第三章圆提高卷
1.下列说法正确的是（
）
A.每一条直径都是圆的对称轴
B.圆的对称轴是唯一的
C.圆的对称轴一定经过圆心
D.圆的对称轴与对称中心重合
2.如图，内接于，是边的中点，连接并延长，交于点，连接，则的大小为(
)
A.55°
B.65°
C.60°
D.75°
3.如图，是半圆的直径，点在半圆上（不与，重合），于点，交于点，下列条件中能判定是半圆的切线的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.如图，是的直径，是上位于异侧的两点，下列四个角中，一定与互余的角是(
)
A.
B.
C.
D.
5.如图，是的直径，弦于点E，连接，过点O作于点F.若，则的长度是(
)
A.3cm
B.cm
C.2.5cm
D.cm
6.如图，正五边形的边长为3，顶点，在半径为3的上，其他各点在圆内，将正五边形绕点逆时针旋转，当点第一次落在圆上时，点转过的度数为(
)
A.
B.
C.
D.
7.如图，已知的内接正六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为(
)
A.2
B.4
C.
D.
8.如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，，在边上取点O为圆心画圆，使经过两点,下列结论：
①；
②)；
③以O圆心,为半径的圆与相切；
④延长交于点D，则是的三等分点.
其中正确结论的序号是(
)
A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
10.如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为(
)
A.4
B.
C.
D.
11.如图，分别切于点，若的半径为5，，则的周长为________.
12.如图，，点的坐标是，与轴的夹角为，则过三点的圆的圆心坐标是________.
13.如图，已知为的直径，直线经过点M，且，线段和分别交于点，，则__________.
14.如图，分别切于点，，则的度数为_________.
15.如图，点在以为直径的半圆上运动（点不与重合），平分，交于点，交于点.
（1）________；
（2）若，则____________.
16.如图，的半径为，其内接正六边形，点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，连接.设运动时间为.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）填空：
①当_________s时，四边形为菱形；
②当_________s时，四边形为矩形.
17.如图，在中，，以为直径的交于点与过点的切线互相垂直，垂足为.
（1）求证：平分；
（2）若，求的值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：对称轴是直线，不是线段，故A不正确；
圆的对称轴有无数条，故B不正确；
不能说点和线重合，故D不正确.只有C正确，故选C.
2.答案：B
解析：本题考查垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质.连接，由可知，由垂径定理知，在等腰中，，故选B.
3.答案：C
解析：如图，连接，，.，，，，.若，则，是半圆的切线.故选C.
4.答案：D
解析：是的直径，.
又和是同弧所对的圆周角，，，即与互余的角是.
5.答案：D
解析：如图，连接.
是的直径，弦于点，在中，，即，解得，.
在中，.
,
,即.
解得.故选D.
6.答案：A
解析：如图，设点第一次落在圆上时的对应点为，连接五边形为正五边形，.由旋转的性质，得.，，都为等边三角形，，，，当点第一次落在圆上时，点转过的度数为.故选A.
7.答案：D
解析：如图，连接，过点作于点，六边形是正六边形，，又是等边三角形，，易得.，，，该圆的内接正三角形的面积为.故选D.
8.答案：A
解析：当与小圆有唯一公共点，即直线与小圆相切时，的取值最小.此时过点作于点，连接，则.在中，，.当为大圆的直径时，的取值最大，此时.弦的取值范围是.故选A.
9.答案：D
解析：如图，连接,则.
，
,，
，，,①正确.
在中，.，，②错误.
如图，过点O作于点，，，以O圆心，为半径的圆与相切，③正确.
如图，连接.，，.,是等边三角形，，，是的三等分点，④正确.
10.答案：B
解析：本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理.连接是直径，，故选B.
11.答案：24
解析：分别切于点，，.在中，根据勾股定理，得，的周长为.
12.答案：
解析：如图，分别作边的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即过三点的圆的圆心.设边的垂直平分线与轴交于点.，点的坐标是，与轴的夹角为，.在中，，过三点的圆的圆心坐标是.
13.答案：
解析：如图，连接
为的直径，，，.
14.答案：
解析：连接分别切于点，，，，.，，.
15.答案：（1）1（2）
解析：本题考查圆的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质.（1）为的直径，平分，即①.，②，①×②得，；（2），即.设，则，解得，或（舍去），.
16.答案：（1）正六边形内接于，的半径为4cm.
,
.
点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，
.
在和中，
，
，.
同理可知,
四边形是平行四边形.
（2）①2；②0或4
解析：（2）①由对称性可知，当时，四边形是菱形，此时.
②当时，点P在点A处，，
，
此时四边形是矩形.
当时，点P在点F处，同理可得，
此时四边形是矩形.
综上所述，当或时，四边形是矩形.
