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第18章
平行四边形整理与复习（第2课时）
同步练习
一、选择题
1.（2020?广东6/25）已知△ABC的周长为16，点，，分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为
A．8
B．
C．16
D．4
2.（2020?河北12/26）如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是
A．从点向北偏西走到达
B．公路的走向是南偏西
C．公路的走向是北偏东
D．从点向北走后，再向西走到达
3.（2020?包头8/26）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E．若AC＝2，BC＝2，则BE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2020?鄂尔多斯5/24）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A．125°
B．115°
C．110°
D．120°
5.（2020?兴安盟?呼伦贝尔11/26）如图，在△ABC中，，分别是边，上的中线，于点，点，分别，的中点，若，，则四边形的周长是
A．14
B．20
C．22
D．28
6.（2020?包头12/26）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，按以下步骤作图：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点M在AB的上方）；
（2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D；
（3）用圆规在射线OM上截取OE＝OD．连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC．重足为F，交AD于点G．
下列结论：
①CD＝2GF；
②BD2﹣CD2＝AC2；
③S△BOE＝2S△AOG；
④若AC＝6，OF+OA＝9，则四边形ADBE的周长为25．
其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7.（2020?天津8/25）如图，四边形是正方形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标是
A．
B．
C．
D．
8.（2020?广东9/25）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为
A．1
B．
C．
D．2
9.（2020?上海5/25）下列命题中，真命题是
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
10.（2020?鄂尔多斯9/24）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（ ）
A．
B．22018
C．22018+
D．1010
二、填空题
11.（2020?包头18/26）如图，在□ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为
．
12.（2020?西藏16/25）如图，已知平行四边形，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于．若，则
．
13.（2020?安徽14/23）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为；再将△PCQ，△ADQ分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．请完成下列探究：
（1）的大小为
；
（2）当四边形是平行四边形时，的值为
．
14.（2020?青海6/28）如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，，则的长为
．
15.（2020?江西12/23）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段．当图中存在角时，的长为
厘米．
16.（2020?陕西14/25）如图，在菱形中，，，点在边上，且．若直线经过点，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点，则线段的长为
．
17.（2020?包头16/26）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝
°．
18.（2020?鄂尔多斯16/24）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有
（把所有正确结论的序号都填上）．
三、解答题
19.（2020?宁夏21/26）如图，在□ABCD中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：．
20.（2020?重庆B卷20/26）如图，在平行四边形中，，分别平分和，交对角线于点，．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
21.（2020?陕西18/25）如图，在四边形中，AD∥BC，．是边上一点，且．求证：．
22.（2020?北京21/28）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
23.（2020?赤峰20/26）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力．爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等．
（1）请你在图1中画出一种分法（无需尺规作图）；
（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线．（不写作法，保留作图痕迹）
24.（2020?呼和浩特18/24）如图，正方形，是边上任意一点（不与、重合），于点，BF∥DE，且交于点．
（1）求证：；
（2）四边形是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点的位置，如不可能，请说明理由．
第18章
平行四边形整理与复习（第2课时）
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1.（2020?广东6/25）已知△ABC的周长为16，点，，分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为
A．8
B．
C．16
D．4
【解析】解：、、分别为△ABC三边的中点，
、、都是△ABC的中位线，
，，，
故△DEF的周长．
故选：A．
2.（2020?河北12/26）如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是
A．从点向北偏西走到达
B．公路的走向是南偏西
C．公路的走向是北偏东
D．从点向北走后，再向西走到达
