(共33张PPT)
HS版九年级下
26．3 实践与探索
第26章
二次函数
第2课时 用二次函数求实际中
应用问题
4
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6
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1
2
3
5
B
1800
1.25
见习题
D
见习题
见习题
8
见习题
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9
见习题
B
2．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13
min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30
min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为( )
A．y＝－(x－13)2＋59.9
B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31
C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8
D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
D
3.【2020·益阳】某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售
利润是_____元．
【点拨】设日销售量y与上市时间t之间的函数表达式为y＝kt，由图可知30k＝60，解得k＝2，
即日销售量y与上市时间t之间的函数表达式为y＝2t，
当0＜t≤20时，设单件销售利润w与t之间的函数表达式为w＝at，由图可知20a＝30，解得a＝1.5，
即当0＜t≤20时，单件销售利润w与t之间的函数表达式为w＝1.5t，
当20＜t≤30时，单件销售利润w与t之间的函数表达式为w＝30，设日销售利润为W元，
当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，
故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1
200，
当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，
故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1
800；
综上所述，最大日销售利润是1
800元．
【答案】1800
4．【2020·襄阳】汽车刹车后行驶的距离s(单位：米)关于行驶时间t(单位：秒)的函数关系式是s＝15t－6t2.则汽车从刹车到停止所用时间为______秒．
1.25
5．【2020·辽阳】超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15，且x为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
解：根据题意得w＝(x－10)(－5x＋150)＝－5(x－20)2＋500，∴当x＜20时，w随x的增大而增大．
∵10≤x≤15且x为整数，∴当x＝15时，w有最大值，
最大值为－5×(15－20)2＋500＝375.
答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．
6．【中考·毕节】某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设该护肤品的日销售利润为W(元)，当销售单价为多少时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【点拨】利用求二次函数最值的方法便可解出答案．
解：由题意得，W与x的函数关系式为
W＝(x－40)(－2x＋160)＝－2x2＋240x－6
400＝
－2(x－60)2＋800，
当x＝60时，W最大，是800，
所以当销售单价为60元时，日销售利润最大，
最大日销售利润是800元．
7．【2020·武汉】某公司分别在A、B两城生产同一种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y＝ax2＋bx.当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1
000.B城生产产品的每件成本为70万元．
(1)求a、b的值；
(2)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件；
解：由(1)得y＝x2＋30x，
设A、B两城生产这批产品的总成本的和为w万元，
则w＝x2＋30x＋70(100－x)
＝x2－40x＋7
000
＝(x－20)2＋6
600，
由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，此时100－20＝80.
答：A城生产20件，B城生产80件．
(3)从A城把该产品运往C、D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C、D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A、B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．
解：当0＜m≤2时，A、B两城总运费的和的最小值为(20m＋90)万元；当m＞2时，A、B两城总运费的和的最小值为(10m＋110)万元．
8．【2020·鄂州节选】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x(元/件)
4
5
6
y(件)
10
000
9
500
9
000
(1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围)；
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6
000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少？
设这一周的利润为w元，根据题意得，
w＝(x－3)y＝(x－3)(－500x＋12
000)＝
－500x2＋13
500x－36
000＝－500(x－13.5)2＋55
125，
∵－500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大．
∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w取最大值，
为－500×(12－13.5)2＋55
125＝54
000.
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为
54
000元，售价为12元/件．
9．【2020·潍坊】因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y(桶)与销售单价x(元)之
间满足一次函数关系，其图象如
图所示．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？(利润＝销售价－进价)
解：设药店每天获得的利润为w元，由题意得，
w＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1
800，
∵－2＜0，
∴当x＝80时，w有最大值，最大值是1
800.
答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是1
800元．(共33张PPT)
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26．1 二次函数
第26章
二次函数
4
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C
B
B
C
B
D
D
8
C
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A
B
C
B
13
14
15
见习题
见习题
见习题
16
见习题
C
2．下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A．y＝ax2＋bx＋c
B．x2＋y－2＝0
C．y2－ax＝2
D．x2－y2＋1＝0
B
3．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( )
A．m≠－2
B．m≠2
C．m≠3
D．m≠－3
B
4．若y＝(m－1)xm2＋1是二次函数，则m的值是( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．2
B
5.对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是( )
A．y＝mx2＋3x－1
B．y＝(m－1)x2
C．y＝(m－1)2x2
D．y＝(－m2－1)x2
【点拨】A.当m＝0时，A选项是一次函数；B.当m＝1时，y＝0，不是二次函数；C.当m＝1时，y＝0，不是二次函数；D.因为－m2－1≠0，所以y＝(－m2－1)x2是二次函数，故选D.
【答案】D
6．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是( )
A．a＝1，b＝－3，c＝5
B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1
D．a＝5，b＝－3，c＝1
D
7．关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )
A．y是x的二次函数
B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20
000
C
8．若二次函数y＝ax2＋(2a＋b)x＋3b的二次项系数比一次项系数小8，一次项系数比常数项大4，则这个二次函数的表达式为( )
A．y＝5x2＋3x＋8
B．y＝5x2－13x＋9
C．y＝5x2＋13x＋9
D．y＝5x2＋13x－9
C
9.【2020·杭州】设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，( )
A．若h＝4，则a＜0
B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0
D．若h＝7，则a＞0
【答案】C
10．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，那么y与x之间的函数表达式为( )
A．y＝60(1－x)2
B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2
D．y＝60(1＋x)2
A
【点拨】如图，
∵在Rt△AOB中，AB⊥OB，
且AB＝OB＝3，
∴∠AOB＝∠A＝45°.
【答案】B
12．若函数y＝(3－m)xm2－7－x＋1是关于x的二次函数，则m的值为( )
A．3
B．－3
C．±3
D．9
【点拨】∵函数y＝(3－m)xm2－7－x＋1是关于x的二次函数，∴m2－7＝2，且3－m≠0.∴m＝－3.故选B.
错解：C
诊断：易忽略二次函数的二次项系数不能为0.
正解：B
13．某广告公司设计一个周长为12
m的矩形广告牌，设计费为每平方米1
000元，设矩形一边的长为x
m，面积为S
m2.
(1)求S与x之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；
(2)若要求设计的广告牌的边长为整数，请你填写下表，并探究当x取何值时，广告牌的设计费最多．
x(m)
S(m2)
设计费(元)
由表格可得，当x＝3时，广告牌的设计费最多．
14．观察如图所示图形的构成规律．
(1)如果第n个图中有S个圆，试写出S与n的函数表达式；
解：S＝n2＋1.
(2)这个函数是不是二次函数？
解：是二次函数．
解：王刚的举例是正确的；y＝(x＋2)2－x2整理后为y＝4x＋4，是一次函数，故李红的举例是错误的；y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数)，当a＝0时是一次函数或常数函数，当a≠0时是二次函数，故赵华的举例是错误的；
(1)评一评，上面五名同学所举的例子对吗？若不对，错在哪里？
解：写一个二次函数的表达式应注意的问题：①自变量只有一个；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0；④含自变量的代数式必须是整式．
(2)想一想：写一个二次函数的表达式应注意哪些问题？
16．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上．设AE＝x，正方形EFGH的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式；
解：y＝2x2－4x＋4.