17.答案：（1）证明：如图（1），连接，
.
是的切线，
.
，
，
.
.
，
平分.
（2）如图（1），连接.
设.
为的直径，，
.
平分，
.
又，
.
公共，
，
，
即.
，
或（舍去负值）.
.
另解：如图（1），设.
为的直径，，
.
平分，
.
.
.
由，得，
，
即.
解得或（舍去负值）.
.
（注：如图（2），过点作于点，连接，则.可以由或，其中，两个组合列方程求解.）第三章圆基础卷
1.下列说法错误的是(
)
A.圆有无数条直径
B.连接圆上任意两点之间的线段叫做弦
C.过圆心的线段是直径
D.能够重合的两个圆叫做等圆
2.如图，若为直径，则下列结论：
①；
②；
③；
④.
其中正确的结论有(
)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
3.如图，经过正六边形的顶点，，则所对的圆周角等于(
)
A.
B.
C.
D.
4.如图，为的直径，为上两点.若，则的大小为(
)
A.
B.
C.
D.
5.如图，的半径，以A为圆心，为半径的弧交于点，则(
)
A.
B.
C.
D.
6.如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，，则这朵三叶花的面积为(
)
A.
B.
C.
D.
7.小明不慎把家中的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为得到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(
)
A.①
B.②
C.③
D.④
8.如图，在的外接圆上,所对的圆心角的度数比为.在上取一点D，过D分别作直线的平行线，交于两点，则的度数为(
)
A.
B.
C.
D.
9.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点为的中点，以为圆心、6为半径作，则下列判断正确的有(
)
①点在外；②点在上；③轴与相离；④轴与相切.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，，若量出，则圆形螺母的外直径是(
)
A.
B.
C.
D.
11.如图，是的直径，点C是上的一点.若于点D，则的长为___________.
12.如图，分别切于点，，则的度数为_________.
13.如图，内接于半径为2的，且，连接，，则边的长为________.
14.如图，是的直径，且经过弦的中点，过延长线上一点作的切，切点为.若，则___________.
15.如图，在中，为的直径，与相切于点E，与相交于点F，已知，，则的长为_______.
16.如图，半圆的直径是半圆的三等分点，求弦与围成的阴影部分的面积.
17.如图（1），为半圆的直径，点O为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点C作交于点D，连接.
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图（2），当线段与半圆交于点E时，连接，判断和的数量关系，并证明你的结论.
答案以及解析
1.答案：C
解析：直径是过圆心且两端点在圆上的线段，故C错误.
2.答案：B
解析：垂径定理包含这样一个推论：“平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧”，故①②③都正确，④错误.
3.答案：C
解析：如图，连接，六边形是正六边形，，，.同理.，.故选C.
4.答案：B
解析：如图，连接，
则.是的直径，.故选B.
5.答案：A
解析：如图，连接，设与相交于D点.
以A为圆心，为半径画弧，
.又，是等边三角形.
根据垂径定理，得垂直平分,
根据勾股定理，得.故选A.
6.答案：B
解析：本题考查扇形的面积、等腰直角三角形的面积、弓形的面积.如图，弧是上满足条件的一段弧，连接.由题意知，，，，故选B.
7.答案：A
解析：只要在①中弧上任取三个点，过不在同一条直线上的三个点作圆即可，故选A.
8.答案：C
解析：所对的圆心角的度数比为,所对的圆心角的度数为，.,,.
9.答案：C
解析：过点作轴于点，作轴于点，，在中，根据勾股定理可得点为的中点，，的半径是6，点在外，点在内，轴与相离，轴与相切.故正确的是①③④.故选C.
10.答案：D
解析：如图，设圆形螺母的圆心为，与切于点，连接，分别为的切线，为的平分线，，又，，在中，，，由勾股定理得，，则圆形螺母的外直径为.故选D.
11.答案：2
解析：是的直径，，.
又为的中位线，.
12.答案：
解析：连接分别切于点，，，，.，，.
13.答案：
解析：如图，过点作于点，则内接于半径为2的，且，，，，，.
14.答案：
解析：如图，连接，，是的直径，且经过弦的中点，
是的切线，，又，.
15.答案：π
解析：本题考查圆的切线的性质、平行四边形的性质、四边形内角和、弧长公式.如图，连接是的切线，，为的直径，四边形是平行四边形，，，的长为
16.答案：解：如图，连接.
是半圆的三等分点，.
又是等边三角形.
，
，
和等底等高，.
阴影部分的面积.
解析：
17.答案：（1）证明：连接，
且，
四边形为平行四边形，
，
四边形为平行四边形.
为切线，可得，
四边形为矩形，.
即为半圆O的切线.
（2）解：，
理由：如图（2），连接，
则.
为直径，.
为切线，，
.
，
，即.
