10.1.2 事件的关系和运算 课件（共66张PPT）2020-2021年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第十章概率

第十章　§10.1　随机事件与概率
10.1.2　事件的关系和运算
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解事件的关系和运算.
2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　事件的关系
?
定义
符号
图示
包含关系
一般地，若事件A发生，则事件B 发生，称事件B 事件A(或事件A包含于事件B)
B?A
(或A?B)
?
相等关系
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，则称事件A与事件B相等
______
?
一定
包含
A＝B
知识点二　并事件与交事件
?
定义
符号
图示
并事件
(或和事件)
一般地，事件A与事件B
有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
?
至少
交事件
(或积事件)
一般地，事件A与事件B 发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
______
_______
?
同时
A∩B
(或AB)
知识点三　互斥事件和对立事件
?
定义
符号
图示
互斥事件
一般地，如果事件A与事件B_____
发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝?，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
A∩B＝?
?
对立事件
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中 发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为
A∪B＝Ω且A∩B＝?
?
不能
同时
有且仅有一个
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件.(　　)
2.若两个事件是互斥事件，则这两个事件也是对立事件.(　　)
3.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.(　　)
4.若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生.(　　)
√
×
√
×
2
题型探究
PART TWO
例1　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.
(1)A与C；
一、互斥事件和对立事件的判断
解　由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.
(2)B与E；
解　事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件.
由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.
(3)B与D；
解　事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.
(4)B与C；
解　事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”.
事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.
即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.
(5)C与E.
解　由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.
反思感悟
判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.
跟踪训练1　(1)从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品不全是次品}，则下列结论正确的序号有________.
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.
①②⑤
解析　A＝{三件产品全不是次品}指的是三件产品都是正品，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品不全是次品}包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，
由此知：A与B是互斥事件，但不对立；
A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；
B与C是互斥事件，也是对立事件.
所以正确结论的序号有①②⑤.
(2)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是
A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.非互斥事件 D.以上都不对
√
解析　由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
二、事件的运算
例2　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
解　对于事件D，可能的结果为：1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解　对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
延伸探究
在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解　由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球，2个红球、1个白球，3个红球三种情况，故B?C，E?C，
而事件F包括的可能结果有1个白球、2个红球，2个白球、1个红球，3个白球，
所以C∩F＝{1个红球、2个白球，2个红球、1个白球}＝D.
反思感悟
事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
跟踪训练2　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
解　因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；
事件D2包含事件C4，C5，C6；
事件F包含事件C2，C4，C6；
事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
解　因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
三、随机事件的表示及含义
例3　设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
(1)三个事件都发生；
解　ABC.
(2)三个事件至少有一个发生；
解　A∪B∪C.
(3)A发生，B，C不发生；
(4)A，B都发生，C不发生；
(5)A，B至少有一个发生，C不发生；
(6)A，B，C中恰好有两个发生.
延伸探究
本例条件不变，试用A，B，C表示以下事件.
(1)三个事件都不发生；
(2)三个事件至少有两个发生.
反思感悟
清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.
符号
事件的运算
集合的运算
A
随机事件
子集

A的对立事件
A的补集
AB
事件A与B的交事件
集合A与B的交集
A∪B
事件A与B的并事件
集合A与B的并集
跟踪训练3　5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，
解　总的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，
A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，
B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，
C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.
A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
5
1.某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是
A.A与B为对立事件 B.B与C为互斥事件
C.C与D为对立事件 D.B与D为互斥事件
√
1
2
3
4
5
2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至少有2件正品
√
解析　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品.
共9种结果，
故它的对立事件为含有1或0件次品，
即至多有1件次品.
3.(多选)设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是
A.A＋B＝A B.A＋AB＝A
C. D.A(A＋B)＝A
√
√
解析　若A＋B＝A，则B?A，故A错误；
由题知，AB?A
∴A＋AB＝A，B正确；
∵A?(A＋B)，
∴A(A＋B)＝A，D正确.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4.甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则 表示的含义是__________________，事件“密码被破译”可表示为______________.
只有一人破译密码
1
2
3
4
5
5.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为__________________________.
{10,20,30,40,50,32,42,52,54}
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)事件的包含关系与相等关系.
(2)并事件和交事件.
(3)互斥事件和对立事件.
2.方法归纳：列举法、Venn图法.
3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.
4
课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A “所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是
A.所取的3个球中至少有一个白球
B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C.所取的3个球都是黑球
D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，
事件A的互斥事件是所取的3个球中多于1个白球，
∴事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为
A.至多做完三套练习题 B.至多做完两套练习题
C.至多做完四套练习题 D.至少做完两套练习题
√
解析　至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6，…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件 用样本点表示为
A.{(5,5)} B.{(4,6)，(5,5)}
C.{(6,5)，(5,5)} D.{(4,6)，(6,4)，(5,5)}
√
A.必然事件 B.不可能事件
C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥事件的是
A.“恰有一名男生”和“全是男生”
B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C.“至少有一名男生”和“全是男生”
D.“至少有一名男生”和“全是女生”
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　A是互斥事件，恰有一名男生的实质是选出的两人中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；
B不是互斥事件，当选出的两人是一男一女时，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”同时发生；
C不是互斥事件；
D是互斥事件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.设某随机试验的样本空间Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{2,3,4}，B＝{3,4,5}.则：
(1)A∪B＝_________；
(2) ∩B＝____.
{2,3,4,5}
{5}
7.在某大学的学生中任选一名学生，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是大三学生，事件C表示该生是运动员，则事件
的含义是______________________________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
该生是大三男生，但不是运动员
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的是理科书可记为__________.
B∪D∪E
9.从某大学数学系图书室中任选一本书.设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2000年后出版的书}.问：
(1)A∩B∩ 表示什么事件？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　A∩B∩ ＝{2000年或2000年前出版的中文版的数学书}.
(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?
解　在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)如果 ＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？
解　是. ＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书.
10.连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A＝{两次出现的点数相同}，事件B＝{两次出现的点数之和为4}，事件C＝{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D＝{两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件C∩D，A∪B；
解　由题意得，事件A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，事件B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，事件C＝{(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)}，事件D＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}.
C∩D＝{(1,5)，(5,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若事件E＝{(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(5,1)，(6,2)}，则事件E与已知事件是什么运算关系？
解　E＝B∪C.
综合运用
11.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是
A.A?D B.B∩D＝?
C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.(多选)一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有
A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”
B.“至少有1件次品”和“都是次品”
C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”
D.“至少有1件次品”和“都是正品”
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　对于A，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；
对于B，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；
对于C，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；
对于D，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故AD是互斥事件.
13.盒子内分别有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是
A.至少有1个白球，至多有1个白球
B.至少有1个白球，至少有1个红球
C.至少有1个白球，没有白球
D.至少有1个白球，红球、黑球各1个
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　当取出的2个球是1白1红时，A中两个事件同时发生，所以A中的两个事件不是互斥事件，此时B也一样，所以排除A，B；
C中，两个事件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是对立事件，所以排除C；
D中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以D中的两个事件是互斥事件但不是对立事件.
14.电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝___________
_____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(BC)∪(BD)
或B∩(C∪D)
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”.
(1)事件A1含有多少个样本点？
解　用1,2,3,4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(1,4，a)，(1,4，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(2,4，a)，(2,4，b)，(3,4，a)，(3,4，b)}，共含12个样本点.
(2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？
解　事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，所以B＝A1∪A2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
本课结束