浙江省杭州第十四中学2012届高三上学期12月月考数学理试题 2011.12
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页．满分150分，考试时间120分钟．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
选择题部分（共50分）
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 柱体的体积公式
如果事件A，B相互独立，那么 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么
n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
球的表面积公式
台体的体积公式
球的体积公式
其中分别表示台体的上底、下底面积，
h表示台体的高 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若全集 U＝R，集合 ，，则集合
(A) (B)
(C) (D)
2．已知实数 x，y 满足线性约束条件 则 的最大值为
(A) －3 (B)
(C) (D)3
3．设 是两个实数，则“ 中至少有一个数大于1”是“ ”成立的
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件
4．若数列 为等差数列，且 ，则
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
5．假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①；②；③；④．则其中属于“互为生成函数”的是
(A) ①② (B) ①③
(C) ③④ (D) ②④
6．若是空间四条直线．如果“”，则
(A) 且 (B) 中任意两条可能都不平行
(C) 或者 (D) 中至少有一对直线互相平行
7．若 △ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 ，则 的值为
(A) (B)
(C) (D)
8．若 的展开式中没有常数项，则n的一个可能值为
(A) 11 (B) 12
(C) 13 (D) 14
9．设复数 ，则下列各式错误的是
(A) (B)
(C) (D) 是纯虚数
10．设双曲线C：（）的左、右焦点分别为 F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得 |PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为
(A) (1,2] (B)
(C) (D) (1,2)
非选择题部分（共100分）
注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上；
2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．设函数．若有唯一的零点（），则实数a＝ ．
12．若存在直线l平行于直线，且与直线垂直，则实数k＝ ．
13．假设一个四棱锥的正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形（如图所示），腰长为1，则该四棱锥的体积为 ．
14．若将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．如果每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ．
15．若不等式 对任意的实数 恒成立，则实数 的最小值为 ．
16．设袋中有大小相同的4个红球与2个白球．若从中有放回的依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为，则＝ ．
17．设椭圆C：，F是右焦点，是过点F的一条直线（不与y轴平行），交椭圆于A、B两点， 是AB的中垂线，交椭圆的长轴于一点D，则的值是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分） 已知向量 与 共线，设函数 。
（I） 求函数 的周期及最大值；
（II） 已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A、B、C，若有 ，边 BC＝，，求 △ABC 的面积．
19．（本题满分14分） 如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于点 M，EA⊥平面ABC，FC//EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．
（I）证明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值．
20．（本题满分15分） 设 Sn 为数列 {an} 的前n项和（n＝1，2，3，……）．按如下方式定义数列 {an}：（），对任意，，设 ak 为满足 的整数，且 k 整除Sk.．
（I）当 时，试给出 {an} 的前6项；
（II）证明：，有 ；
（III）证明：对任意的 m，数列 {an} 必从某项起成为常数列．
21．（本题满分15分） 设椭圆 C1：（）的一个顶点与抛物线 C2： 的焦点重合，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 F2 的直线 与椭圆 C 交于 M，N 两点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由；
（III）若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，MN//AB，求证： 为定值．
22．（本题满分14分） 设 x1、x2（）是函数 （）的两个极值点．
（I）若 ，，求函数 的解析式；
（II）若 ，求 b 的最大值；
（III）设函数 ，，当 时，求 的最大值．
答案：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B B D A A C A
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．4
12．0
13．
14．18
15．
16．35 分析：知ξ服从二项分布，即ξ～B(6,)，
17．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）
（1）因为，所以
则，所以,
当 ┄┄┄┄┄┄┄6分
（2）
.
┄┄┄┄┄┄┄┄14分
19．（本题满分14分）（1）同法一，得．
如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．由已知条件得，
．
由，
得， ． ……………6分
（2）由（1）知．
设平面的法向量为，
由 得，
令得，，
由已知平面，所以取面的法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ………………14分
20．（本题满分15分）
解：（I）m = 9时，数列为9，1，2，0，3，3，3，3，
即前六项为9，1，2，0，3，3. ……………4分
（II）； ……………8分
（III）有，由（II）可得，
为定值且单调不增，数列必将从某项起变为常数，
不妨设从项起为常数，则，于是
所以，于是
所以当时成为常数列． ………………………………………15分
21．（本题满分15分）椭圆的顶点为，即
，解得， 椭圆的标准方程为 …… 3分
（2）由题可知，直线与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
②设存在直线为，且，.
由得，
，，
=
所以，故直线的方程为或 …………9分
（3）设,
由（2）可得： |MN|=
=．
由消去y，并整理得： ，
|AB|=，∴ 为定值 … 15分
22．（本题满分14分）解：（1）∵， ∴
依题意有-1和2是方程的两根
∴， 解得，
∴．（经检验，适合） 3分
（2）∵,依题意，是方程的两个根，
∵且，
∴． ∴，
∴． ∵ ∴．
设，则．
由得，由得．
即：函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
∴当时， 有极大值为96，
∴在上的最大值是96， ∴的最大值为． 9分
（3）证明：∵是方程的两根，∴．
∵，， ∴．
∴
∵，即 ∴
．
∴，当且仅当时取等号． 14分
（第13题图）
E
A
F
C
M
B
O
（第19题图）
x
y
z
A
B
C
F
M
O
