8.1 一元二次方程课件（共39张PPT）

第八章 一元二次方程
1 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
定义
知识拓展
知识点一 一元二次方程的定义
定义
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程
知识拓展
（1）构成一元二次方程的三个条件:①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程.（2）这里所说的整式是关于未知数的整式，在有些含有字母系数的方程中，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含未知数，这样的方程仍是整式方程
例1 下列方程中，是一元二次方程的是___________.（填入序号即可）
① -y＝0；②2x2-x-3＝0；③ ＝3；④x2＝2＋3x；⑤x3-x＋4＝0；⑥t2＝2；⑦x2＋3x＝0；⑧ ＝2；⑨x2＝0；⑩x2-2x-5＝x2.
例1 下列方程中，是一元二次方程的是___________.（填入序号即可）
① -y＝0；②2x2-x-3＝0；③ ＝3；④x2＝2＋3x；⑤x3-x＋4＝0；⑥t2＝2；⑦x2＋3x＝0；⑧ ＝2；⑨x2＝0；⑩x2-2x-5＝x2.
解析 ③⑧中的方程不是整式方程；⑤中未知数的最高次数是3，不是2；⑩整理后二次项系数为0，故③⑤⑧⑩不是一元二次方程.
例1 下列方程中，是一元二次方程的是___________.（填入序号即可）
① -y＝0；②2x2-x-3＝0；③ ＝3；④x2＝2＋3x；⑤x3-x＋4＝0；⑥t2＝2；⑦x2＋3x＝0；⑧ ＝2；⑨x2＝0；⑩x2-2x-5＝x2.
解析 ③⑧中的方程不是整式方程；⑤中未知数的最高次数是3，不是2；⑩整理后二次项系数为0，故③⑤⑧⑩不是一元二次方程.
答案 ①②④⑥⑦⑨
知识点二 一元二次方程的一般形式
一般形式
项及项
的系数
注意
知识点二 一元二次方程的一般形式
一般形式
ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数，a≠0）
项及项
的系数
二次项:ax2，二次项系数:a
一次项:bx，一次项系数:b
常数项:c
注意
确定一元二次方程的各项系数时，应先把方程化为一元二次方程的一般形式，确定各项系数时要注意符号的问题
例2 一元二次方程-3x2＝-8x＋9中的二次项系数为________，常数项为_______，一次项系数为_______.
例2 一元二次方程-3x2＝-8x＋9中的二次项系数为________，常数项为_______，一次项系数为_______.
解析 可把方程变形为3x2-8x＋9＝0，此时方程的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为9.
例2 一元二次方程-3x2＝-8x＋9中的二次项系数为________，常数项为_______，一次项系数为_______.
解析 可把方程变形为3x2-8x＋9＝0，此时方程的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为9.
答案 3；9；-8
例2 一元二次方程-3x2＝-8x＋9中的二次项系数为________，常数项为_______，一次项系数为_______.
解析 可把方程变形为3x2-8x＋9＝0，此时方程的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为9.
答案 3；9；-8
点拨 确定一元二次方程的各项系数及常数项时，必须将方程化为一般形式若二次项系数为负数，一般将二次项系数化为正数，再确定各项系数及常数项.
知识点三 根据问题情境，列出一元二次方程
1.正确理解题目的含义
2.找出其中的数量关系和等量关系
3.列出一元二次方程
例3 某校要组织一次乒乓球邀请赛，每支球队都需要与其他的球队比赛，且每两队之间只有1场比赛，赛程计划安排两天，每天安排5场比赛，设比赛组织者应邀请x支球队参赛，则x满足的方程为_________________________.
例3 某校要组织一次乒乓球邀请赛，每支球队都需要与其他的球队比赛，且每两队之间只有1场比赛，赛程计划安排两天，每天安排5场比赛，设比赛组织者应邀请x支球队参赛，则x满足的方程为_________________________.
解析 每支球队都需要与其他的（x-1）支球队比赛，则每支球队比赛（x-1）场，且每两队之间只有1场比赛，故共需比赛 x（x-1）场，所以可列方程为
x（x-1）＝5×2
例3 某校要组织一次乒乓球邀请赛，每支球队都需要与其他的球队比赛，且每两队之间只有1场比赛，赛程计划安排两天，每天安排5场比赛，设比赛组织者应邀请x支球队参赛，则x满足的方程为_________________________.
