(共25张PPT)
BS版九年级下
第一章
直角三角形的边角关系
1.1
锐角三角函数
第1课时
正
切
4
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6
7
1
2
3
5
A
A
D
A
D
8
D
A
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10
11
12
9
13
见习题
见习题
D
见习题
见习题
A
D
3．一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么它的两个锐角的正切值( )
A．都没有变化
B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半
D．不能确定是否发生变化
A
4.【2020·常州】如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE，BCFG，连接EC，EG，则tan∠CEG＝________．
【答案】A
D
A
8．如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC．若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，上底宽是3
m，路基高是4
m，则路基的下底宽是( )
A．7
m
B．9
m
C．12
m
D．15
m
D
D
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan
A的值是一元二次方程5x2＋2x－3＝0的一个根，请求出AB，AC的长．
【点拨】本题的解题过程有三个关键环节：
①能根据tan
A的值的范围对解方程所得的根进行正确的取舍；②灵活运用正切的定义求得另一条直角边长；③在②的基础上能与勾股定理相结合求得直角三角形的斜边长．
11．如图，CD是一个平面镜，光线从点A射入经CD上的点E反射后照射到点B．设入射角为α(反射角等于入射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D．若AC＝3，BD＝6，CD＝12.求tan
α的值．
【点拨】利用等角代换法将∠α用∠A代替，求出∠A的正切值即可．
12．【2019·北京】如图，在菱形ABCD中，AC为对
角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF.
(1)求证：AC⊥EF.
【点拨】紧扣角相等则其三角函数值也相等这一特征，用等角代换法将已知角的三角函数值转化为直角三角形中与它相等的角的三角函数值．
(1)求证：AC⊥EF.
证明：连接BD，如图①所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD.
∵BE＝DF，∴AE＝AF.
∴易得EF∥BD.
∴AC⊥EF.
解：分别过点B，A作BM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为点M，N.(共28张PPT)
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第一章
直角三角形的边角关系
1.2
30°，45°，60°角的三角函数值
4
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1
2
3
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B
A
D
A
D
8
B
A
B
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13
见习题
见习题
A
A
B
14
见习题
15
16
见习题
见习题
B
D
A
【答案】B
A
D
A
B
A
A
11．已知α，β都是锐角，如果sin
α＝cos
β，那么α与β之间满足的关系是( )
A．α＝β
B．α＋β＝90°
C．α－β＝90°
D．β－α＝90°
B
15．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上．若BC＝2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
16．【2020·天水】为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
(1)求∠APB的度数；
解：由题意得，∠PAB＝90°－60°＝30°，∠ABP＝90°＋45°＝135°，
∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝180°－30°－135°＝15°.(共20张PPT)
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第一章
直角三角形的边角关系
1.6
利用三角函数测高
第1课时
视角在测量中的应用
4
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7
1
2
3
5
A
A
B
8
见习题
见习题
D
C
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见习题
10
见习题
11
见习题
A
2．【2019·河北】如图，从点C观测点D的仰角是( )
A．∠DAB
B．∠DCE
C．∠DCA
D．∠ADC
B
A
4.【2020·重庆】如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点(点A，B，C在同一直线上)，再沿斜坡DE方向前行78米到E点(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为( )(参考数据：sin
43°≈0.68，cos
43°≈0.73，tan
43°≈0.93)
A．23米
B．24米
C．24.5米
D．25米
【点拨】过点E作EF⊥CD于点F，过点E作EM⊥AC于点M，如图．
∵斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，
∴设EF＝x米，则DF＝2.4x米．在Rt△DEF中，∵EF2＋DF2＝DE2，即x2＋(2.4x)2＝782，解得x＝30，∴EF＝30米，DF＝72米，∴CF＝DF＋DC＝72＋78＝150(米)．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四边形EFCM是矩形，∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．
在Rt△AEM中，∵∠AEM＝43°，∴AM＝EM·tan
43°≈150×0.93＝139.5(米)，∴AC＝AM＋CM≈139.5＋30＝169.5(米)．
∴AB＝AC－BC≈169.5－144.5＝25(米)．故选D.
【答案】D
C
11．【2020·随州】如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D处测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．
(1)求A与C之间的距离；
解：由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝25米．∵CD＝5米，
∴AC＝AD＋CD＝25＋5＝30(米)
即A与C之间的距离是30米．(共22张PPT)
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第一章
直角三角形的边角关系
1.4
解直角三角形
第2课时
解直角三角形的八种常见类型
4
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7
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见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
8
见习题
见习题
见习题
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9
见习题
2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)若c＝10，求a，b的值；
(2)若a＝4，求b及∠B的值．
3．【中考·岳阳】某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80
cm，AC＝165
cm.
