2020-2021学年山东省济宁市太白湖新区北湖区九年级（上）期末数学试卷（五四学制） （Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年山东省济宁市太白湖新区北湖区九年级（上）期末数学试卷（五四学制） （Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-24 06:00:40 | ||
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文档简介
2020-2021学年山东省济宁市太白湖新区北湖区九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一．选择题（共10小题）.
1．反比例函数y＝的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第一、二象限 D．第二、四象限
2．将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．关于抛物线y＝x2﹣2x﹣1，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向上
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，﹣2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
4．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（ ）
A．85πcm2 B．90πcm2 C．155πcm2 D．165πcm2
6．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
7．在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足|sinC﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠A的度数为（ ）
A．100° B．105° C．90° D．60°
8．如图，等腰直角△ABC中，AB＝AC＝4，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）
A．4+π B．8﹣2π C．4 D．6﹣π
9．已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD
C．a＝﹣ D．OC?OD＝16
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为 ．
13．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 ．
14．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为 ．
15．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为 ．
三．解答题（共55分）
16．计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．
17．一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，但当他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影子CD＝1.0m，又测地面部分的影长BC＝3.0m，你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．
19．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
20．某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
21．阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，
即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．
探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： （用＞、＝或＜连接），并说明理由．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．
综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）
22．如图抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）.
1．反比例函数y＝的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第一、二象限 D．第二、四象限
解：∵k＝2＞0，
∴反比例函数经过第一、三象限；
故选：A．
2．将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线，
故选：D．
3．关于抛物线y＝x2﹣2x﹣1，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向上
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，﹣2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
解：在抛物线y＝x2﹣2x﹣1中，a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1．
∵a＞0，
∴抛物线开口方向向上，故答案A是正确的．
∵对称轴为直线x＝﹣＝＝1，故答案B是正确的．
∵当x＝1时，y＝﹣2，
∴顶点坐标为（1，﹣2），故答案C是正确的．
∵a＞0，在对称轴右侧图像是上升的，即当x＞1时，y随x的增大而增大．故答案D是错误的．
故选：D．
4．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解：连接OB，OC，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
5．如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（ ）
A．85πcm2 B．90πcm2 C．155πcm2 D．165πcm2
解：由图可知这个几何体是个圆锥，且它的底面圆的半径是5cm，高12cm，母线长＝13cm，它的表面积＝侧面积+底面积＝π×5×13+π×5×5＝90πcm2．
故选：B．
6．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
解：∵函数y＝kx+b（k≠0）与的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，
∴不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：D．
7．在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足|sinC﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠A的度数为（ ）
A．100° B．105° C．90° D．60°
解：∵|sinC﹣|+（﹣cosB）2＝0，
∴sinC＝，cosB＝，
∴∠C＝45°，∠B＝30°，
∴∠A的度数为：180°﹣45°﹣30°＝105°．
故选：B．
8．如图，等腰直角△ABC中，AB＝AC＝4，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）
A．4+π B．8﹣2π C．4 D．6﹣π
解：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD＝45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴＝，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝2，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD
＝S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD﹣S△ABD）
＝×4×4﹣×2×2﹣+××2×2
＝8﹣π﹣2
＝6﹣π．
故选：D．
9．已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：（1）当0≤x≤2时，
BQ＝2x
y＝
当2≤x≤4时，如下图
y＝（4﹣x+4）×4﹣×（4﹣x）（8﹣2x）﹣×4×（2x﹣4）＝﹣x2+2x+8
由上可知
故选：B．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD
C．a＝﹣ D．OC?OD＝16