(2)若正方形EFGH的面积为2，求AE的长．
解：令y＝2，则2x2－4x＋4＝2，
整理得x2－2x＋1＝0，
解得x1＝x2＝1，即AE的长为1.(共24张PPT)
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26．3 实践与探索
第26章
二次函数
第6课时 二次函数在学科内
的综合应用
4
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1
2
3
见习题
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1．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q.过Q点的
直线y＝2x＋m与x轴交于点A，与
这个二次函数的图象的另一个交
点为B.若S△BPQ＝3S△APQ，求这个
二次函数的表达式．
【点拨】本题用待定系数法求函数表达式时，根据图象的几何性质寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组求解．解题时还必须根据题目条件对结果进行检验，舍去不符合题意的解．
∵S△BPQ＝3S△APQ，∴S△APB＝4S△APQ.
∵△APQ与△APB等底(AP)不等高，
∴S△APB∶S△APQ＝4∶1＝BC∶OQ.
又∵OQ＝c(c>0)，∴(4－2b＋c)∶c＝4∶1.
即2b＋3c－4＝0 ①.
∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点，∴Δ＝b2－4c＝0 ②.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
又∵点A在x轴的负半轴上，∴点A的坐标为(－2，0)．
将点A(－2，0)的坐标代入y＝ax2－4得，0＝4a－4，解得a＝1，∴y＝x2－4.
(2)用含m的代数式表示线段CO的长；
解：∵P(m，m2－4)，A(－2，0)，
∴直线AP对应的函数表达式为
y＝(m－2)x＋(2m－4)．∴CO＝2m－4.
3．已知二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.
(1)探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；
(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x21＋x22＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM对应的函数表达式．
解：由一元二次方程根与系数的关系得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋3m＋4，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋3m＋4)＝2m2－10m－7.
∵x21＋x22＝5，∴2m2－10m－7＝5.
∴m2－5m－6＝0.解得m1＝6，m2＝－1.
4．在平面直角坐标系中，?ABOC按如图所示的方式放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°
得到?A′B′OC′，抛物线y＝－x2＋
2x＋3经过A、C、A′三点．
(1)求A、A′、C三点的坐标；
解：当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝－1.
∴C(－1，0)，A′(3，0)．
当x＝0时，y＝3.
∴A(0，3)．
(2)求?ABOC和?A′B′OC′重叠部分(△C′OD)的面积；
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时点M的坐标．
解：如图，设M点的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，连结OM.(共47张PPT)
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26．3 实践与探索
第26章
二次函数
第3课时 二次函数与一元
二次方程之间的关系
4
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2
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5
D
C
B
C
A
C
D
8
A
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11
12
9
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【2020·成都】关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( )
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，8)
C．图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)
D．y的最小值为－9
D
2.【中考·梧州】已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1、x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是( )
A．x1＜－1＜2＜x2
B．－1＜x1＜2＜x2
C．－1＜x1＜x2＜2
D．x1＜－1＜x2＜2
【点拨】关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解x1、x2，可以看作二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与直线y＝m(m＞0)交点的横坐标．
∵二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(2，0)，
∴当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜－1或x＞2.
又∵x1＜x2，∴x1＜－1＜2＜x2.
【答案】A
3．【2020·深圳】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是( )
A．abc＞0
B．4ac－b2＜0
C．3a＋c＞0
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根
B．∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0.
故B正确；
C．∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，抛物线与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间．
∴抛物线与x轴的另一个交点在(0，0)和(1，0)之间，
∴x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0.
∵b＝2a，∴3a＋c＜0.故C错误；
D．∵抛物线开口向下，顶点为(－1，n)，
∴函数有最大值n.
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝n＋1无交点．
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根．
故D正确．故选C.
【答案】C
4.【2020·贵阳】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(－3，0)与(1，0)两点，关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0(m＞0)有两个根，其中一个根是3.则关于x的方程ax2＋bx＋c＋n＝0(0＜n＜m)有两个整数根，这两个整数根是( )
A．－2或0
B．－4或2
C．－5或3
D．－6或4
【点拨】根据题目中的函数表达式和一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2＋bx＋c＋n＝0(0【答案】B
5．【2020·泸州】已知二次函数y＝x2－2bx＋2b2－4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1－b，m)，B(2b＋c，m)，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b＋c的值为( )
A．－1
B．2
C．3
D．4
【点拨】∵二次函数y＝x2－2bx＋2b2－4c的图象与x轴有公共点，
∴(－2b)2－4×1×(2b2－4c)≥0，即b2－4c≤0①，
把②代入①，得b2－4(b－1)≤0，即(b－2)2≤0，
∴b＝2，c＝b－1＝2－1＝1，∴b＋c＝2＋1＝3.
故选C.
【答案】C
6.【2020·凉山州】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；②2a＋b＝0；③3b－2c＜0；
④am2＋bm≥a＋b(m为实数)．
其中正确结论的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；
当m为实数时，有am2＋bm＋c≥a＋b＋c，
∴am2＋bm≥a＋b(m为实数)．
故④正确．故正确的结论有①②③④，共4个．
故选D.
【答案】D
7.【2020·遵义】抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2.抛物线与x轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，
下列结论中正确的个数有( )
①4a－b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；④b2＋2b＞4ac.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，且顶点为(－2，3)，
∴抛物线与直线y＝2有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根，故③正确；
【答案】C
8．【中考·徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
【点拨】根据函数图象与坐标轴有三个交点，可得Δ＝(－2)2－4b＞0，解得b＜1.但本题易忽略函数图象与x轴的交点不能在原点上，即b≠0.否则与坐标轴只有两个交点，故选A.
【答案】A
9．【中考·黑龙江】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(3，0)、点B(－1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过点D(0，3)作直线MN∥x轴，点P在直线MN上且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标．
解：点P的坐标为(4，3)或(8，3)．
(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；
(2)求抛物线的对称轴；
解：∵点A与点B关于直线x＝1对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
11．【中考·荆州】若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点在一次函数y＝kx＋t(k≠0)的图象上，则称y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为y＝kx＋t(k≠0)的伴随函数，如：y＝x2＋1是y＝x＋1的伴随函数．
(1)若y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，求直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积；
解：∵y＝x2－4图象的顶点坐标为(0，－4)，
且y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，
∴点(0，－4)在一次函数y＝－x＋p的图象上．
∴－4＝0＋p，即p＝－4.
∴一次函数为y＝－x－4.
(2)若函数y＝mx－3(m≠0)的伴随函数y＝x2＋2x＋n的图象与x轴两个交点间的距离为4，求m、n的值．
∵y＝x2＋2x－3是y＝mx－3(m≠0)的伴随函数，
∴－4＝－m－3，解得m＝1.
