人教版八年级上册
12.2
三角形全等的判定测试题
(时间：60分钟)
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.
如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（
）
A.
∠B=∠C
B.
AD=AE
C.
BD=CE
D.
BE=CD
2.
如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（
）
A
8
B.
9
C.
10
D.
11
3.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（
）
A.
AB=DE
B.
AC=DF
C.
∠A=∠D
D.
BF=EC
4.如图，已知，从下列条件：①；②；③；④中添加一个条件，能使≌的有（）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
5.如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
6.如图，中，于D，于E，AD交BE于点F，若，则等于
A.
B.
C.
D.
7.如图，AD是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和35，则的面积为
A.
25
B.
C.
D.
8.用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（ ）
A
SSS
B.
SAS
C.
ASA
D.
AAS
9.下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ）
A.
一个角是两个等腰三角形
B.
两个等边三角形
C.
各有一个角是，腰长都是8cm的两个等腰三角形
D.
腰长相等两个等腰直角三角形
10.如图，，，要使，直接利用三角形全等的判定方法是
A.
AAS
B.
SAS
C.
ASA
D.
SSS
二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）
11.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为
．
12.已知：在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则?ABCD的面积是_____．
13.如图，在?ABCD中，对角线AC平分，MN与AC交于点O，M，N分别在AB，CD上，且，连接若，则的度数为______.
14.如图，AB=AC，若要判定△ABD≌△ACD，则需要添加的一个条件是：________?
15.如图，，，，，，则
______．
16.如图,
于,于,若，则下列结论:?
①;②平分;③;④中?正确的是?____________.
17.如图所示，在平行四边形ABCD中，，F是AD的中点，作，垂足E在线段上，连接EF、CF，则下列结论；；，中一定成立的是______
把所有正确结论的序号都填在横线上
18.如图，AB、CD相交于点O，AD=CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是______
．
19.如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是________．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
20.如图，已知中，，把绕点沿顺时针方向旋转得到，连接，交于点．
求证：；
若，，当四边形是菱形时，求的长．
21.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，，，E、F分别为垂足，若，，求AP的长．
22.在正方形ABCD中，点PCD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作、，垂足分别为E、F．
如图，请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？
若点P在DC的延长线上，如图，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？
若点P在CD的延长线上，如图，请直接写出结论．
23.如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
24.如图1，点M为直线AB上一动点，，都是等边三角形，连接BN
求证：；
分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系不需证明；
如图4，当时，证明：．
25.如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1=∠3．人教版八年级上册
12.2
三角形全等的判定测试题
(时间：60分钟)
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.
如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（
）
A.
∠B=∠C
B.
AD=AE
C.
BD=CE
D.
BE=CD
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：添加A可以利用ASA来进行全等判定；添加B可以利用SAS来进行判定；添加C选项可以得出AD=AE，然后利用SAS来进行全等判定.
考点：三角形全等的判定
2.
如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（
）
A.
8
B.
9
C.
10
D.
11
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
解：由于a、b、c都正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=1+9=10，
∴b的面积为10，
故选C．
考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
3.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF是（
）
A.
AB=DE
B.
AC=DF
C.
∠A=∠D
D.
BF=EC
【答案】C
【解析】
试题分析：解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C．
考点：全等三角形的判定．
4.如图，已知，从下列条件：①；②；③；④中添加一个条件，能使≌的有（）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法逐一判定即可.
【详解】∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，即∠BAC=∠EAD，又∵AC=AD，
∴加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等.
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS等，判定两个直角三角形全等除上述方法外还有HL.
5.如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】D
【解析】
试题解析：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB=FB?FG=S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD?FE=AD2=FQ?AC，④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
6.如图，中，于D，于E，AD交BE于点F，若，则等于
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用AAS证明∴≌，根据全等三角形的性质可得，即可求得=45°.
【详解】∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∴=45°.
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，证明≌是解决本题的关键.
7.如图，AD是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和35，则的面积为
A.
25
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可.
【详解】如图，过点D作于H，
是的角平分线，，
，
在和中，，
≌，
，
在和中，
≌，
，
和的面积分别为60和35，
，
=12.5，
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记掌握相关性质、正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
8.用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（ ）
A.