解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，
∴A（0，4），
∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，
∴B（5，4）．
故A无误；
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
则BE＝4，AB＝5，
∵AB∥x轴，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，
∴∠ACO＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BC＝AB＝5，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，
∴C（8，0），
∵对称轴为直线x＝，
∴D（﹣3，0）
∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，
∴AD＝5，
∴AB＝AD，
故B无误；
设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），
将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），
∴a＝﹣，
故C无误；
∵OC＝8，OD＝3，
∴OC?OD＝24，
故D错误．
综上，错误的只有D．
故选：D．
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
解：袋子中球的总数为8+5+5+2＝20，而白球有8个，
则从中任摸一球，恰为白球的概率为＝．
故答案为：．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为 ．
解：由勾股定理得，AB＝＝5，
则cosB＝＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝90°，
∴α＝∠ACD＝∠B，
∴cosα＝cosB＝，
故答案为：．
13．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 y1＞y2＞y3 ．
解：如图：y1＞y2＞y3．
故答案为y1＞y2＞y3．
14．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为 ．
解：连接OA，OB
∵∠C＝45°
∴∠AOB＝90°
又∵OA＝OB，AB＝4
∴OA＝2．
15．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为 （）n ．
解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB＝1，
∴BA1＝OB＝1，OA1＝OB＝；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4，
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8．
∴OAn的长度为（）n．
故答案为：（）n．
三．解答题（共55分）
16．计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．
解：原式＝×+（）2﹣+2×
＝+﹣+
＝1+．
17．一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，但当他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影子CD＝1.0m，又测地面部分的影长BC＝3.0m，你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？
解：∵高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，
∴实际高度和影长之比为，即，
∴落在墙上的CD＝1，如果投射到地面上应该为0.6米，即旗杆的实际影长为3+0.6＝3.6米，
∴，解得AB＝6，
答：能．旗杆的高度为6.0m．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB为圆O的直径；
（2）DE与圆O相切，理由为：
证明：连接OD，
∵O、D分别为AB、BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为圆的半径，
∴DE与圆O相切；
（3）解：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，
设AC与⊙O交于点F，连接BF，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AFB＝∠DEC＝90°，
∴AF＝CF＝3，DE∥BF，
∵D为BC中点，
∴E为CF中点，即DE为△BCF中位线，
在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，
根据勾股定理得：BF＝＝3，
则DE＝BF＝．
解法二：∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠DAC＝30°，
∴AD＝AB?cos30°＝3，DE＝AD?sin30°＝．
19．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
解：（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
因此A档共有：12﹣4＝8人，
8÷20%＝40人，
则C档的人数有40﹣8﹣16﹣4＝12（人），补全图形如下：
（2）1200×＝480（人），
答：全校B档的人数为480．
（3）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，
因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，
所以抽到的2名学生来自不同年级的概率是：＝．
20．某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则
解得：
∴z＝﹣x+19，
∴z关于x的函数解析式为z＝
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（﹣x+19﹣10）（5x+40）
＝﹣x2+35x+360
＝﹣（x﹣14）2+605，
因为﹣＜0，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
21．阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，
即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．
探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： ＝ ＝ （用＞、＝或＜连接），并说明理由．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．
综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）
解：探究活动：＝＝，
理由如下：
如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，
∴sinA＝sinD，sinD＝，
∴＝，
同理可证：＝2R，＝2R，
∴＝＝＝2R；
故答案为：＝，＝，＝．
初步应用：
∵＝＝2R，
∴，
∴．
综合应用：
由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100m，
∴∠ACB＝30°．
设古塔高DC＝xm，则BC＝m，
∵，
∴，
∴，
∴（m），
∴古塔高度约为36.6m．
22．如图抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）当x＝0时，y＝3，即C（0，3）
将A、C、B点坐标代入、及对称轴，得
，
解得，
抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，得顶点坐标是（﹣1，4），
由勾股定理，得
AC2＝32+（0﹣3）2＝18，
CD2＝（0+1）2+（3﹣4）2＝2，
AD2＝（﹣1+3）2+（4﹣0）2＝20，
AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
S△ACD＝AC?CD＝××＝3；
（3）①如图1，
平行四边形AQBP，由对角线互相平分，得P1（﹣1，4），Q（﹣1，﹣4）；
②如图2，
?ABQP，PQ＝AB＝4，﹣1﹣4＝﹣5，
当x＝﹣5时，y＝﹣25+10+3＝﹣12，即P2（﹣5，﹣12）；
③如图3，
?ABPQ，PQ＝AB＝4，P点的横坐标为﹣1+4＝3，
当x＝3时，y＝﹣9﹣6+3＝﹣12，即P3（3，﹣12），
综上所述：P1（﹣1，4），P2（﹣5，﹣12），P3（3，﹣12）．
一．选择题（共10小题）.