解析 每支球队都需要与其他的（x-1）支球队比赛，则每支球队比赛（x-1）场，且每两队之间只有1场比赛，故共需比赛 x（x-1）场，所以可列方程为
x（x-1）＝5×2
答案 x（x-1）＝5×2
例3 某校要组织一次乒乓球邀请赛，每支球队都需要与其他的球队比赛，且每两队之间只有1场比赛，赛程计划安排两天，每天安排5场比赛，设比赛组织者应邀请x支球队参赛，则x满足的方程为_________________________.
解析 每支球队都需要与其他的（x-1）支球队比赛，则每支球队比赛（x-1）场，且每两队之间只有1场比赛，故共需比赛 x（x-1）场，所以可列方程为
x（x-1）＝5×2
答案 x（x-1）＝5×2
点拨 此类问题的几何模型:直线上有n个点，一共能确定 条线段.与之相关的问题:有n个人握手，每两人之间都要握一次手，总共的握手次数为 .
知识点四 一元二次方程解的估算
一元二次方程解的估算依据的是代数式的代值计算，当x的取值使得代数式ax2＋bx＋c（a≠0）的值无限接近于0时，x的值即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）一个根的近似值对于实际问题中一元二次方程的根的估算，应先确定实际问题中一元二次方程的根的大致取值范围，再通过具体代值计算进行两边“夹逼”，逐步求得其根的近似值，简称“夹逼法”
知识点四 一元二次方程解的估算
一元二次方程解的估算依据的是代数式的代值计算，当x的取值使得代数式ax2＋bx＋c（a≠0）的值无限接近于0时，x的值即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）一个根的近似值对于实际问题中一元二次方程的根的估算，应先确定实际问题中一元二次方程的根的大致取值范围，再通过具体代值计算进行两边“夹逼”，逐步求得其根的近似值，简称“夹逼法”
注意（1）估算一元二次方程的解，可先估算“解”的取值范围，比如在哪两个数之间.
（2）当相邻的两个数，一个使ax2＋bx＋c＜0，一个使ax2＋bx＋c＞0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解就介于这两个数之间.认真观察代数式ax2＋bx＋c的特点和取值走向，就能很快地找到这样相邻的两个数.
例4 写出一个一元二次方程，使其二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-4，并求出方程的近似解（精确到个位）.
分析 根据已知条件和一元二次方程的定义可写出一元二次方程，方程近似解的求法可通过列表，使代数式的值等于0或接近0.
解析 这个一元二次方程是x2-2x-4＝0.列表计算:
所以-2＜x＜-1或3＜x＜4.
x
-2
-1
0
1
2
3
4
x2-2x-4
4
-1
-4
-5
-4
-1
4
进一步列表计算:
所以x≈-1或x＝3.
温馨提示 求方程的近似解首先确定解的大致范围，再令x的取值逐渐使ax2＋bx＋c的值接近0，从而可求其解或近似解.
x
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
3.1
3.2
3.3
3.4
x2-2x-4
-0.59
-0.16
0.29
0.76
-0.59
-0.16
.29
0.76
经典例题
题型一 应用一元二次方程的定义求值
例1 关于x的方程（m-1）x|m|＋1＋3x-2＝0是一元二次方程，则m的值为__________.
题型一 应用一元二次方程的定义求值
例1 关于x的方程（m-1）x|m|＋1＋3x-2＝0是一元二次方程，则m的值为__________.
解析 ∵关于x的方程（m-1）x|m|＋1＋3x-2＝0是一元二次方程，∴|m＋1|＝2，且m-1≠0，解得m＝-1，故答案为-1.
题型一 应用一元二次方程的定义求值
例1 关于x的方程（m-1）x|m|＋1＋3x-2＝0是一元二次方程，则m的值为__________.
解析 ∵关于x的方程（m-1）x|m|＋1＋3x-2＝0是一元二次方程，∴|m＋1|＝2，且m-1≠0，解得m＝-1，故答案为-1.
答案 -1
题型一 应用一元二次方程的定义求值
例1 关于x的方程（m-1）x|m|＋1＋3x-2＝0是一元二次方程，则m的值为__________.
解析 ∵关于x的方程（m-1）x|m|＋1＋3x-2＝0是一元二次方程，∴|m＋1|＝2，且m-1≠0，解得m＝-1，故答案为-1.