SSS
B.
SAS
C.
ASA
D.
AAS
【答案】A
【解析】
【分析】
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等．
【详解】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选：D．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图及全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
9.下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ）
A.
一个角是的两个等腰三角形
B.
两个等边三角形
C.
各有一个角是，腰长都是8cm的两个等腰三角形
D.
腰长相等的两个等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定方法对选项逐一进行判断即可得.(如：SAS、ASA、AAS、HL等).
【详解】A、因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等，故本选项错误；
B、因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误；
C、因为没有说明该角是顶角还是底角，故本选项错误．
D、因为符合SAS，故本选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，做题时要确定各角、边的对应关系，还要注意要证明三角形全等必须有边的参与.
10.如图，，，要使，直接利用三角形全等的判定方法是
A.
AAS
B.
SAS
C.
ASA
D.
SSS
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线性质得出∠ABD=∠CDB，再加上AB=DC，BD=DB，根据全等三角形的判定定理SAS即可推出△ABD≌△CDB，从而推出∠A=∠C，即可得出答案．
【详解】，
，
在和中，，
≌，
，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线性质、全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键.
二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）
11.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为
．
【答案】2.5
【解析】
试题分析：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF，设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+（4﹣x）2=x2，
解得：x=，
∴FM=．
考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.正方形的性质．
12.已知：在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则?ABCD的面积是_____．
【答案】32
【解析】
【详解】分析：利用平行四边形的性质可证明△AOF≌△COE，所以可得△COE的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=?ABCD的面积，进而可得问题答案．
详解：：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，
又∵AO=CO，
在△AOE与△COF中
∴△AOE≌△COF
∴△COEF的面积为3，
∵S△BOF=5，
∴△BOC的面积为8，
∵△BOC的面积=?ABCD的面积，
∴?ABCD的面积=4×8=32，
故答案为：32．
点睛：本题考查了平行四边形性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：①平行四边形的对边相等且平行，②全等三角形的对应边、对应角分别相等．
13.如图，在?ABCD中，对角线AC平分，MN与AC交于点O，M，N分别在AB，CD上，且，连接若，则的度数为______.
【答案】62
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质以及??=??，利用ASA可得△???≌△???，可得??=??，继而根据已知条件可推导得出??⊥??，继而可求得∠???的度数．
【详解】四边形ABCD为平行四边形，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵BC//AD，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为62．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握和灵活运用相关性质与定理是解题的关键.
14.如图，AB=AC，若要判定△ABD≌△ACD，则需要添加的一个条件是：________?
【答案】∠BAD=∠DAC（或填BD=CD）.
【解析】
【分析】
根据题意知，在△ABD与△ACD中，AB=AC，AD=AD，所以由三角形判定定理SAS可以推知，只需添加∠BAD=∠DAC即可．由三角形判定定理SSS可以推知，只需要添加BD=CD即可.
【详解】∵在△ABD与△ACD中，AB=AC，AD=AD，
∴添加∠BAD=∠DAC时，可以根据SAS判定△ABD≌△ACD，
添加BD=CD时，可以根据SSS判定△ABD≌△ACD，
故答案为：∠BAD=∠DAC（或填BD=CD）.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15.如图，，，，，，则
______．
【答案】6
【解析】
【分析】
由AAS证明△ABC≌△EFC，得出对应边相等AC=EC，BC=CF=4，求出EC，即可得出AC的长．
【详解】，
，
在和中，，
≌，
，，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键.
16.如图,
于,于,若，则下列结论:?
①;②平分;③;④中?正确的是?____________.