【解析】解：如图，
由题意可得△PAB是腰长的等腰直角三角形，
则，
如图所示，过点作的垂线，
则，
则从点向北偏西走到达，选项A错误；
则公路的走向是南偏西或北偏东，选项B，C正确；
则从点向北走后到达中点，此时为△PAB的中位线，故，故再向西走到达，选项D正确．
故选：A．
3.（2020?包头8/26）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E．若AC＝2，BC＝2，则BE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：方法1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，
由勾股定理得AB＝＝＝2，
∵D是AB的中点，
∴BD＝CD＝，
设DE＝x，
由勾股定理得（）2﹣x2＝（2）2﹣（+x）2，
解得x＝，
∴在Rt△BED中，BE＝＝＝．
方法2：三角形ABC的面积＝×AC×BC＝×2×2＝2，
∵D是AB中点，
∴△BCD的面积＝△ABC面积×＝，
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，
由勾股定理得AB＝＝＝2，
∵D是AB的中点，
∴CD＝，
∴BE＝×2÷＝．
故选：A．
4.（2020?鄂尔多斯5/24）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A．125°
B．115°
C．110°
D．120°
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠BFE＝180°，
∵∠1＝125°，
∴∠BFE＝55°，
∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，
∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，
故选：B．
5.（2020?兴安盟?呼伦贝尔11/26）如图，在△ABC中，，分别是边，上的中线，于点，点，分别，的中点，若，，则四边形的周长是
A．14
B．20
C．22
D．28
【解析】解：和分别是△ABC的中线，
，DE∥BC，
和分别是和的中点，，，
，MN∥BC，，，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形，
，
，
四边形的周长为20，
故选：B．
6.（2020?包头12/26）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，按以下步骤作图：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点M在AB的上方）；
（2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D；
（3）用圆规在射线OM上截取OE＝OD．连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC．重足为F，交AD于点G．
下列结论：
①CD＝2GF；
②BD2﹣CD2＝AC2；
③S△BOE＝2S△AOG；
④若AC＝6，OF+OA＝9，则四边形ADBE的周长为25．
其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】解：根据作图过程可知：
DE⊥AB，AO＝BO，OE＝OD，
∴四边形ADBE是菱形，
∵OF⊥AC，BC⊥AC，
∴OF⊥BC，
又AO＝BO，
∴AF＝CF，AG＝GD，
∴CD＝2FG．
∴①正确；
∵四边形ADBE是菱形，
∴AD＝BD，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AD2﹣CD2＝AC2，
∴BD2﹣CD2＝AC2．
∴②正确；
∵点G是AD的中点，
∴S△AOD＝2S△AOG，
∵S△AOD＝S△BOE，
S△BOE＝2S△AOG；
∴③正确；
∵AF＝AC＝×6＝3，
又OF+OA＝9，
∴OA＝9﹣OF，
在Rt△AFO中，根据勾股定理，得
（9﹣OF）2＝OF2+32，
解得OF＝4，
∴OA＝5，
∴AB＝10，
∴BC＝8，
∴BD+DC＝AD+DC＝8，
∴CD＝8﹣AD，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AD2＝62+（8﹣AD）2，
解得AD＝，
∴菱形ADBE的周长为4AD＝25．
∴④正确．
综上所述：①②③④．
故选：D．
7.（2020?天津8/25）如图，四边形是正方形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，两点的坐标分别是，，
，
，
．
故选：D．
8.（2020?广东9/25）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为
A．1
B．
C．
D．2
【解析】解：四边形是正方形，
∴AB∥CD，，
，
将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
，，
，
，
设，则，，
，
解得．
故选：D．
9.（2020?上海5/25）下列命题中，真命题是
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
【解析】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C、正确；
D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；
故选：C．
10.（2020?鄂尔多斯9/24）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（ ）
A．
B．22018
C．22018+
D．1010
【解析】解：∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝×1×1＝，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA2＝A2A3＝2，
∴S2＝×2×1＝1，
同理可求：S3＝×2×2＝2，S4＝4…，
∴Sn＝2n﹣2，
∴S2020＝22018，
故选：B．
二、填空题
11.（2020?包头18/26）如图，在□ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为 16 ．
【解析】证明：∵BE、CE
分别平分∠ABC
和∠BCD
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝2，BC＝AD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE2+CE2＝BC2
，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝2，
同理可证
DE＝DC＝2，
∴DE+AE＝AD＝4，
∴BE2+CE2＝BC2＝AD2＝16．
故答案为：16．
