人教版九年级数学下册27.2相似三角形同步测试
一、选择题
1.如图，在△ABC中，若，则BC的长为(
)
A
8cm
B.
10cm
C.
12cm
D.
11cm
2.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为(
)
A
2
B.
3
C.
4
D.
5
3.如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与A、C重合），DE与AB相交于点F，则图中相似三角形有(
)
A.
2对
B.
3对
C.
4对
D.
5对
4.如图，?ABCD中，AB=3，BC=5，BE平分∠ABC交AD于点E、交AC于点F，则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
5.如图是一把含角的三角尺，外边，内边与外边的距离都是1，那么EP的长度是
A.
4
B.
C.
D.
6.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作
EF∥AD，与AC、DC
分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、
EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若，则．其中结论正确的有（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
7.已知∽，且，则DF的长为
A.
1cm
B.
C.
6cm
D.
6cm或
8.在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N．下列结论错误的是
A.
四边形EDCN是菱形
B.
四边形MNCD是等腰梯形
C
△AEM与△CBN相似
D.
△AEN与△EDM全等
9.如图，正内接于劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：
；??；??；
；图中共有6对相似三角形．
其中，正确结论的个数为
A.
5个
B.
4个
C.
3个
D.
2个
10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为点D，则AD的长为(
)
A.
B.
6
C.
D.
4
二、解答题
11.如图，已知，在锐角中，于点E，点D在边AC上，联结BD交CE于点F，且．
求证：；
联结AF，求证：．
12.已知：如图，四边形，对角线，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点.
求证：BD平分；
求证：．
13.如图，已知G、H分别是?ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F．
当时，求的值；
联结BD交EF于点M，求证：．
14.如图，在三角形ABC中，，点D为边BC的中点，射线交AB于点点P从点D出发，沿射线DE以每秒1个单位长度的速度运动以PD为斜边，在射线DE的右侧作等腰直角设点P的运动时间为秒．
用含t代数式表示线段EP的长．
求点Q落在边AC上时t的值．
当点Q在内部时，设和重叠部分图形的面积为平方单位，求S与t之间的函数关系式．人教版九年级数学下册27.2相似三角形同步测试
一、选择题
1.如图，在△ABC中，若，则BC的长为(
)
A.
8cm
B.
10cm
C.
12cm
D.
11cm
【答案】C
【解析】
【分析】
由DE∥BC，可求出△ADE∽△ABC，已知了它们的相似比和DE的长，可求出BC的值
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
∴AD：AB=DE：BC=1：3，
∵DE=4
∴BC=12
故选：C．考点：平行线分线段成比例
2.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为(
)
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
【答案】B
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，
∴△AEG∽△BFE，
∴，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG?BF=2，
∴AE=（舍负），
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，
∴GF的长为3，
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．
3.如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与A、C重合），DE与AB相交于点F，则图中相似三角形有(
)
A.
2对
B.
3对
C.
4对
D.
5对
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的3个角分别相等，可推出△ABC∽△EDB，根据对应角相等推出△BDC∽△EFB∽△AFD．△BDF∽△BAD
【详解】∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A=∠C=∠BDE=∠EBD=∠E=∠ABC=60°，
∴△ABC∽△EBD，
∵∠ADF+∠BDE=∠C+∠DBC，
∴∠ADF=∠DBC，
∴△BCD∽△DAF，
∵∠A=∠E，∠BFE=∠DFA，∴△BEF∽△DAF，∴△BCD∽△BEF，
∵∠A=∠BDF=60°，∠ABD=∠DBF，∴△BDF∽△BAD，
共5对相似三角形，
故选D.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合已知条件，证明结论．
4.如图，?ABCD中，AB=3，BC=5，BE平分∠ABC交AD于点E、交AC于点F，则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
故选B．
5.如图是一把含角的三角尺，外边，内边与外边的距离都是1，那么EP的长度是
A.
4
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
如图，可知AE平分∠BAC，四边形CDFN是正方形，EFNM是矩形，
∴CN=FD=1，EM=FN=1，∠AME=90°，EF=MN，
∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB==4，
∵AE平分∠BAC，∴∠EAM=∠BAC=30°，∴AE=2EM=2，∴AM==，
∴MN=AC-AM-CN=3-，
∵∠P=30°，∠PFE=90°，∴PE=2EF=6-2，
故选D.
6.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作
EF∥AD，与AC、DC
分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、
EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若，则．其中结论正确的有（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】D
【解析】
分析：①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF-GF=CD-FC=DF；
②由SAS证明△EHF≌△DHC即可；
③根据△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；
④若=，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．
详解：①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD，
∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF?GF，DF=CD?FC，
∴EG=DF，故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，
EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH，
∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②正确；
③∵△EHF≌△DHC(已证)，
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF?∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；
④∵=，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=GH,∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中，
EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，
∴△EGH≌△DFH(SAS)，
∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,
∴△EHD等腰直角三角形，
如图，过H点作HM⊥CD于M，
设HM=x,则DM=5x,DH=，CD=6x，
则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2，
∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；
故选D.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质.
7.已知∽，且，则DF的长为
A.
1cm
B.
C.
6cm
D.
6cm或
【答案】C
【解析】
试题解析：∵△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB=2，AC=4，DE=3，
∴
解得DF=6．
故选C．
8.在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N．下列结论错误的是
A.