(1)求直线BC的表达式；
(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．(共32张PPT)
HS版九年级下
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象与性质
第26章
二次函数
第2课时 二次函数y＝a(x－h)2
的图象与性质
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B
C
A
C
A
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A
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C
见习题
A
见习题
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见习题
见习题
见习题
1．二次函数y＝－2(x－1)2的图象大致是( )
B
2．【中考·兰州】在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
A
3．对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( )
①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
4．已知二次函数y＝3(x＋2)2与y＝3(x－2)2，下列有关函数的图象说法错误的是( )
A．开口方向相反
B．对称轴关于y轴对称
C．顶点关于y轴对称
D．形状相同
【点拨】因为两个二次函数中a的值都为3，所以图象的开口方向都向上，故选A.
【答案】A
5．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的是( )
A．其图象的开口向上
B．其图象的对称轴是直线x＝3
C．其图象的顶点坐标是(0，3)
D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
D
6．已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是( )
A．y1＜y2＜0
B．0＜y1＜y2
C．0＜y2＜y1
D．y2＜y1＜0
A
7.若二次函数y＝(x－m)2，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A．m＝3
B．m＞3
C．m≥3
D．m≤3
【点拨】∵二次函数y＝(x－m)2的二次项系数是1，∴该二次函数的图象开口向上，其对称轴是直线x＝m.∵当x≤3时，y随x的增大而减小，∴m≥3.故选C.
【答案】C
8.【中考·黄冈】当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )
A．－1
B．2
C．0或2
D．－1或2
【点拨】∵当x＝0或2时，函数y＝x2－2x＋1＝(x－1)2的值为1，∴①当x≤0时，y有最小值1；②当0＜x＜2时，y有最小值0；③当x≥2时，y有最小值1.∵当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，∴a＋1＝0或a＝2.∴a＝－1或a＝2.故选D.
【答案】D
9．【中考·海南】把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )
A．向左平移2个单位
B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位
D．向下平移2个单位
A
10．把函数y＝－3x2的图象沿x轴向左平移5个单位，得到的图象的表达式为( )
A．y＝－3x2＋5
B．y＝－3x2－5
C．y＝－3(x＋5)2
D．y＝－3(x－5)2
C
【答案】y1＞y2＞y3
【易错警示】在利用函数的增减性比较函数值的大小时，首先要保证所有含比较函数值的点在对称轴的同一侧，若不在对称轴的同一侧，通过抛物线的对称性将点统一到同一侧后再进行大小比较．
12．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且过点(1，－3)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)画出函数的图象；
解：函数图象如图所示．
(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
解：当x<－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，函数有最大值．
(2)写出抛物线y＝a(x－h)2的对称轴及顶点坐标．
14．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位后，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB
为等腰直角三角形．
(1)求a的值；
解：依题意将抛物线y＝x2平移后为
抛物线y＝(x－a)2，即y＝x2－2ax＋a2.
∵OA＝OB，点A的坐标为(a，0)，
点B的坐标为(0，a2)，
∴a2＝a.∵a≠0，∴a＝1.
(2)图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)写出点A、点B的坐标；
解：在y＝(x＋2)2中，令y＝0，
得x1＝x2＝－2；令x＝0，得y＝4.
∴点A、点B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)求S△AOB；
(3)求出抛物线的对称轴．
解：抛物线的对称轴为直线x＝－2.
(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．①以OA和OB为邻边可作平行四边形PAOB，易求得P(－2，4)；
②以AB和OB为邻边可作平行四边形PABO，易求得P(－2，－4)．∴点P的坐标为(－2，4)或(－2，－4)．(共33张PPT)
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26．3 实践与探索
第26章
二次函数
第4课时 用图象法解一元
二次方程(不等式)
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D
C
D
x<－1或x>4
B
C
见习题
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x＜－3或x＞1
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见习题
见习题
见习题
见习题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为( )
A．x1＝1，x2＝－3
B．x1＝x2＝－1
C．x1＝x2＝3
D．x1＝－1，x2＝3
D
2．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解是x1＝3，那么另一个解x2是( )
A．1
B．－1
C．－2
D．0
B
3．已知二次函数y＝x2＋2x－10，小明利用计算器列出了下表：
那么方程x2＋2x－10＝0的一个近似根是( )
A．－4.1
B．－4.2
C．－4.3
D．－4.4
C
x
－4.1
－4.2
－4.3
－4.4
x2＋2x－10
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
4．【中考·包头】已知一次函数y1＝4x，二次函数y2＝2x2＋2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1与y2，则下列关系正确的是( )
A．y1＞y2
B．y1≥y2
C．y1＜y2
D．y1≤y2
【答案】D
5.【中考·随州】如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0.∴abc＜0，故①正确．
∵C(0，c)，OA＝OC，
∴A(－c，0)．
把A(－c，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得ac2－bc＋c＝0，
∴ac－b＋1＝0，故③错误．
∵A(－c，0)，对称轴为直线x＝1，
∴B(2＋c，0)．
∴2＋c是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，故④正确．
【答案】C
6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)．
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为
______________；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为
________________；
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为_______________．
x1＝－1，x2＝2
－1＜x＜2
x≤－1或x≥2
7．【中考·咸宁】如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是
_____________．
x<－1或x>4
8.【中考·济宁】如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是____________．
【点拨】∵抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，∴抛物线y＝ax2＋c与直线y＝－mx＋n交于(1，p)，(－3，q)两点，
观察函数图象可知：当x＜－3或x＞1时，直线y＝－mx＋n在抛物线y＝ax2＋c的下方，
∴不等式ax2＋mx＋c＞n的解集为x＜－3或x＞1.
【答案】x＜－3或x＞1
10．【中考·天门】在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l上．
(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1.
∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1.
当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，
解得x＝－1或x＝3.
①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，
∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，
则m＝－3；
②在直线x＝1右侧，y随x的增大而减小，
∴x＝m＝3时，y有最大值－4.
综上所述，m＝－3或m＝3.
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
11．【中考·云南】已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值；
解：∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，
∴k2＋k－6＝0，解得k1＝－3，k2＝2.
又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点，
∴0－4×1×3k＝－12k＞0，即k＜0.∴k＝－3.
解：由(1)得抛物线y＝x2－9.
∵点P在抛物线y＝x2－9上，且点P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或－2.
当x＝2时，y＝－5；当x＝－2时，y＝－5，
∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5)．
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且点P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
12．在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
乙写错了常数项，列表如下：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y甲
…
6
3
2
3
6
…
x
…
－1
0
1
2
3
…
y乙
…
－2
－1
2
7
14
…
通过上述信息，解决以下问题：
(1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x_______时，y的值随x值的增大而增大；
≥－1
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：若方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，即x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根，
则Δ＝4－4(3－k)＞0，
解得k＞2.(共33张PPT)
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26．3 实践与探索
第26章
二次函数
第1课时 用二次函数解决实际中
“抛物线”型的最值应用
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C
20
s
C
见习题
B
D
B
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见习题
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9
见习题
【答案】C
A．－20
m
B．10
m
C．20
m
D．－10
m
【答案】B
20
s
4．【2020·山西】竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5
m的高处以20
m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )
A．23.5
m
B．22.5
m
C．21.5
m
D．20.5
m
C
5．【中考·临沂】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．给出下列结论：
①小球在空中经过的路程是40
m；
②小球抛出3
s后，速度越来越快；
③小球抛出3
s时速度为0；
④小球的高度h＝30
m时，t＝1.5
s.