12.（2020?西藏16/25）如图，已知平行四边形，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于．若，则 ．
【解析】解：四边形为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
，
由作法得：平分，
，
，
∵AB∥CD，
．
故答案为．
13.（2020?安徽14/23）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为；再将△PCQ，△ADQ分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．请完成下列探究：
（1）的大小为 30 ；
（2）当四边形是平行四边形时，的值为 ．
【解析】解：（1）由折叠的性质可得：，，，，，，
，
，
∴
AD∥BC，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
故答案为：．
14.（2020?青海6/28）如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，，则的长为 6 ．
【解析】解：在矩形中，
，
，
，
，
，
，
在Rt△ABC中，
，
故答案为：6
15.（2020?江西12/23）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段．当图中存在角时，的长为 厘米或厘米或 厘米．
【解析】解：
①当时，；
②当时，；
③时，，延长交于，如下图所示，
设，则，，
，
，
，
．
故答案为：厘米或厘米或厘米．
16.（2020?陕西14/25）如图，在菱形中，，，点在边上，且．若直线经过点，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点，则线段的长为 ．
【解析】解：如图，过点和点作，于点和，
得矩形，
，
在菱形中，，，
，，
，
平分菱形面积，经过菱形对角线交点，
，
，
在Rt△EFH中，根据勾股定理，得
．
故答案为：．
17.（2020?包头16/26）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝ 22 °．
【解析】解：∵正方形ABCD中，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故答案为：22．
18.（2020?鄂尔多斯16/24）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有 ①②④ （把所有正确结论的序号都填上）．
【解析】解：如图，连接DH，HM．
由题可得，AM＝BE，
∴AB＝EM＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，
∴EH＝AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，
∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM＝2HM，故②正确；
当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，
∴Rt△ADM中，DM＝2AM，
即DM＝2BE，故①正确；
∵CD∥EM，EC∥DM，
∴四边形CEMD是平行四边形，
∵DM＞AD，AD＝CD，
∴DM＞CD，
∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC＝45°，
∴∠CHM＞135°，故④正确；
由上可得正确结论的序号为①②④．
故答案为①②④．
三、解答题
19.（2020?宁夏21/26）如图，在□ABCD中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：．
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，AB∥DC．
，．
又，
∴△AFE≌△DCE．
．
．
20.（2020?重庆B卷20/26）如图，在平行四边形中，，分别平分和，交对角线于点，．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【解析】解：（1）四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
，
平分，
，
，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，，，
，
，分别平分和，
，，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
．
21.（2020?陕西18/25）如图，在四边形中，AD∥BC，．是边上一点，且．求证：．
【解析】证明：，
．
，
，
∴
AB∥BE，
∵AD∥BC，
四边形是平行四边形．
．
22.（2020?北京21/28）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，OB＝OD
∵E是AD的中点，
∴AE＝OE＝AD，
∴∠EAO＝∠AOE，∵AE＝DE
∴OE是三角形ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
23.（2020?赤峰20/26）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力．爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等．
（1）请你在图1中画出一种分法（无需尺规作图）；
（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线．（不写作法，保留作图痕迹）
【解析】解：（1）如图，直线a，直线b即为所求．
（2）如图，直线c即为所求．
24.（2020?呼和浩特18/24）如图，正方形，是边上任意一点（不与、重合），于点，BF∥DE，且交于点．
（1）求证：；
（2）四边形是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点的位置，如不可能，请说明理由．
【解析】解：（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
又∵BF∥DE，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
，，
；
（2）不可能，理由是：
如图，若要四边形是平行四边形，
已知DE∥BF，则当时，四边形为平行四边形，
，
，即此时，
而点不与和重合，
，矛盾，
四边形不能是平行四边形．
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精品试卷·第
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人教版
八年级数学下册
第18章
平行四边形整理与复习（第2课时）
1.系统地梳理平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法，进一步加深对本章知识的理解和运用。
2.培养学生分析问题以及逻辑推理的能力，养成认真书写的习惯.