答案 -1
方法归纳 应用一元二次方程的定义求未知字母的值时，应根据未知数的最高次数是2列出方程，解这个方程即可求出未知字母的值，但解答时要注意二次项系数是否含有未知字母，若含有未知字母，则要注意二次项系数不为0这一隐含条件.
题型二 应用一元二次方程解的定义求值
例2 若m是方程x2-x-1＝0的一个根，则m2-m＋2020的值为（ ）
A.2019 B.2020 C.2021 D.2022
题型二 应用一元二次方程解的定义求值
例2 若m是方程x2-x-1＝0的一个根，则m2-m＋2020的值为（ ）
A.2019 B.2020 C.2021 D.2022
解析 ∵m是方程x2-x-1＝0的一个根，∴m2-m-1＝0
∴m2-m＝1，∴m2-m＋2020＝1＋2020＝2021. 故选C.
题型二 应用一元二次方程解的定义求值
例2 若m是方程x2-x-1＝0的一个根，则m2-m＋2020的值为（ ）
A.2019 B.2020 C.2021 D.2022
解析 ∵m是方程x2-x-1＝0的一个根，∴m2-m-1＝0
∴m2-m＝1，∴m2-m＋2020＝1＋2020＝2021. 故选C.
答案 C
题型二 应用一元二次方程解的定义求值
例2 若m是方程x2-x-1＝0的一个根，则m2-m＋2020的值为（ ）
A.2019 B.2020 C.2021 D.2022
解析 ∵m是方程x2-x-1＝0的一个根，∴m2-m-1＝0
∴m2-m＝1，∴m2-m＋2020＝1＋2020＝2021. 故选C.
答案 C
温馨提示 整体代入法是代数式求值的常用方法之一，在求值过程中，有时不需要将具体未知数的值代入，而是直接将某一个整体代入所求式，即可得解.
易错易混
易错点一 未整理成一般形式就确定各项及其系导致错误
例1 一元二次方程4x2＋x＝1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A.4，0，1 B.4，1，1 C.4，1，-1 D.4，1，0
易错点一 未整理成一般形式就确定各项及其系导致错误
例1 一元二次方程4x2＋x＝1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A.4，0，1 B.4，1，1 C.4，1，-1 D.4，1，0
解析 方程化成一般形式为4x2＋x-1＝0，则二次项系数为4，一次项系数为1，常数项为-1，故选C
易错点一 未整理成一般形式就确定各项及其系导致错误
例1 一元二次方程4x2＋x＝1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A.4，0，1 B.4，1，1 C.4，1，-1 D.4，1，0
解析 方程化成一般形式为4x2＋x-1＝0，则二次项系数为4，一次项系数为1，常数项为-1，故选C
答案 C
易错点一 未整理成一般形式就确定各项及其系导致错误
例1 一元二次方程4x2＋x＝1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A.4，0，1 B.4，1，1 C.4，1，-1 D.4，1，0
解析 方程化成一般形式为4x2＋x-1＝0，则二次项系数为4，一次项系数为1，常数项为-1，故选C
答案 C
易错警示 所给方程不是一般形式，若直接确定各项系数，则易出错.
易错点二 理解概念不透彻，忽视二次项系数不为0这个条件
例2 已知方程（m＋1）x|m|＋1＋2x-3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A.-1 B.1 C.±1 D无法确定
易错点二 理解概念不透彻，忽视二次项系数不为0这个条件
例2 已知方程（m＋1）x|m|＋1＋2x-3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A.-1 B.1 C.±1 D无法确定
解析 由题意得 解得m＝1.
易错点二 理解概念不透彻，忽视二次项系数不为0这个条件
例2 已知方程（m＋1）x|m|＋1＋2x-3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A.-1 B.1 C.±1 D无法确定
解析 由题意得 解得m＝1.
答案 B
易错点二 理解概念不透彻，忽视二次项系数不为0这个条件
例2 已知方程（m＋1）x|m|＋1＋2x-3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A.-1 B.1 C.±1 D无法确定
解析 由题意得 解得m＝1.
答案 B
易错警示 本题容易由|m|＋1＝2求得m＝±1，从而错选C选项，原因是忽略了m＋1≠0，即m≠-1这个前提事实上当m＋1＝0时，原方程为2x-3＝0，它不是一元二次方程.