6.1 平面向量的概念课件（共34张PPT）

6.1　平面向量的概念
第六章　平面向量及其应用
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
学习目标
1.向量：既有 又有 的量叫做向量.
2.数量：只有 没有 的量称为数量.
知识点一　向量的概念
大小
方向
大小
方向
1.有向线段
具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、 、 ，如图所示.
知识点二　向量的几何表示
方向
起点
方向
长度
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用 ).
3.模、零向量、单位向量
0
0
1
思考　“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
答案　错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.
1.平行向量：方向 的 向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a与b平行，记作 .
(2)规定：零向量与任意向量 .
2.相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做 向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
知识点三　相等向量与共线向量
相同或相反
非零
a∥b
平行
相等
相同
共线
思考　(1)平行向量是否一定方向相同？
答案　不一定；
(2)不相等的向量是否一定不平行？
答案　不一定；
(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？
答案　零向量；
(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
答案　平行(共线)向量.
思考辨析 判断正误
1.如果 .(　　)
提示　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
2.若a，b都是单位向量，则a＝b.(　　)
提示　a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b的方向可能不同.
3.力、速度和质量都是向量.(　　)
提示　质量不是向量.
4.零向量的大小为0，没有方向.(　　)
提示　任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.
×
×
×
×
例1　(多选)下列说法错误的有
A.向量 与向量 的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量都是相等的
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
一、向量的概念
√
解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.
√
√
反思感悟
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
跟踪训练1　下列说法中正确的是
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
√
解析　不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；
向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；
向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
二、向量的几何表示及应用
例2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
反思感悟
作向量的方法
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练2　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.






(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
解　根据相等向量的定义，所作向量b与向量a方向相同，且长度相等(作图略).
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝ ，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解　由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为 的圆(作图略).
三、相等向量与共线向量
例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与 共线的向量；
解　因为E，F分别是AC，AB的中点，
又因为D是BC的中点，
(2)写出模与 的模相等的向量；
(3)写出与 相等的向量.
反思感悟
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
跟踪训练3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.





(1)与 的模相等的向量有多少个？
解　与 的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.
(2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与 共线的向量有几个？
核心素养之逻辑推理
特殊向量的作用
典例　给出下列命题：
①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；
④若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确的是_____.(填序号)
④
解析　由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a＝0，则对于任意的向量b，都有a∥b，知①错误；
取b＝0，则对于任意的向量a，c都有a∥b，b∥c，知②错误；
两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知③错误；
由两个向量相等的概念可知④正确.
素养提升
(1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进行推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养.
(2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆.
例如：零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立.
1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是
A.单位圆 B.一段弧
C.线段 D.直线
1
2
3
4
5
√
2.(多选)下列说法错误的有
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的起点相同
C.若 ，则一定有直线AB∥CD
D.若向量 共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
√
解析　A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；
B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；
C错，直线AB与CD可能重合；
D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线.
1
2
3
4
5
√
√
√
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
√
所以四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形.
1
2
3
4
5
4.如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有________.(填序号)
①②③
∵A，O，C三点在一条直线上，
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)向量的基本概念.
(2)向量的几何表示.
(3)相等向量与共线向量(平行向量).
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视零向量这一特殊向量.
课堂小结
谢谢聆听