学习目标
（1）对角线相等的四边形是矩形；（
）
（2）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形。（
）
（3）两条对角线垂直的四边形是菱形（
）
（4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形（
）
（5）四边相等的四边形是正方形（
）
（6）对角线互相垂直平分的四边形是正方形（
）
×
反例：
×
×
√
×
菱形
×
菱形
判断题：
课前热身
图形
元素
边
角
对角线
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.有三个角是直角的四边形是矩形.
3.对角线相等的平行四边形是矩形.
平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法
知识梳理
图形
元素
边
角
对角线
平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.四条边都相等的四边形是菱形.
3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2.有一组邻边相等的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
1.有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
知识梳理
1.选择
(1)能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（
）
A.一组对角相等
B.两条对角线互相平分
C.两条对角线互相垂直
D.一对邻角的和为180°
B
巩固训练
1.选择
(2)下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（
）
A.一组对边平行，另一组对边也平行；
B.一组对角相等，另一组对角也相等；
C.一组对边平行，一组对角相等；
D.一组对边平行，另一组对边相等
D
巩固训练
1.选择
(3)下列四边形中不是矩形的是（
）
A.有三个角是直角的四边形是矩形
B.四个角都相等的四边形
C.一组对边平行且对角相等的四边形
D.对角线相等且互相平分的四边形
C
巩固训练
(4)如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH是（
）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
1.选择
A
巩固训练
2.填空：顺次连接任意四边形各边的中点，所构成的四边形以下简称为“中点四边形”。
（1）当
时，中点四边形EFGH为菱形；
AC
⊥
BD
AC=BD
AC=BD且AC
⊥
BD
（2）当
时，中点四边形EFGH为矩形；
（3）当
时，中点四边形EFGH为正方形；
巩固训练
(4)矩形的“中点四边形”是
形；
(5)菱形的“中点四边形”是
形；
(6)正方形的“中点四边形”是
形。
矩
菱
正方
2.填空：
那么，特殊平行四边形的“中点四边形”会是怎样的图形呢？
巩固训练
1.已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∠2=∠3
证明：
又∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴AE=DE
∴平行四边形AEDF是菱形
能力提升
2.已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．证明:四边形ABCD是矩形
∵MN∥PQ
∴∠MAC=∠QCA.∠MAC+∠PCA=180°
又∵BA,CD,BC分别平分∠MAC，∠QCA，∠PCA
证明：
∴AB∥CD
同理AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=90°
∴四边形ABCD是平行矩形
1
2
3
4
5
能力提升
3.已知：如图，BC是等腰直角三角形BED底边ED的高，四边形ABEC是平行四边形.求证：四边形ABCD是正方形.
∵BC是等腰直角三角形BED底边ED的高
∴BC⊥ED，BC=CD=CE.
又∵四边形ABEC是平行四边形
AB
=
EC
∴AB
∥
EC且
∴AB
∥
CD且
AB
=
CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵BC⊥ED
BC=CD
∴四边形ABCD是正方形.
证明：
能力提升
图形
元素
边
角
对角线
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.有三个角是直角的四边形是矩形.
3.对角线相等的平行四边形是矩形.
平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.四条边都相等的四边形是菱形.
3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2.有一组邻边相等的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
1.有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
课堂总结
1.系统地梳理平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法，进一步加深对本章知识的理解和运用。
2.培养学生分析问题以及逻辑推理的能力，养成认真书写的习惯.
目标达成
1.已知
ABCD中，直线MN
//
AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q．求证：PM=QN．
2.
?已知：如图，在
??ABCD中，以AC斜边
作Rt△ACE，且∠BED为直角．
求证：四边形ABCD是矩形．
布置作业
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