其中正确的是( )
A．①④
B．①②
C．②③④
D．②③
D
6.【中考·北京】跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋
bx＋c(a≠0)，如图记录了某运动员
起跳后的x与y的三组数据，根据上
述函数模型和数据，
可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )
A．10
m
B．15
m
C．20
m
D．22.5
m
【答案】B
(1)求该抛物线对应的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6
m，宽为4
m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8
m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
8．【2020·台州】用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图①)．
科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的
小孔，那么从小孔射出水的射程(水
流落地点离小孔的水平距离)s(单位：
cm)与h的关系为s2＝4h(H－h)．
应用思考：现用高度为20
cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离为h
cm处开一个小孔．
(1)写出s2与h的关系式，并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
解：∵s2＝4h(H－h)，
∴当H＝20时，s2＝4h(20－h)＝－4(h－10)2＋400.
∴当h＝10时，s2有最大值400，
∴当h＝10时，s有最大值20.
即当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20
cm.
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a、b，要使两孔射出水的射程相同，求a、b之间的关系式；
解：要使两孔射出水的射程相同，则有：
4a(20－a)＝4b(20－b)，∴20a－a2＝20b－b2，
∴a2－b2＝20a－20b，∴(a＋b)(a－b)＝20(a－b)，
∴(a－b)(a＋b－20)＝0，∴a－b＝0或a＋b－20＝0，
∴a＝b或a＋b＝20.
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16
cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
9．【2020·绍兴】如图①，排球场长为18
m，宽为9
m，网高为2.24
m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9
m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，
高度为2.88
m，即BA＝2.88
m，这时水平距离OB＝
7
m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②.
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
解：如图，过点P作底线的平行线PQ，过点O作边线的平行线OQ，两线交于点Q，连结PO.(共34张PPT)
HS版九年级下
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象与性质
第26章
二次函数
第4课时 二次函数y＝ax2＋
bx＋c的图象与性质
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D
C
B
B
A
C
D
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C
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A
见习题
C
见习题
13
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见习题
见习题
1．【中考·济宁】将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是( )
A．y＝(x－4)2－6
B．y＝(x－1)2－3
C．y＝(x－2)2－2
D．y＝(x－4)2－2
D
2．【2020·孝感】将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的表达式为( )
A．y＝－x2－2
B．y＝－x2＋2
C．y＝x2－2
D．y＝x2＋2
A
3．【中考·重庆】抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是( )
A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
C
4．【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( )
A．y3＜y2＜y1
B．y3＜y1＜y2
C．y2＜y3＜y1
D．y1＜y3＜y2
B
5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1.
下列判断正确的是( )
A．乙错，丙对
B．甲和乙都错
C．乙对，丙错
D．甲错，丙对
【点拨】y＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为(2，4)，
∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，
∴甲、乙的说法正确；
若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，
∴丙的说法不正确；故选C.
【答案】C
6．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最大值－1，有最小值－2
B．有最大值0，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1
D．有最大值7，有最小值－2
D
7．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．abc＜0，b2－4ac＞0
B．abc＞0，b2－4ac＞0
C．abc＜0，b2－4ac＜0
D．abc＞0，b2－4ac＜0
B
【点拨】由y＝ax2＋bx＋c的图象可知a＜0，b＞0，c＜0，所以C选项符合题意，故选C.
【答案】C
9.【2020·泰安】在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )
【点拨】根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的关系即可得出a，b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论，故选C.
【答案】C
A
12．【2020·温州】已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)．
(1)求a、b的值；
(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
解：由(1)得函数表达式为y＝x2－4x＋1，
把点(5，y1)的坐标代入y＝x2－4x＋1中，得y1＝6，
∴y2＝12－y1＝6.∴y1＝y2.
又∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴m＝－1.
13．【2020·河南】如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A、B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式及点G的坐标；
解：∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A、B，∴点B(0，c)，
∵OA＝OB＝c，∴点A(c，0)，
∴0＝－c2＋2c＋c，∴c＝3或c＝0(舍去)，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴点G的坐标为(1，4)．
(2)点M、N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M、N之间(含点M、N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点M、N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为(－2，－5)或(4，－5)，点N坐标为(6，－21)，∵点Q为抛物线上点M、N之间(含点M、N)的一个动点，∴－21≤yQ≤4或－21≤yQ≤－5.
14．【中考·台州】已知函数y＝x2＋bx＋c(b、c为常数)的图象经过点(－2，4)．
(1)求b、c满足的关系式；
解：将点(－2，4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得4－2b＋c＝4，∴c＝2b.
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数表达式；
(3)若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【点拨】本题利用分段讨论法，将b的值分成几段进行讨论．(共36张PPT)
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26．2 二次函数的图象与性质
第26章
二次函数
26．2.1 二次函数y＝ax2
的图象与性质
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见习题
A
1．若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点( )
A．(2，4)
B．(－2，－4)
C．(－4，2)
D．(4，－2)
2．关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有( )
①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称轴都是y轴；③它们的图象都经过点(0，0)；④二次函数y＝2x2的图象开口向上，二次函数y＝－2x2的图象开口向下；⑤它们的图象关于x轴对称．
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
A
【点拨】抛物线的开口大小由二次项系数a的绝对值的大小确定，二次项系数的绝对值越大，开口越小．故选A.
【答案】A
4.【中考·山西】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆、拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——
抛物线)在同一竖直平面
内，与拱脚所在的水平
面相交于A，B两点．
拱高为78
m(即最高点O到AB的距离为78
m)，跨径为90
m(即AB＝90
m)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系．则此抛物线型钢拱的函数表达式为( )
【答案】B
5．【中考·呼和浩特】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
D
D
7．对于二次函数y＝－x2，下列描述正确的是( )
A．图象开口向上
B．函数的最小值为－1
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【点拨】由于a＝－1，所以图象开口向下，且最高点是原点，所以函数的最大值为0.又因为图象开口向下，所以当x＜0时，y随x的增大而增大．
【答案】D
8.【中考·连云港】已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )
A．y1＞0＞y2
B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0
D．y2＞y1＞0
【点拨】∵y＝ax2(a＞0)，∴抛物线开口向上，对称轴是y轴．又∵A(－2，y1)关于y轴对称的点的坐标为(2，y1)，且0<1<2，∴y1＞y2＞0，故选C.
【答案】C
【答案】A
10．已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．
错解：当x＝－1时，y＝(－1)2＝1；
当x＝4时，y＝42＝16.
∴在－1≤x≤4这个范围内，函数y＝x2的最小值是1，最大值是16.
诊断：－1≤x≤4既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这个范围内对应的函数值y随x的变化情况要分段研究．实际上，当x＝0时，函数取得最小值0.而当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16，所以最大值为16.
正解：∵－1≤x≤4包含了x＝0，∴函数y＝x2的最小值为0.当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16.
∴当－1≤x≤4时，函数y＝x2的最大值为16，最小值为0.
11．已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
解：根据题意，得m2＋3m－2＝2，且m＋3≠0，
∴m＝－4或m＝1.
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
解：∵函数图象的开口向下，
∴m＋3＜0.∴m＜－3.∴m＝－4.
∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下．
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
解：∵函数有最小值，∴m＋3＞0.
∴m＞－3.∴m＝1.
∴当m＝1时，该函数有最小值．
12．根据下列条件分别求a的值或取值范围．
(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值．
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线．
解：由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1.
又由题意知a＞0，∴a＝1.
13．已知函数y＝ax2(a≠0)的图象与直线y＝2x－3交于点A(1，b)．
(1)求a和b的值；
解：把点A(1，b)的坐标代入y＝2x－3
得b＝2×1－3＝－1，
把点A(1，－1)的坐标代入y＝ax2得a＝－1.
(2)当x取何值时，二次函数y＝ax2(a≠0)中的y随x的增大而增大？
解：∵a＝－1，
∴二次函数为y＝－x2，它的图象开口向下，
对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
(3)求二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与直线y＝2x－3的另一个交点B的坐标．
14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝kx在第一象限内交于点A(2，4)．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：将A(2，4)的坐标代入y＝ax2得4＝4a，∴a＝1.
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2.
【点拨】本题利用分类讨论思想，分别讨论等腰三角形OAP中OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP的情况，不易因漏解而致错．
(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【点拨】本题利用分类讨论思想，分别讨论等腰三角形OAP中OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP的情况，不易因漏解而致错．(共34张PPT)
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用二次函数解实际应用问题的六种常见类型
第26章
二次函数
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1．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16
m，
AE＝8
m，抛物线的顶点C到ED
的距离是11
m，以ED所在的直
线为x轴，抛物线的对称轴为
y轴建立平面直角坐标系．
(1)抛物线对应的函数表达式是______________________；
2．为备战2021年东京奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场的长度OD为18
m，位于球场中线处球网的高度AB为2.43
m，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8
m的C点向正前方飞出，排球的飞行路线是一条抛物线．当排球运行至离点O的水平距离OE为7
m时，
到达最高点G，建立如图所示
的平面直角坐标系．
(1)当排球上升的最大高度为3.2
m时，求排球飞行的高度y(单位：
m)与水平距离x(单位：
m)的函数表达式(不要求写自变量x的取值范围)；
解：根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7，3.2)，
∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－7)2＋3.2.
(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5
m的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1
m，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明；
(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少(排球压线属于没出界)?
3．【2020·营口】某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价)，若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(瓶)．
(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
解：设每天的销售利润为w元，则有
w＝(－40x＋880)(x－16)＝－40(x－19)2＋360，
∵－40＜0，∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360.
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．
4．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80
m的围
网在水库中围成了如图所示的①
②③三块矩形区域，而且这三块
矩形区域的面积相等．设BC的长
度是x
m，矩形区域ABCD的面积
为y
m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围．
(2)当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？
5．如图，△ABC是边长为3
cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1
cm/s，当点
P运动到B时，两点均停止运
动，设P点运动时间为t
s.
(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
(2)设四边形APQC的面积为y
cm2，求y关于t的函数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小面积．
6．【中考·资阳】某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1(元)与采购数量x1(台)满足y1＝－20x1＋1
500(0＜x1≤20，x1为整数)；冰箱的采购单价y2(元)与采购数量x2(台)满足y2＝－10x2＋1
300(0＜x2≤20，x2为整数)．
(2)该商家分别以1
760元和1
700元的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
解：设总利润为W元，y2＝－10x2＋1
300＝－10
(20－x1)＋1
300＝10x1＋1
100，则W＝(1
760－y1)
x1＋(1
700－y2)x2＝1
760x1－(－20x1＋1
500)x1＋
(1
700－10x1－1
100)(20－x1)＝1
760x1＋20x21－
1
500x1＋10x21－800x1＋12
000＝30x21－540x1＋
12
000＝30(x1－9)2＋9
570.
当x1＞9时，W随x1的增大而增大，∵11≤x1≤15，
∴当x1＝15时，W最大＝30×(15－9)2＋9
570＝10
650.
答：采购空调15台时总利润最大，最大利润为
10
650元．
7．【中考·衢州】某宾馆有若干间标准房，当每间标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170～240元之间(含170元、240元)浮动时，每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表：
x(元)
…
190
200
210
220
…
y(间)
…
65
60
55
50
…
(1)根据所给数据在如图所示的坐标系中描出相应的点，并画出图象．
解：如图所示．
(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(3)设客房的日营业额为W(元)．若不考虑其他因素，问宾馆每间标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
∴在170≤x≤240范围内，W随x的增大而减小．
∴当x＝170时，W取得最大值，最大值为12
750.
答：宾馆每间标准房的价格定为170元时，客房的日营业额最大，最大为12
750元． (共44张PPT)
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二次函数的图象和性质的九种常见
类型
第26章
二次函数
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B
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B
1．【中考·德州】函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
2．【2020·温州】已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)．
(1)求a、b的值；
(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
解：由(1)得函数表达式为y＝x2－4x＋1，
把点(5，y1)的坐标代入y＝x2－4x＋1中，得y1＝6，
∴y2＝12－y1＝6.∴y1＝y2，
∵对称轴为直线x＝2，∴m＝4－5＝－1.
4．【中考·杭州】设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；
解：设y＝0，则0＝ax2＋bx－(a＋b)，
∵Δ＝b2－4a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0，
∴方程有两个不相等的实根或两个相等的实根．
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个．
(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的两个，求该二次函数的表达式；
(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.
证明：当x＝2时，y＝m，
∴m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＞0①，
∵a＋b＜0.∴－a－b＞0②，①②相加得2a＞0，
∴a＞0.
5．【2020·威海】已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1的顶点为A，
点B的坐标为(3，5)，如图所示．
(1)求抛物线过点B时顶点A的坐标；
解：∵抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1过点B(3，5)，
∴把B(3，5)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，整理得m2－4m＋3＝0，
解得m1＝1，m2＝3.
当m＝1时，y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
其顶点A的坐标为(1，1)；
当m＝3时，y＝x2－6x＋14＝(x－3)2＋5，
其顶点A的坐标为(3，5)；
综上，顶点A的坐标为(1，1)或(3，5)．
(2)点A的坐标记为(x，y)，求y与x的函数表达式；
解：∵y＝x2－2mx＋m2＋2m－1＝(x－m)2＋2m－1，
∴顶点A的坐标为(m，2m－1)．
∵点A的坐标记为(x，y)，
∴x＝m.∴y＝2x－1.
(3)已知C点的坐标为(0，2)，当m取何值时，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1与线段BC只有一个交点．
解：由(2)可知，抛物线的顶点在直线y＝2x－1上运动，且形状不变，由(1)知，当m＝1或3时，抛物线过B(3，5)，
把C(0，2)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，整理得m2＋2m－1＝2，解得m＝1或－3，
∴当m＝1或－3时，抛物线经过点C(0，2)，
如图，当m＝－3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点(即线段CB的端点)，
当m＝1时，抛物线同时
过点B、C，不合题意，
综上可得，m的取值范围
是－3≤m≤3且m≠1.
6．【2020·伊春】如图，已知二次函数y＝－x2＋(a＋1)x－a与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6.
(1)求a的值；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC.若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：∵a＝－3，∴C(0，3)．
∵S△ABP＝S△ABC.∴P点的纵坐标为±3.
