6.3.5 平面向量数量积的坐标表示课件（共23张PPT）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
第六章6.3平面向量基本定理及坐标表示
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.掌握平面向量数量积的坐标表示.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.
学习目标
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
则a·b＝ .
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝ 或|a|＝ .
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝

( ， )，|a|＝ .
(2)a⊥b? .

(3)cos θ＝ ＝ .
知识点　平面向量数量积的坐标表示
x1x2＋y1y2
x2＋y2
x2－x1
y2－y1
x1x2＋y1y2＝0
思考　若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？
答案　不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.
思考辨析 判断正误
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1y2－x2y1＝0.(　　)
2.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.(　　)
提示　当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0°，不是锐角.
3.两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(　　)
×
×
×
×
例1　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于
A.10 B.－10
C.3 D.－3
一、数量积的坐标运算
解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，
所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
√
反思感悟
进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系
(1)|a|2＝a·a.
(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
跟踪训练1　向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于
A.－1 B.0
C.1 D.2
√
解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，
则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
二、平面向量的模
解　∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
例2　已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，求a－2b及其模的大小.
反思感悟
求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方.
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
√
解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
三、平面向量的夹角、垂直问题
例3　(1)已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为
√
解析　因为|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，
设a与b的夹角为θ，
(2)设向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，若m⊥n，则实数x的值为
A.－1 B.1
C.2 D.3
√
解析　因为向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，m⊥n，
所以m·n＝(2x－1)×1＋3×(－1)＝2x－1－3＝0，解得x＝2.
反思感悟
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝ 判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
跟踪训练3　已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝____.
解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3).
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
7
1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于
1
2
3
4
5
√
解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
2.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为
1
2
3
4
5
√
a·b＝3×5＋4×12＝63.
1
2
3
4
5
3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于
A.1 B.
C.2 D.4
√
解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
1
2
3
4
5
4.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝ ，则b等于
A.(－3,6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6,3)
√
解析　由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，
又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).
1
2
3
4
5
5.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于
√
解析　由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.
再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，
1.知识清单：
(1)平面向量数量积的坐标表示.
(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量).

(3)cos θ＝ (θ为非零向量a，b的夹角).

2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.
课堂小结
谢谢聆听