【答案】①②④
【解析】
试题分析：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
Rt△BDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，①正确，
∴AD平分∠BAC，②正确，
∵在Rt△ADE中，AE是斜边，
∴AE＞AD，③不正确，
∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF，AE=AF，
∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确；
正确的是①②④．
考点：(1)、全等三角形的判定与性质；(2)、角平分线的判定
17.如图所示，在平行四边形ABCD中，，F是AD的中点，作，垂足E在线段上，连接EF、CF，则下列结论；；，中一定成立的是______
把所有正确结论的序号都填在横线上
【答案】
【解析】
分析：由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系，进而得出答案．
详解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，
即∠BCD=2∠DCF；故此选项错误；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
④∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
综上可知：一定成立的是②③，
故答案为：②③．
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．
18.如图，AB、CD相交于点O，AD=CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是______
．
【答案】∠A=∠C(或∠ADO=∠CBO)
【解析】
添加条件可以是：∠A=∠C或∠ADC=∠ABC．
∵添加∠A=∠C根据AAS判定△AOD≌△COB，
添加∠ADC=∠ABC根据ASA判定△AOD≌△COB，
19.如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是________．
【答案】①②③
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在RT△ADE和RT△GDE中，
，
∴△AED≌△GED，故①正确，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，故②正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．
∵AE=FG=EG=BG，BE=AE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故选B.
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
20.如图，已知中，，把绕点沿顺时针方向旋转得到，连接，交于点．
求证：；
若，，当四边形是菱形时，求的长．
【答案】（1）证明见解析（2）2-2
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；
（2）根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD-DF求出BF的长即可．
【详解】由旋转的性质得：，且，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴；
∵四边形是菱形，且，
∴，
由得：，
∴，
∴为直角边为的等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
21.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，，，E、F分别为垂足，若，，求AP的长．
【答案】5
【解析】
【分析】
连接CP时，可以证明△APD≌△CPD，然后根据全等三角形的性质可以得到AP=CP，由已知条件可以得出四边形PECF是矩形，根据矩形对角线相等可得PC=EF，结合已知条件利用勾股定理可求出EF的长，求出EF的长即可得AP的长.
【详解】如图，连接PC，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
≌，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，，
四边形PFCE是矩形，
，
，
在中，，
，
.
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质得出AP与CP相等是解题的关键.
22.在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作、，垂足分别为E、F．
如图，请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？
若点P在DC的延长线上，如图，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？
若点P在CD的延长线上，如图，请直接写出结论．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
试题分析：（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF，理由为：由BE垂直于AP，DF垂直于AP，得到一对直角相等，再由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，且∠BAD为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABE与三角形DFA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AF，AE=DF，根据AF-AE=EF，等量代换即可得证；（2）在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF，理由同（1）；（3）在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF，理由同（1）．
试题解析：（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF；
证明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE-AF=EF，
∴DF-BE=EF．
（2）在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF；
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE-AF=EF，
∴DF-BE=EF．
（3）在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF，
理由为：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE+AF=EF，
∴DF+BE=EF．
点睛：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定时，关键是选择恰当的判定条件.要注意三角形间的公共角和公共边，必要时添加适当的辅助线构造三角形.
23.如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．
【答案】
【解析】
试题分析：延长AD到E使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=90°，根据勾股定理求出CD即可．
试题解析：延长AD到E使AD=DE，连接CE，
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，
在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，
∴AC2=AE2+CE2，
∴∠E=90°，
由勾股定理得：CD=，
∴BC=2CD=2，
答：BC的长是2．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
24.如图1，点M为直线AB上一动点，，都是等边三角形，连接BN
求证：；
分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系不需证明；
如图4，当时，证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）图2中；图3中．；（3）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）根据等边三角形的性质就可以得出∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，进而就可以得出△APM≌△PBN，得出结论；
（2）由（1）中的方法证得△APM≌△PBN，得出图2中，BN=AB+BM；得出图3中，BN=BM-AB；
（3）由等边三角形的性质得出∠ABP=∠PMN=60°，就可以得出∠PBM=120°，求得∠BMP=30°，进而就可以得出∠BMN=90°，得出结论．
试题解析：证明：和是等边三角形，
，
，
．
在≌中
，
≌，
．
图2中；
图3中．
证明：和是等边三角形，
，
，
，
，
，
．??
25.如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1=∠3．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
试题分析：(1)由已知角相等，利用等式的性质得到，利用SAS即可得证；
(2)利用全等三角形对应角相等得到，再由及三角形内角和定理即可得证．
试题解析：，
，即，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
