山东省聊城市五校2012届高三上学期期末联考 数学试题

2011-2012学年度第一学期期末质量检测
高 三 数学试题
一、选择题：（本大题12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 集合，，则等于 （ ）
A. B. C. D.
2．等差数列的前项和是，若，，则的值为（ ）A.55 B.60 C.65 D.70
3．在△ABC中，，则k的值是 （ ）
A．5 B．－5 C． D．
4．对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l （ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线
5．若（其中），则函数的图象 （ ）
A．关于直线y=x对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于原点对称
6．已知P是以F1、F2为焦点的椭圆 则该椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平行移动个单位长度，所得图象的函数解析式是 （ ）
A. B.C. D.
8.一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、
高为3的矩形，俯视图是直径为2的圆(如右图），
则这个几何体的表面积为
A． B．
C． D．
9．下列命题中正确的是 （ ）
A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题
B．“”是“”的充分不必要条件
C．为直线，，为两个不同的平面，若⊥，⊥，则∥
D．命题“”的否定是“”
10．某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A. 当时，该命题不成立 B. 当时，该命题成立
C. 当时，该命题成立 D. 当时，该命题不成立
11．如果函数的图象在处的切线l过点（），并且l与圆C：则点（a,b）与圆C的位置关系是 （ ）
A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不能确定
12．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：
①②③中满足“倒负”变换的函数是
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每题4分，共16分，把正确答案填入答案卷上）
13．设，，是单位向量，且，则向量，的夹角等于 ．
14. 直线过点，且与曲线在点处的切线相互垂直，，则直线的方程为 ；
15.若实数x，y满足的最小值是 。
16．函数 －１的图象恒过定点A，若点A在 上，其中的最小值为 。
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤）
17．（12分）已知函数
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角A、B、C的对边分别为，且，若向量与向量共线，求的值。
18. ( 12分）如图，在多面体中，面，
，且，为中点。
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值。
19.（12分）在数列中，已知.
（1）求数列、的通项公式；
（2)设数列满足，求的前n项和
20. （本小题满分12分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：.已知甲、乙两地相距100千米.
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
21．（ 12分）如图，椭圆的方程为，其右焦点为F，把椭圆的长轴分成6等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆上半部于点P1，P2，P3，P4，P5五个点，且|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l过F点（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m,0），试求m的取值范围.
22.（14分）已知函数
（1）当时，求函数的最值；
（2）求函数的单调区间；
（3）说明是否存在实数使的图象与无公共点.
2011-2012学年度第一学期期末高三数学试题（理科）
参考答案
一、选择题：
BAACB DACCD DB
二、填空题：
13. 14. 15.1 16.4
三、解答题：17. (1)
时，
最小正周期为
(2),
,
①
, ②
由①②知，
18.解：（1）找BC中点G点，连接AG，FG
∴F，G分别为DC，BC中点
∴FG
∴四边形EFGA为平行四边形 ∴
∵AE ∴
又∵
∴平面ABC平面BCD
又∵G为BC中点且AC=AB=BC ∴AGBC
∴AG平面BCD ∴EF平面BCD
（2）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系
则
设平面CEF的法向量为，
由 得
平面ABC的法向量为
则
∴平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值为
19.解：（1）∵
∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，
∴.
∵ , ∴.
（2）由（Ⅰ）知，，（n）
∴.
∴， ①
于是 ②
两式①-②相减得
=.
∴ .
20. （I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时，
要耗油(×403－×40+8)×2.5=17.5（升）.
所以，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5.
（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)=(x3－x+8)·=x2+－(0＜x≤120)，
h(x)=(0＜x≤120)，令h(x)=0得x=80，
当x∈(0,80)时，h(x)＜0,h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h(x)＞0,h(x)是增函数,
∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.
故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
21．解：（1）由题意，知
设椭圆的左焦点为F1，则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a，同时|P2F|+|P3F|=2a而|P3F|=a
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=5
（2）由题意，F（1，0），设l的方程为
整理，得因为l过椭圆的右焦点，
设，
则
令
由于
22.解：（1）函数的定义域是（1，+）
当a=1时，，所以在为减函数
在为增函数，所以函数的最小值为.
（2），
若时，则>0在（1，）恒成立，
所以的增区间（1，）.
若，故当，，
当时，，
所以a>0时的减区间为（），的增区间为［.
（3）时，由（Ⅰ）知在（1，+）的最小值为，
令在［1，+）上单调递减，
所以，则
因此存在实数使的最小值大于，
故存在实数使y=的图象与y=无公共点.
20070131