(1)求支架CD的长；
(2)求真空热水管AB的长(结果保留根号)．
(1)线段CD的长；
(2)sin∠DBE的值．
6．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过点D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.
(1)若△ABD是等边三角形，求DE的长；
7．如图，在△ABC中，AD，CE是高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，求cos∠DEB．
8．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得△BFE，点F落在边AD上．
(1)求证：△ABF∽△DFE.
证明：由题意可得∠A＝∠D＝∠C＝∠BFE＝90°，∴∠ABF＝90°－∠AFB，∠DFE＝180°－∠BFE－∠AFB＝90°－∠AFB.
∴∠ABF＝∠DFE.∴△ABF∽△DFE.
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)求直线AB对应的函数表达式．(共12张PPT)
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第一章
直角三角形的边角关系
阶段核心归类
构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型
4
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2
3
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【中考·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8
m，已知小汽车车门宽AO为1.2
m，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明
理由．(参考数据：sin
40°≈0.64，
cos
40°≈0.77，tan
40°≈0.84)
解：当车门打开角度∠AOB为40°时，车门不会碰到墙．理由如下：
如图，过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2
m，
∴AC＝AO·sin
∠AOC≈1.2×0.64＝0.768(m)．
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8
m，0.768
m＜0.8
m，∴车门不会碰到墙．
M
目N
B
返回
309
D
45°
60°
B
45
北
379
B
60
北
DLL
60°A
30(共23张PPT)
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第一章
直角三角形的边角关系
全章热门考点整合应用
4
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7
1
2
3
5
见习题
见习题
C
见习题
见习题
8
见习题
见习题
见习题
1．如图，根据提供的数据回答下列问题：
(1)在图①中，sinA＝______，cosA＝______，sin2A＋cos2A＝______；在图②中，sinA1＝______，cosA1＝______，sin2A1＋cos2A1＝______．
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一
般式表示出你的发现并加以证明．
1
1
(2)利用你发现的规律求解以下题目：
已知β是锐角，且满足sin
β＝3
cos
β，求sin
β，cos
β的值．
C
3．计算：
(1)tan
30°sin
60°＋cos230°－sin245°tan
45°；
?
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP＝a.
(1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试用含a的代数式表示CE的长；
(2)当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；
(1)求∠CAD的大小；
(2)求楼CD的高度(结果保留根号)．
6．【2019·台州】图①是一辆在平地上滑行的滑板车，图②是其示意图，已知车杆AB长92
cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6
cm，求把手A离地面的高度．(结果保留小数点后一位；参考数据：sin
70°≈0.94，cos
70°≈0.34，
tan
70°≈2.75)
【点拨】本题运用化斜为直法，通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形求解．
【点拨】求不规则图形的面积要将其转化为直角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添加辅助线，本题利用分割法将不规则四边形分割
为直角三角形和直角梯形，或者利用补形法
把不规则四边形转化为直角三角形求解．
解法1：如图①所示，过点B作BE∥AD交DC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，则BE⊥AB，EF⊥AD.
∴四边形ABEF是矩形．∴EF＝AB，AF＝BE.
∵∠ABC＝120°，∴∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝360°－90°－90°－120°＝60°.(共28张PPT)
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第一章
直角三角形的边角关系
1.5
三角函数的应用
第1课时
解直角三角形在实际中的一般应用
4
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2
3
5
24
D
1.5
8
见习题
D
B
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9
见习题
10
见习题
11
见习题
12
见习题
【答案】24
2．【2020·枣庄】如图，人字梯AB，AC的长都为2
m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD约是________m(结果精确到0.1
m，参考数据：sin
50°≈0.77，cos
50°≈0.64，tan
50°≈1.19)．
1.5
D
4．【2020·娄底】某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（
）
B
5．如图，AB是伸缩式遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不射入窗户，则AB的长是________m(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)．
【点拨】如图，延长AD交地面于E，
过点D作DF⊥CE于点F，则DF∥AB.
∴∠A＝∠FDE＝60°.
【答案】D
8．如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B，并测得其俯角α＝8°35′.已知观察所A的标高(当水位为0
m时的高度)为45.54
m，当时水位为＋2.34
m．求观察所A与船只B的水平距离(结果保留整数，参考数据：sin8°35′≈0.149，cos
8°35′≈0.989，
tan
8°35′≈0.151)．
易错总结：解题时容易弄错AC的高度，A处的标高(当水位为0
m时的高度)为45.54
m，当水位为＋2.34
m时，即水位上升了2.34
m，则AC的高度为45.54－2.34＝43.2(m)．
【点拨】测不易直接测量的物体的高度、河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和边的长度，选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
(1)公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
11．【中考·青海】如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2
m的影子CE，而当光线与地面的夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙脚C有25
m的距离(B，F，C在一条直线上)．
(1)求办公楼AB的高度；
12．【2020·衡阳】小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图①)，侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24
cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°.