7．【2020·天水】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A(－2，0)，点C的坐标为C(0，6)，对称轴
为直线x＝1.点D是抛物线上一个动点，
设点D的横坐标为m(1＜m＜4)，连结
AC、BC、DC、DB.
(1)求抛物线的函数表达式；
解：过点D作DE⊥x轴于点E，交BC于点G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于点F，如图，
(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)m＝________，点C的坐标为________；
6
(2，0)
(2)若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数的图象于点E，求△ODE面积的最大值．
②求此函数的最大值．
(2)已知线段AB的两个端点坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．
(3)当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，求n的取值范围．
解：当函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，此函数图象与直线y＝4，y＝－4恰有4个交点．
设x＜n时图象为β，x≥n时图象为α.
③在图②之后的一段时间内，不断增大n(n取正数)，直到如图③所示的情况．
对于α，当x＝n时，－n2＋n2＋n＝4，
解得n＝4.
而此时β的顶点坐标恰好为(2，4)，
所以此时函数图象上到x轴的距离
等于4的点恰好有4个．(共44张PPT)
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26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象与性质
第26章
二次函数
第3课时 二次函数y＝
a(x－h)2＋k的图象与性质
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(2，－5)
C
C
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见习题
①②④
见习题
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见习题
见习题
1．【2020·哈尔滨】将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为( )
A．y＝(x＋3)2＋5
B．y＝(x－3)2＋5
C．y＝(x＋5)2＋3
D．y＝(x－5)2＋3
D
2．【2020·绥化】将抛物线y＝2(x－3)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的表达式是( )
A．y＝2(x－6)2
B．y＝2(x－6)2＋4
C．y＝2x2
D．y＝2x2＋4
C
3．【2020·鸡西】将抛物线y＝(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是________．
(2，－5)
4．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝－1
C．顶点坐标是(1，2)
D．与x轴有两个交点
【点拨】y＝(x－1)2＋2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，2)，与x轴没有交点，故选C.
【答案】C
5．【中考·益阳】若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1
B．m＞0
C．m＞－1
D．－1＜m＜0
【答案】B
6．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )
A．y＝(x－2)2＋1
B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3
D．y＝(x＋2)2－3
C
7.二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
【点拨】由图象可知抛物线的对称轴x＝－m＞0，∴m＜0.顶点在第四象限，∴n＜0，故y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限．故选C.
【答案】C
8．【2020·甘孜州】如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)、B两点，下列说法错误的是( )
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝－1
C．点B的坐标为(1，0)
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
D
9.【2020·南京】下列关于二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)的结论：①该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0，1)；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上．其中所有正确结论的序号是________．
【点拨】①∵二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)与函数y＝－x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y＝－(x－m)2＋m2＋1中，令x＝0，则y＝－m2＋m2＋1＝1，∴该函数的图象一定经过点(0，1)，故结论②正确；
③∵y＝－(x－m)2＋m2＋1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；
④∵该函数的图象的顶点坐标为(m，m2＋1)，∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上，故结论④正确．
【答案】①②④
【点拨】结合二次函数的增减性及图象的开口方向、对称轴进行解答即可．
【答案】D
11．【中考·泰州】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，
其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求tan
∠ABC.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
(1)求抛物线F1的表达式；
(2)如图②，将抛物线F1先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线F2，
若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，
连结BD、CD、BC.①求点D的坐标；
②判断△BCD的形状，并说明理由；
∵D(－1，1)，
∴BD2＝(2＋1)2＋(1－0)2＝10，
CD2＝(0＋1)2＋(4－1)2＝10，
BC2＝22＋42＝20，
∴BD2＋CD2＝BC2，且BD＝CD，
∴△BDC是等腰直角三角形．
(3)在(2)的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
③当∠BPD＝90°时，且BP＝DP，有BD2＝PD2＋PB2，如图，
当△BDP为等腰直角三角形时，
点P1和P2不在抛物线F2上，
此种情况不存在这样的点P；
综上，点P的坐标(1，－3)或(－2，－2)．
(1)当m＝5时，求n的值；
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围；
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
解：∵点A与点C不重合，∴m≠1.
∵抛物线的顶点A的坐标是(m，4)，
∴抛物线的顶点在直线y＝4上．(共33张PPT)
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26．2.3 求二次函数的表达式
第26章
二次函数
4
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A
A
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D
C
见习题
见习题
1．已知二次函数y＝ax2＋bx，阅读下面的表格信息，由此可知y与x的函数表达式是________．
x
－1
1
y
0
2
【答案】y＝x2＋x
2.一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状相同，开口方向也相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的表达式为( )
A．y＝－2(x－1)2＋3
B．y＝－2(x＋1)2＋3
C．y＝－(2x＋1)2＋3
D．y＝－(2x－1)2＋3
B
【答案】A
4．若二次函数y＝x2＋bx＋5，配方后为y＝(x－3)2＋k，则b与k的值分别为( )
A．－6，－4
B．－6，4
C．6，4
D．6，－4
A
C
6.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则这个二次函数的表达式为( )
A．y＝－x2＋2x＋3
B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝－x2＋2x－3
D．y＝－x2－2x＋3
【答案】D
7．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
若输入的数是x时，输出的数是y，y是x的二次函数，则y与x的表达式为____________．
y＝x2＋1
输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…
2
5
10
17
26
…
8．【2020·长沙】“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．
在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：p＝at2＋bt＋c(a≠0，a、b、c是常数)，如图记录了
三次实验的数据．
根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟
B．4.05分钟
C．3.75分钟
D．4.25分钟
【答案】C
C
【点拨】由抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO＝∠ACB，再结合平行线的性质易得出∠BAC＝∠ACB，故AB＝BC，从而易求得AB＝AD；
过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC·OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，可得抛物线的表达式，根据以上计算或推理，对各个选项进行分析即可．
【答案】D
11．【2020·宁波】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)．
(1)求A、C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；
解：把B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，
得0＝a＋4－3，解得a＝－1，
∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴A(2，1)，
∵对称轴为直线x＝2，点B、C关于直线x＝2对称，
∴C(3，0)，∴当y＞0时，1＜x＜3.
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
解：易知D(0，－3)，
∴点D平移到A，抛物线向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，可得抛物线的表达式为y＝－(x－4)2＋5.
12．【中考·菏泽】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，
C(2，2)两点．
(1)试求抛物线的函数表达式；
(2)记抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；
如图，由B，C两点坐标易得直线BC的函数表达式为y＝－x＋4，作抛物线的对称轴，交BC于点H，则点H的坐标为(1，3)．(共32张PPT)
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26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象与性质
第26章
二次函数
第1课时 二次函数y＝ax2＋k
的图象与性质
4
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A
B
C
见习题
13
14
15
见习题
见习题
见习题
C
1．二次函数y＝x2＋1的图象大致是( )
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
B
C
4.【中考·泰安】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )
【点拨】∵n2≥0，∴A错误；∵二次函数y＝x2＋m的二次项系数为1，∴B错误，由C、D图知m＜0，
∴－m＞0，故选D.