1．反比例函数y＝的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第一、二象限 D．第二、四象限
2．将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．关于抛物线y＝x2﹣2x﹣1，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向上
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，﹣2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
4．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（ ）
A．85πcm2 B．90πcm2 C．155πcm2 D．165πcm2
6．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
7．在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足|sinC﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠A的度数为（ ）
A．100° B．105° C．90° D．60°
8．如图，等腰直角△ABC中，AB＝AC＝4，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）
A．4+π B．8﹣2π C．4 D．6﹣π
9．已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD
C．a＝﹣ D．OC?OD＝16
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为 ．
13．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 ．
14．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为 ．
15．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为 ．
三．解答题（共55分）
16．计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．
17．一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，但当他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影子CD＝1.0m，又测地面部分的影长BC＝3.0m，你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．
19．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
20．某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
21．阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，
即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．
探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： （用＞、＝或＜连接），并说明理由．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．
综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）
22．如图抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）.
1．反比例函数y＝的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第一、二象限 D．第二、四象限
解：∵k＝2＞0，
∴反比例函数经过第一、三象限；
故选：A．
2．将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线，
故选：D．
3．关于抛物线y＝x2﹣2x﹣1，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向上
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，﹣2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
解：在抛物线y＝x2﹣2x﹣1中，a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1．
∵a＞0，
∴抛物线开口方向向上，故答案A是正确的．
∵对称轴为直线x＝﹣＝＝1，故答案B是正确的．
∵当x＝1时，y＝﹣2，
∴顶点坐标为（1，﹣2），故答案C是正确的．
∵a＞0，在对称轴右侧图像是上升的，即当x＞1时，y随x的增大而增大．故答案D是错误的．
故选：D．
4．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解：连接OB，OC，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
5．如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（ ）
A．85πcm2 B．90πcm2 C．155πcm2 D．165πcm2
解：由图可知这个几何体是个圆锥，且它的底面圆的半径是5cm，高12cm，母线长＝13cm，它的表面积＝侧面积+底面积＝π×5×13+π×5×5＝90πcm2．
故选：B．
6．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
解：∵函数y＝kx+b（k≠0）与的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，
∴不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：D．
7．在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足|sinC﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠A的度数为（ ）
A．100° B．105° C．90° D．60°
解：∵|sinC﹣|+（﹣cosB）2＝0，
∴sinC＝，cosB＝，
∴∠C＝45°，∠B＝30°，
∴∠A的度数为：180°﹣45°﹣30°＝105°．
故选：B．
8．如图，等腰直角△ABC中，AB＝AC＝4，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）
A．4+π B．8﹣2π C．4 D．6﹣π
解：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD＝45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴＝，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝2，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD
＝S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD﹣S△ABD）
＝×4×4﹣×2×2﹣+××2×2
＝8﹣π﹣2
＝6﹣π．
故选：D．
9．已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：（1）当0≤x≤2时，
BQ＝2x
y＝
当2≤x≤4时，如下图
y＝（4﹣x+4）×4﹣×（4﹣x）（8﹣2x）﹣×4×（2x﹣4）＝﹣x2+2x+8
由上可知
故选：B．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD
C．a＝﹣ D．OC?OD＝16
解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，
∴A（0，4），
∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，
∴B（5，4）．
故A无误；
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
则BE＝4，AB＝5，
