝∠POB，∠POC＝∠OCA.
∴∠POB＝∠POC.
∵OC＝OB，OP＝OP，∴△POC≌△POB，
∴∠OBP＝∠OCP＝90°，即OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
(2)若∠A＝60°，AB＝4，求PC的长．
解：∵AB＝4，∴OB＝2.
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B.
求证：CD与⊙O相切．
证明：如图，过点O作OH⊥CD于点H.
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.
∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠AEB＝90°，即OA⊥DA.
∵DO平分∠ADC，OH⊥DC，OA⊥DA，∴OH＝OA.
又∵OH⊥DC，∴DC是⊙O的切线，
即CD与⊙O相切．
7．【中考·江西】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，
且∠AOD＝∠BAD.
(1)求证：AB为⊙O的切线．
证明：如图，作OE⊥AB于点E.
∵⊙O与BC相切于点C，∴AC⊥BC.