【答案】D
5．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( )
A．最小值为2
B．图象与x轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．图象的对称轴是y轴
C
6．【中考·绍兴】已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法正确的是( )
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0y2
D．若x1y2
D
7.点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝(a2＋1)x2＋2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＞y2＞y3
C．y2＞y1＞y3
D．y2＜y1＜y3
【点拨】∵a2＋1≥1，∴二次函数y＝(a2＋1)x2＋2的图象开口向上，对称轴是y轴．由图象的性质可知，点离y轴越远，点的纵坐标就越大，∴y3>y2>y1，故选A.
【答案】A
8．【2020·上海】如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是________．
y＝x2＋3
9．抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2
( )得到的．
A．向上平移2个单位
B．向下平移2个单位
C．向上平移1个单位
D．向下平移1个单位
C
【答案】A
11．已知函数y＝2xm2－4m－3＋(m－5)的图象是一条抛物线，且这个函数的最小值是负数，则m的值为( )
A．5
B．－1
C．－5或1
D．5或－1
【点拨】根据二次函数的定义，解得m＝5或m＝－1.因为该函数的最小值是负数，所以该抛物线的顶点在x轴的下方，即m－5＜0，所以m＝－1.
B
【易错警示】本题的易错之处是对题目中“且这个函数的最小值是负数”理解不深刻，由此导致解的范围扩大，因而出现误选D的情况．
(2)画出抛物线y＝ax2＋k.
解：抛物线如图所示．
13．二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象经过点A(1，－1)，B(2，5)．
(1)求该函数的表达式；
(2)若点C(－2，m)，D(n，7)也在函数的图象上，求m、n的值．
14．【中考·衡阳】如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：∵点A为直线y＝x＋1与x轴的交点，
∴A(－1，0)．∵点B的横坐标为2，
∴将x＝2代入y＝x＋1可求得y＝3，
∴B(2，3)．
∵抛物线顶点在y轴上，
(2)判断△ABM的形状，并说明理由．
解：△ABM为直角三角形，理由如下：由(1)中求得的抛物线对应的函数表达式为y＝x2－1可知M点的坐标为(0，－1)，
15．【中考·安徽】一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．
解：由题意得k＋4＝2，解得k＝－2.
易知y＝ax2＋c图象的顶点为(0，4)，∴c＝4.
把点(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4，得a＋4＝2，
解得a＝－2.
(1)求k、a、c的值；
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B、C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数表达式，并求W的最小值．(共18张PPT)
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26．3 实践与探索
第26章
二次函数
第5课时 二次函数图象信息题
的四种常见类型
4
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1
2
3
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A
D
A
见习题
B
x1＝0，x2＝2
D
1．【2020·滨州】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，且a≠0)如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a＋2b＋c＞0；④3a＋c＞0；⑤a＋b≤m(am＋b)(m为任
意实数)；⑥当x＜－1时，y随x的增大
而增大．其中结论正确的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
③当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＜0，故③错误；
④当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，
∴3a＋c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y的值最小，此时y＝a＋b＋c，
而当x＝m时，y＝am2＋bm＋c，
∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c，
∴a＋b≤am2＋bm，即a＋b≤m(am＋b)，故⑤正确，
⑥当x＜－1时，y随x的增大而减小，故⑥错误．
故选A.
【答案】A
2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1A．y1≤y2
B．y1＜y2
C．y1≥y2
D．y1＞y2
B
3．【中考·黄石】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是( )
A．x＜－1
B．x＞3
C．－1＜x＜3
D．x＜－1或x＞3
D
4．如图，一次函数y1＝kx＋n与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( )
A．－1≤x≤9
B．－1≤x＜9
C．－1＜x≤9
D．x≤－1或x≥9
A
5.【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么关于x的一元二次方程ax2＋bx＝0的根是________________．
【答案】x1＝0，x2＝2
6．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象正确的是( )
D
7．【中考·广州】已知抛物线y1＝－x2＋mx＋n，直线y2＝kx＋b，y1的对称轴与y2交于点A(－1，5)，点A与y1的顶点B的距离是4.
(1)求y1的表达式；
(2)若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的表达式．
解：①当y1＝－x2－2x时，解－x2－2x＝0，
得x＝0或－2，
∴抛物线与x轴的交点是(0，0)和(－2，0)，
∵y2随着x的增大而增大，且y2过点A(－1，5)，
∴y1与y2都经过x轴上的同一点(－2，0)．
②当y1＝－x2－2x＋8时，解－x2－2x＋8＝0，
得x＝－4或2，
∴抛物线与x轴的交点是(－4，0)和(2，0)．
∵y2随着x的增大而增大，且y2过点A(－1，5)，
∴y1与y
2都经过x轴上的同一点(－4，0)．(共66张PPT)
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全章热门考点整合应用
第26章
二次函数
4
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见习题
D
见习题
见习题
B
见习题
见习题
见习题
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见习题
见习题
B
12
C
13
14
D
见习题
1．已知函数y＝(m＋3)xm2＋4m－3＋5是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向上？
解：∵函数图象的开口向上，
∴m＋3>0.∴m>－3.∴m＝1.
∴当m＝1时，该函数图象的开口向上．
(3)当m为何值时，该函数有最大值？
解：∵函数有最大值，∴m＋3<0，
∴m<－3.∴m＝－5.
∴当m＝－5时，该函数有最大值．
2．【2020·德州】二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是( )
A．若(－2，y1)，(5，y2)是函数图象上的两点，则y1＞y2
B．3a＋c＝0
C．方程ax2＋bx＋c＝－2有两个
不相等的实数根
D．当x≥0时，y随x的增大而减小
D
3．【2020·常德】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：
①b2－4ac＞0；②abc＜0；
③4a＋b＝0；④4a－2b＋c＞0.
其中正确结论的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a＋b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，∴abc＜0，故②正确；
由图象知，当x＝－2时，y＜0，
∴4a－2b＋c＜0，故④错误；
故正确的结论有3个．故选B.
【答案】B
4．【中考·乐山】已知关于x的一元二次方程mx2＋(1－5m)x－5＝0(m≠0)．
(1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
证明：∵Δ＝(1－5m)2－4m×(－5)
＝1＋25m2－10m＋20m
＝25m2＋10m＋1
＝(5m＋1)2≥0，
∴无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若抛物线y＝mx2＋(1－5m)x－5与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且|x1－x2|＝6，求m的值；
(3)若m＞0，点P(a，b)与Q(a＋n，b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不重合)，求代数式4a2－n2＋8n的值．
5．【2020·青岛】某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4
m，宽AB＝3
m，抛物线的最高点E到BC的距离为4
m.
(1)按如图①所示的直角坐标系，抛
物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示．
求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G、M在AD上，点N、F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2
m，求每个B型
活动板房的成本是多少？(每个B型
活动板房的成本＝每个A型活动板
房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)
(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？
∵－2＜0，
∴当n≥620时，w随n的增大而减小，
∴当n＝620时，w有最大值，为19
200.
答：公司将销售单价定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润最大，最大利润是19
200元．
6．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距(A与B间的水平距离)为6
m，到地面的距离AO和BD均为0.9
m，身高为1.4
m的小丽站在距点O的水平距离为1
m的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直
角坐标系，设此抛物线对应的
函数表达式为y＝ax2＋bx＋0.9.