(1)求OC的长．
(2)如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．(结果保留根号)(共28张PPT)
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第一章
直角三角形的边角关系
1.1
锐角三角函数
第2课时
正弦与余弦
4
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6
7
1
2
3
5
C
B
D
B
A
8
C
B
A
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10
11
12
9
13
见习题
见习题
A
见习题
见习题
14
见习题
C
D
【答案】B
A
B
A
7．【2020·杭州】如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则( )
A．c＝bsin
B
B．b＝csin
B
C．a＝btan
B
D．b＝ctan
B
B
C
9.【2020·娄底】如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L·cos
α，阻力臂L2＝l·cos
β，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是( )
A．越来越小
B．不变
C．越来越大
D．无法确定
【点拨】∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0.∴动力随着动力臂的增大而减小．∵杠杆向下运动时，α的度数越来越小，此时cos
α的值越来越大，且动力臂L1＝L?cos
α，
∴此时动力臂也越来越大．∴此时的动力越来越小．故选A.
【答案】A
10．已知x＝cos
α(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，求cos
α的值．
11．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.
(1)求AB的长．
(2)求sin
A，cos
A的值．
(3)sin
A与cos
B的值有怎样的关系？
12．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84.
(1)求tan
C的值．
(2)求sin
A的值．
解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D.
∵CA⊥CB，∴∠BCD＋∠ACO＝∠BCD＋∠CBD＝90°.∴∠ACO＝∠CBD.
∵∠AOC＝∠CDB＝90°，AC＝CB，
∴△AOC≌△CDB(AAS)．
∴DB＝OC＝3，CD＝AO.
(1)求反比例函数的表达式；
14．【2019·贵阳】如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD，CE.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形．
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AE∥BC.
∵DE＝AD，∴DE＝BC.
∴四边形BCED是平行四边形．(共15张PPT)
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第一章
直角三角形的边角关系
1.6
利用三角函数测高
第2课时
方位角在测量中的应用
4
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2
3
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【2020·绥化】如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100
km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？(结果保留整数，参考数据：sin
37°≈0.60，cos
37°
≈0.80，tan
37°≈0.75，sin
50°≈0.77，
cos
50°≈0.64，tan
50°≈1.19)
解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，易知四边形CDEF是矩形，∴CF＝DE，
3．【2019·连云港】如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25
n
mile.在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离．
4．【2020·黄冈】因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当游船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600
m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400
m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
(1)求A处到临皋亭P1处的距离；
(2)求临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离．(计算结果保留根号)(共24张PPT)
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第一章
直角三角形的边角关系
1.3
三角函数的计算
4
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7
1
2
3
5
A
B
A
A
A
8
27.8°
D
D
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11
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9
13
见习题
见习题
C
C
A
14
见习题
15
16
见习题
见习题
A
A
B
D
5．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是( )
A
6．已知α为锐角，且tan
α＝3.387，则下列各值中与α最接近的是( )
A．73°33′
B．73°27′
C．16°27′
D．16°21′
A
7.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科学计算器求∠A约等于( )
A．24°38′
B．65°22′
C．67°23′
D．22°37′
D
8．【中考·陕西】如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3
m，铅直高度BC为2.8
m，则∠A的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．
27.8°
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确的是( )
A．sin
A＝sin
B
B．tan
A＝tan
B
C．sin
A＝cos
B
D．cos
A＝cos
B
C
10．用计算器比较tan
25°，sin
27°，cos
26°的大小关系是( )
A．tan
25°26°27°
B．tan
25°27°26°
C．sin
27°25°26°
D．cos
26°25°27°
C
A
12．用计算器求sin
35°29′的值(结果精确到0.001)．
【点拨】误认为35°29′＝35.29°而导致出错．
解：sin
35°29′≈0.580.
(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立．
(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
14．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合，且点P到BA，BC的距离分别为PE，PF的长)．
(1)若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，试比较PE，PF的大小；
(2)若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α>β，请比较PE，PF的大小．
16．【2020·聊城】如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35
m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°.已知居民楼CD的高度为16.6
m，小莹的观测点N距地面1.6
m．求
居民楼AB的高度(结果精确到1
m，参考
数据：sin
55°≈0.82，cos
55°≈0.57，tan
55°≈1.43)
解：如图，过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F.
则AE＝MN＝CF＝1.6
m，EF＝AC＝35
m，∠BEN＝∠DFN＝90°，∴DF＝CD－CF＝16.6－1.6＝15(m)．
在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15
m.
