2020-2021学年北师大版八年级数学下册 第一章　三角形的证明 同步单元训练卷（Word版 含答案）

北师大版八年级数学下册
第一章　三角形的证明
同步单元训练卷
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为(　　)
A．17
B．15
C．13
D．13或17
2．已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上任意一点，则下列结论正确的是(　　)
A．PQ≤5
B．PQ＜5
C．PQ≥5
D．PQ＞5
3．如图，下列三角形中，若AB＝AC，则能被直线分成两个小等腰三角形的是(　　)
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
4．下列命题的逆命题为假命题的是(　　)
A．等腰三角形“三线合一”
B．角平分线上的点到角两边距离相等
C．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．全等三角形对应角相等
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(　　)
A．3.5
B．4.2
C．5.8
D．7
6.
已知三角形三内角之间有∠A＝∠B＝∠C，它的最长边为10，则此三角形的面积为(　　)
A．20
B．10
C．5
D.
7．
有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？(　　)
A．△ABC三条角平分线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条高的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
8．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(　　)
A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．BD＝CE
D．BE＝CD
9．如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，延长BE到C，使EC＝AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线，两线相交于点D，连接AD.若AB＝3，DC＝4，则AD的长是(　　)
A．5
B．7
C．5
D．无法确定
10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是(　　)
A．AE＋AF＝AC
B．∠BEO＋∠OFC＝180°
C．OE＋OF＝BC
D．S四边形AEOF＝S△ABC
二．填空题（共8小题，3
8=24）
11．
用反证法证明命题：“△ABC中，若AB＝AC，则∠B，∠C都是锐角”首先应假设________________.
12.
等腰直角三角形底边上的高为4
cm，则该三角形的面积是________cm2.
13．
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝_______°.
14．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC等于84°，则∠OBC＝__________.
15．
如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝__
__°.
16．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为_______________.
17．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．
18．
如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD＝3，BE＝1，则DE＝________．
三．解答题（7小题，共66分）
19．(8分)
如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7.
(1)尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；
(2)求△ABE的周长．
20．(8分)
如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC.
(1)求∠C的度数；
(2)若CE＝1，求AB的长．
21．(8分)
如图，已知AD＝BC，AC＝BD.
(1)求证：△ADB≌△BCA；
(2)OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
22．(10分)
如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ABC，点P在AB上，如果AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，且BE＝CD.
(1)求证：CE＝AD；
(2)试确定△ABC的形状．
23．(10分)
如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的平分线BF交DE于点P，点P在△ABC内，连接PC.
(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式：
．
24．(10分)
如图，已知△ABC是边长为6
cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1
cm/s，点Q运动的速度是2
cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t
s，解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由；
(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
25．(12分)
如图，在△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过点A作AF⊥DE垂足为点F，DE交CB的延长线于点G，连接AG.
(1)求证：GA平分∠DGB；
(2)若S四边形DGBA＝6，AF＝，求FG的长．
参考答案
1-5ACDDD
6-10DDDCC
11.
∠B，∠C不都是锐角
12.
16
13.
82.5
14.
168°
15.
56
16.
(1，)
17．100°
18．2
19.解：(1)作图如图所示．
(2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC.
∵AB＝5，BC＝7，∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，即△ABE的周长为12.
20.
解：(1)∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，∴∠BAE＝∠B＝30°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE＝30°，即∠BAC＝60°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－60°－30°＝90°
(2)∵∠C＝90°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，CE＝1，∴AC＝，∴AB＝2
21.
解：(1)证明：在△ADB和△BCA中，∴△ADB≌△BCA(SSS)
(2)相等．理由：∵△ADB≌△BCA，∴∠ABD＝∠BAC，∴OA＝OB
22.
解：(1)证明：∵∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC.∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴∠ADC＝∠BEC＝90°.∵CD＝BE，∴Rt△CAD≌Rt△BCE(HL)，∴CE＝AD.
(2)△ABC为等腰直角三角形．由(1)知AC＝BC，△BCE≌△CAD，∴∠EBC＝∠ACD，∵∠EBC＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，即∠ACB＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形．
23.
解：(1)∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PD为BC的垂直平分线，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB.∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，∵∠A＝60°，∠ACP＝
(2)m＋3n＝120
24°，
∴∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝180°－∠A－∠ACP＝96°，∴∠ABP＝32°.
(2)∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB.
∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP＝n°.
∵∠A＝60°，∠ACP＝m°，∴∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝120°－m°，∴3∠ABP＝120°－m°，∴3n°＋m°＝120°.
24.
解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直角三角形．理由：∵AB＝AC＝BC＝6
cm，∴当点Q到达点C时，AP＝3
cm，∴点P为AB的中点．∴QP⊥BA(等腰三角形三线合一的性质)　(2)假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，则有BP＝BQ，∴6－t＝2t，解得t＝2，又∠B＝60°，∴当t＝2时，△BPQ是等边三角形
25.
解：(1)如图，过点A作AH⊥BC于点H，在△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴S△ABC＝S△ADE，又∵AF⊥DE，即×DE×AF＝×BC×AH，∴AF＝AH，又∵AF⊥DE，AH⊥BC，∴GA平分∠DGB.
(2)∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB，又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH，∴Rt△ADF≌Rt△ABH(HL)，∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6，易得Rt△AFG≌Rt△AHG，∴Rt△AFG的面积＝3，∵AF＝，∴×FG×＝3，解得FG＝4.
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