(1)求该抛物线对应的函数表达式(不考虑自变量的取值范围)；
(2)如果小华站在点O、D之间，且离点O的距离为3
m，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；
解：把x＝3代入y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9，
得y＝－0.1×32＋0.6×3＋0.9＝1.8.
即小华的身高是1.8
m.
(3)如果身高为1.4
m的小丽站在点O、D之间，且离点O的距离为t
m，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围．
解：1＜t＜5.
7．【2020·黄冈】网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2
000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式：y＝－100x＋5
000.
经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4
000
kg时，每千克成本价格将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元)．
(1)请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
解：当y≥4
000，即－100x＋5
000≥4
000时，x≤10.
∴当6≤x≤10时，W＝(x－6＋1)(－100x＋5
000)－2
000＝－100x2＋5
500x－27
000；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
当10＜x≤30时，W＝－100x2＋5
600x－32
000＝－100(x－28)2＋46
400.
∴当x＝28时，W有最大值为46
400.
∵46
400＞18
000，
∴当销售单价定为28元/kg时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46
400元．
(3)当W≥40
000时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg(a＜4)的相关费用，若此时日获利的最大值为42
100元，求a的值．
解：∵40
000＞18
000，
∴10＜x≤30，
∴W＝－100x2＋5
600x－32
000.
当W＝40
000时，40
000＝－100x2＋5
600x－32
000，
解得x1＝20，x2＝36.
∴当20≤x≤36时，W≥40
000.
又∵10＜x≤30，∴20≤x≤30.
此时，日获利W1＝(x－6－a)(－100x＋5
000)－2
000＝－100x2＋(5
600＋100a)x－32
000－5
000a，
8．【2020·南充】某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某种设备，设备的生产成本为10万元/件．
(1)如图，设第x(0＜x≤20)个生产周期设备售价为z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z与x的函数关系式(写出x的范围)．
(2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x＋40(0＜x≤20)．在(1)的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？(利润＝收入－成本)
解：设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝(16－10)×(5x＋40)＝30x＋240，
由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12＋240＝600.
9．【2020·攀枝花】如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
解：∵A(－1，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∴设抛物线所对应的函数表达式为y＝a(x＋1)(x－2)，
将C(0，4)的坐标代入y＝a(x＋1)(x－2)，整理得4＝－2a，解得a＝－2，
∴该抛物线所对应的函数表达式为y＝－2(x＋1)(x－2)＝－2x2＋2x＋4.
(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
解：如图，连结OP，设点P的坐标为
(m，－2m2＋2m＋4)，且m＞0，
∵A(－1，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∴OA＝1，OC＝4，OB＝2，
10．某市“建立社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备的费用(万元)与大棚面积(公顷)的平方成正比，比例系数为0.9；另外种植每公顷蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．
(1)某基地的菜农共修建大棚x公顷，当年收益(扣除修建和种植成本后)为y万元，写出y关于x的函数表达式．
解：y＝7.5x－(2.7x＋0.9x2＋0.3x)＝－0.9x2＋4.5x.
(2)除种子、化肥、农药投资只能当年使用外，其他设施3年内不需要增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大，收益就越大？如果不是，修建面积为多少时可以获得最大收益？请帮助工作组为基地修建大棚提一条合理化的建议．
解：设3年内每年的平均收益为z万元，根据题意，得
z＝7.5x－(0.9x＋0.3x2＋0.3x)＝－0.3x2＋6.3x＝－0.3(x－10.5)2＋33.075.
∴并不是修建大棚面积越大收益就越大，当修建面积为10.5公顷时可以获得最大收益．
建议：(答案不唯一)当大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降，修建面积不宜盲目扩大．
11．【2020·菏泽】一次函数y＝acx＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
B
12．【中考·天津】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y＝ax2＋
bx＋c
…
t
m
－2
－2
n
…
【答案】C
【答案】D
14．【中考·安徽】如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a、b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
解：如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E、F.
则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，
∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)．
∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.(共36张PPT)
HS版九年级下
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象与性质
第26章
二次函数
第5课时 用二次函数求几何
图形面积的最值
4
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6
7
1
2
3
5
B
D
见习题
D
B
－4≤m≤－2
B
8
见习题
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10
11
12
9
见习题
13
见习题
见习题
见习题
见习题
1．二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为( )
A．2
B．4
C．－4
D．16
B
B
D
3．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值情况是( )
A．a＝9
B．a＝5
C．a≤9
D．a≤5
4．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是________________．
5.若二次函数y＝x2＋ax＋5的图象关于直线x＝－2对称，且当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是______________．
【答案】－4≤m≤－2
6．已知一个直角三角形两直角边长之和为20
cm，则这个直角三角形的最大面积为( )
A．25
cm2
B．50
cm2
C．100
cm2
D．不确定
B
7．用一条长为40
cm的绳子围成一个面积为a
cm2的矩形，a的值不可能为( )
A．20
B．40
C．100
D．120
D
8.【2020·广州】对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果(单位：mm)：9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝________mm时，(a－9.9)2＋(a－10.1)2＋(a－10.0)2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果(单位：mm)：x1，x2，…，xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝________mm时，(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2最小．
9.【中考·金华】在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10
m，拴住小狗的10
m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域
面积为S
m2.
【点拨】拴住小狗的10
m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图①所示．
(1)如图①，若BC＝4
m，则S＝________；
【答案】88π
m2
(2)如图②，现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一等边三角形CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，
则在BC的变化过程中，当S取得
最小值时，边BC的长为________．
10．【中考·福建】如图，在足够大的空地上有一段长为a
m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100
m木栏．
(1)若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450
m2，求所利用旧墙AD的长；
解：设AB＝n
m，则AD＝BC＝(100－2n)m，
根据题意得n(100－2n)＝450，解得n1＝5，n2＝45，
当n＝5时，100－2n＝90＞20，不合题意，舍去；
当n＝45时，100－2n＝10，
答：AD的长为10
m.
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．
11．【2020·无锡】有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．
现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
(1)当x＝5时，求种植总成本；
(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
解：由题易知EF＝(20－2x)米，EH＝(30－2x)米，
则y＝(30＋30－2x)·x·20＋(20＋20－2x)·x·60＋(30－2x)(20－2x)·40＝－400x＋24
000(0＜x＜10)；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，求三种花卉的最低种植总成本．
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴－2x2＋60x－(－2x2＋40x)≤120，
解得x≤6，故0＜x≤6，
又∵y＝－400x＋24
000，
∴y随x的增大而减小，
故当x＝6时，y取得最小值为21
600，
即三种花卉的最低种植总成本为21
600元．
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12
mm，BC＝24
mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2
mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4
mm/s
的速度移动．已知P、Q分别从A、B同时出发，求△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数表达式，并求出t为何值时，△PBQ的面
积最大，最大值是多少？
13．【2020·河北】用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3.
(1)求W与x的函数表达式；
(2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗)．设薄板的厚度为x厘米，Q＝W厚－W薄．
①求Q与x的函数表达式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围]