∴EN＝EF－NF＝35－15＝20(m)．(共26张PPT)
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第一章
直角三角形的边角关系
1.5
三角函数的应用
第2课时
用解直角三角形解方位角、坡角(坡度)的应用
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B
2．【2020·济宁】一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是( )
A．15海里
B．20海里
C．30海里
D．60海里
C
【答案】B
4．【2020·泰安】如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26
m，斜坡AB的坡比为12：5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移________m时，
才能确保山体不滑坡．(取tan
50°≈1.2)
10
5.【中考·重庆】如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面内，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7
m，升旗台坡面CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝2
m，若旗杆底部到坡面
CD的水平距离BC＝1
m，则旗杆AB的
高度约为( )(参考数据：sin
58°
≈0.85，cos
58°≈0.53，tan
58°≈1.6)
A．12.6
m B．13.1
m
C．14.7
m
D．16.3
m
【答案】B
【答案】B
7．【2020·十堰】如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6
m的梯子，当梯子底端离墙面2
m时，此时人是否能够安全使用这架梯子(参考数据：sin
50°≈0.77，cos
50°≈0.64，sin
75°≈0.97，cos
75°≈0.26)?
解：作PN⊥BC于点N，如图，则四边形ABNP是矩形，
∴PN＝AB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.
9．【2020·荆门】如图，海岛B在海岛A的北偏东30°方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
(1)求∠ABE的度数．
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D.
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°.
∵AN∥BD，∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
而∠DBE＝180°－∠GBE＝180°
－75°＝105°，
∴∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝30°
＋105°＝135°.
解：如图，过点B作BF⊥CE于点F.
由题知，BE＝5×2＝10(海里)，
在Rt△BEF中，∠EBF＝90°－75°＝15°，
∴EF＝BE·sin
15°≈10×0.26＝2.6(海里)，
BF＝BE·cos
15°≈10×0.97＝9.7(海里)．
(1)求该斜坡的坡高BC．(结果用最简根式表示)
(2)为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
11．【2020·益阳】沿江大堤经过改造后的某处横断面为
如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1：1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P、D、H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP＝26°.
(1)求斜坡CD的坡角α；
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin
26°≈0.44，tan
26°≈0.49，sin
71°≈0.95，tan
71°≈2.90)(共21张PPT)
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第一章
直角三角形的边角关系
阶段核心方法
求锐角三角函数值的七种常用方法
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见习题
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见习题
D
(1)求AD的长；
(2)求∠ACD的正弦值．
(1)求BC的长；
D
5．(1)已知∠A是锐角，求证：sin2A＋cos2A＝1；
7．如图，在矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E.
(1)求证：∠BAM＝∠AEF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°.
∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.
∴∠EAF＋∠BAM＝∠EAF＋∠AEF＝90°.
∴∠BAM＝∠AEF.
8．【中考·扬州】问题呈现
如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，
N和E，C，DN与EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形．观察发现，问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为________；
(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，
AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值．
2
思维拓展
(3)如图③，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠，使点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．
解：根据图形有∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180°，
根据折叠的性质，知∠EFC＝∠D＝90°，∴∠AFE＋∠BFC＝90°.而在Rt△BCF中，∠BCF＋∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF.根据折叠的性质，有CF＝CD＝AB＝10.(共27张PPT)
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第一章
直角三角形的边角关系
1.4
解直角三角形
第1课时
解直角三角形
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见习题
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5.【2019·杭州】如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于( )
A．asin
x＋bsin
x
B．acos
x＋bcos
x
C．asin
x＋bcos
x
D．acos
x＋bsin
x
【点拨】如图，作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB的延长线于点F.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.
∵∠ABC＝∠AEC＝90°，∠BCO＝x，
∴易得∠EAB＝x.∴易得∠FBA＝x.
∵AB＝a，BC＝AD＝b，
∴FO＝FB＋BO＝acos
x＋bsin
x.
【答案】D
A
【答案】
2
【答案】
B
【答案】D
10．在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，求tanA，cosA的值．
易错总结：本题中已指出∠B＝90°，所以AC为斜边，而受习惯的影响，常误以为∠C的对边AB是斜边．因此，解题时应认真审题，注意所给条件，分清斜边和直角边，以防出错．
12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝67.5°.
(1)求sin
A的值；
(2)求tan
C的值．
【点拨】通过作高，构造直角三角形，再利用解直角三角形的相关知识求解．
(1)求sin
A的值；
(2)求tan
C的值．
(1)AB的长；
(2)∠CAB的正切值．
(1)BC的长；
(2)sin∠ADC的值．
