18.2.1 矩形的判定 同步练习 （Word版 含答案）

第十八章　平行四边形 18.2.1　矩形 矩形的判定
一、选择题
1．要想使平行四边形ABCD成为一个矩形，需要添加的条件是( )
A．∠A＋∠B＝180°　B．∠B＋∠C＝180° C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D
2．如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
3．下列关于矩形的说法中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否垂直 D．测量其内角是否有三个直角
5．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠BAC＝∠DCA　　　 B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
6．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，可使四边形EFGH为矩形的条件是( )
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC
7．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积为( )
A．2 B．3 C．4 D．4
二．填空题
8．如图是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝ 时，四边形ABCD的面积最大，最大值是 cm2.
9．若四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，BC＝4，AC＝5，那么平行四边形ABCD是 形．
10．命题“对角线相等的四边形是矩形”是 (填“真”或“假”)命题．
11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD．由其中三个条件能推出四边形ABCD成为矩形的是 (填序号)．
三、解答题
12. 如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
13. 如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AD＝4，∠AOD＝60°，求AB的长．
14. 已知：如图，D是△ABC的AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
15. 如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
(2)只需要添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形，请加以证明．
16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
(1)求证：△OEC为等腰三角形；
(2)连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
答案;
1---7 CDDDC CA
8. 90° 48
9. 矩
10. 假
11. ①②③或①②④或③⑤⑥或④⑤⑥
12. 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，∵点E、F分别为OB、OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．
13. (1)证明：在?ABCD中，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，又∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；　
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OD．又∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OD＝AD＝4，∴BD＝2OD＝8.
在Rt△ABD中，AB＝＝＝4.
14. 证明：(1)∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA．又∵MA＝MC，∠AMD＝∠CMN，∴△AMD≌△CMN(ASA)，AD＝CN.又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD＝AN；　
(2)∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，
∵四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，
∴四边形ADCN是矩形．
15. (1)证明：在△DCA和△EAC中，∴△DCA≌△EAC(SSS)；
(2)解：添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．理由如下：∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由(1)得，△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，∴四边形ABCD为矩形．
16. (1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，∴∠DEF＝∠ACB，即△OEC为等腰三角形；　
(2)解：当E为BC中点时，四边形AECD为矩形，∵AB＝AC，且E为BC中点，∴AE⊥BC，BE＝EC，∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD，∴AD∥EC，AD＝EC，
∴四边形AECD为平行四边形，又∵AE⊥BC，∴四边形AECD为矩形