∵AB∥x轴，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，
∴∠ACO＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BC＝AB＝5，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，
∴C（8，0），
∵对称轴为直线x＝，
∴D（﹣3，0）
∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，
∴AD＝5，
∴AB＝AD，
故B无误；
设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），
将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），
∴a＝﹣，
故C无误；
∵OC＝8，OD＝3，
∴OC?OD＝24，
故D错误．
综上，错误的只有D．
故选：D．
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
解：袋子中球的总数为8+5+5+2＝20，而白球有8个，
则从中任摸一球，恰为白球的概率为＝．
故答案为：．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为 ．
解：由勾股定理得，AB＝＝5，
则cosB＝＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝90°，
∴α＝∠ACD＝∠B，
∴cosα＝cosB＝，
故答案为：．
13．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 y1＞y2＞y3 ．
解：如图：y1＞y2＞y3．
故答案为y1＞y2＞y3．
14．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为 ．
解：连接OA，OB
∵∠C＝45°
∴∠AOB＝90°
又∵OA＝OB，AB＝4
∴OA＝2．
15．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为 （）n ．
解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB＝1，
∴BA1＝OB＝1，OA1＝OB＝；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4，
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8．
∴OAn的长度为（）n．
故答案为：（）n．
三．解答题（共55分）
16．计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．
解：原式＝×+（）2﹣+2×
＝+﹣+
＝1+．
17．一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，但当他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影子CD＝1.0m，又测地面部分的影长BC＝3.0m，你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？
解：∵高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，
∴实际高度和影长之比为，即，
∴落在墙上的CD＝1，如果投射到地面上应该为0.6米，即旗杆的实际影长为3+0.6＝3.6米，
∴，解得AB＝6，
答：能．旗杆的高度为6.0m．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB为圆O的直径；
（2）DE与圆O相切，理由为：
证明：连接OD，
∵O、D分别为AB、BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为圆的半径，
∴DE与圆O相切；
（3）解：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，
设AC与⊙O交于点F，连接BF，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AFB＝∠DEC＝90°，
∴AF＝CF＝3，DE∥BF，
∵D为BC中点，
∴E为CF中点，即DE为△BCF中位线，
在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，
根据勾股定理得：BF＝＝3，
则DE＝BF＝．
解法二：∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠DAC＝30°，
∴AD＝AB?cos30°＝3，DE＝AD?sin30°＝．
19．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
解：（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
因此A档共有：12﹣4＝8人，
8÷20%＝40人，
则C档的人数有40﹣8﹣16﹣4＝12（人），补全图形如下：
（2）1200×＝480（人），
答：全校B档的人数为480．
（3）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，
因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，
所以抽到的2名学生来自不同年级的概率是：＝．
20．某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则
解得：
∴z＝﹣x+19，
∴z关于x的函数解析式为z＝
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（﹣x+19﹣10）（5x+40）
＝﹣x2+35x+360
＝﹣（x﹣14）2+605，
因为﹣＜0，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
21．阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，
即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．
探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： ＝ ＝ （用＞、＝或＜连接），并说明理由．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．
综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）
解：探究活动：＝＝，
理由如下：
如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，
∴sinA＝sinD，sinD＝，
∴＝，
同理可证：＝2R，＝2R，
∴＝＝＝2R；
故答案为：＝，＝，＝．
初步应用：
∵＝＝2R，
∴，
∴．
综合应用：
由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100m，
∴∠ACB＝30°．
设古塔高DC＝xm，则BC＝m，
∵，
∴，
∴，
∴（m），
∴古塔高度约为36.6m．
22．如图抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）当x＝0时，y＝3，即C（0，3）
将A、C、B点坐标代入、及对称轴，得
，
解得，
抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，得顶点坐标是（﹣1，4），
由勾股定理，得
AC2＝32+（0﹣3）2＝18，
CD2＝（0+1）2+（3﹣4）2＝2，
AD2＝（﹣1+3）2+（4﹣0）2＝20，
AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
S△ACD＝AC?CD＝××＝3；
（3）①如图1，
平行四边形AQBP，由对角线互相平分，得P1（﹣1，4），Q（﹣1，﹣4）；
②如图2，
?ABQP，PQ＝AB＝4，﹣1﹣4＝﹣5，
当x＝﹣5时，y＝﹣25+10+3＝﹣12，即P2（﹣5，﹣12）；
③如图3，
?ABPQ，PQ＝AB＝4，P点的横坐标为﹣1+4＝3，
当x＝3时，y＝﹣9﹣6+3＝﹣12，即P3（3，﹣12），
综上所述：P1（﹣1，4），P2（﹣5，﹣12），P3（3，﹣12）．
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