四边形EDCN是菱形
B.
四边形MNCD是等腰梯形
C.
△AEM与△CBN相似
D.
△AEN与△EDM全等
【答案】C
【解析】
∵五边形ABCDE正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，
∴四边形EDCN是菱形，故A选项正确；
∵AC=AD，
∴∠NCD=∠MDC，
∴四边形MNCD等腰梯形，故B选项正确；
∵△AEB≌△EDA（SSS），
∴∠AEN=∠EDM，AE=ED，
由选项A、B可得MD=CN=NE，
在△AEN和△EDM中，，
∴△AEN≌△EDM（SAS），故D选项正确；
△AEM为钝角三角形，△CBN为锐角三角形，则△AEM与△CBN不相似，故C选项错误，
故选C.
9.如图，正内接于是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：
；??；??；
；图中共有6对相似三角形．
其中，正确结论的个数为
A.
5个
B.
4个
C.
3个
D.
2个
【答案】B
【解析】
延长BP到D，使PD=PC，连接CD，可得∠CPD=∠BAC=60°，
则△PCD为等边三角形，
∵△ABC为正三角形，
∴BC=AC，
∵∠PBC=∠CAP，∠CPA=∠CDB，
∴△APC≌△BDC（AAS），
∴PA=DB=PB+PD=PB+PC，故①正确；
由①知△PBE∽△PAC，则，，
∴≠1，
∴②错误；
∵∠BAC=60°，
∴∠PBC=120°，故③正确；
∵∠CAP=∠EBP，∠BPE=∠CPA，
∴△PBE∽△PAC，
∴，
∴PA?PE=PB?PC，故④正确；
∵△ABE∽△CPE，△AEC∽△BEP，△ACE∽△APC，△APC∽△BPE，△ABE∽△APB，△CPE∽△APB共6对相似三角形，故⑤正确，
故选B．
10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为点D，则AD的长为(
)
A.
B.
6
C.
D.
4
【答案】D
【解析】
【分析】
先证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，即可求出AD的长．
【详解】解：∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
解得：AD=4．
故选D．
考点：相似三角形的判定与性质．
二、解答题
11.如图，已知，在锐角中，于点E，点D在边AC上，联结BD交CE于点F，且．
求证：；
联结AF，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）证明△EFB∽△DFC，根据相似三角形对应角相等可得∠EFB=∠FDC，从而证得BD⊥AC；
（2）由∽，可得，从而证明∽，根据相似三角形性质可得，再根据，从而得∽，根据相似三角形的性质即可得.
试题解析：（1），
，
，
∽，
，
，
，
，
；
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
．??
12.已知：如图，四边形，对角线，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点.
求证：BD平分；
求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）通过证明△ABD∽△DCB，从而得∠ABD=∠DBC，问题得证；
（2）过点C作CM//BE交BD延长线于点M，由已知可推得CM=CB，再由CM//BE，可得△CFM∽△EFB，从而可得，通过等量代换再根据比例的性质即可得.
试题解析：，
，
，即，
∽，
，
即BD平分；
（2）过点C作CM//BE交BD延长线于点M，
∴∠M=∠EBF，
∵∠EBF=∠CBF，∴∠M=∠CBF，∴CM=CB，
∵CM//BE，∴△CFM∽△EFB，∴，
∴，
．??
13.如图，已知G、H分别是?ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F．
当时，求的值；
联结BD交EF于点M，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）证明∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得；
（2），可得，由，可得?，从而可得，问题得证.
试题解析：（1），
，
中，，
∽，
，
；
中，，
，
中，，
，
，
．??
14.如图，在三角形ABC中，，点D为边BC的中点，射线交AB于点点P从点D出发，沿射线DE以每秒1个单位长度的速度运动以PD为斜边，在射线DE的右侧作等腰直角设点P的运动时间为秒．
用含t的代数式表示线段EP的长．
求点Q落在边AC上时t的值．
当点Q在内部时，设和重叠部分图形的面积为平方单位，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）点P在线段DE上时，EP=3-t，当点P在DE延长线上时，PE=t-3；(2)t=8；(3)
【解析】
试题分析：（1）分点P在线段DE上和在DE的延长线上两种情况讨论即可得；
（2）如图所示，当点Q落在边AC上时，过点Q作于F，由题意可得FQ=CD=4，再根据等腰直角三角形可得PD=2FQ，从而可得；
（3）分点P在线段DE上和在DE的延长线上两种情况讨论即可得.
试题解析：由题可得，，
当点P在线段DE上时，；
当点P在DE的延长线上时，；
如图所示，当点Q落在边AC上时，过点Q作于F，
，
四边形CDFQ是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当点P在线段DE上时，和重叠部分为，且边上的高为，
点P从点D运动到点E处时，时间为3s，
当时，，
当点P在线段DE的延长线上时，和重叠部分为四边形EDQG，
如图所示，过G作于F，则∽，且，
，
：：：：4，
，
，
的面积，
由可知，点Q落在边AC上时，t的值为8s，
当时，，
综上所述，S与t之间的函数关系式为：．??
【点睛】本题考查了动点问题，涉及到三角形的中位线、等腰三角形的性质、图形的面积等，正确添加辅助线、分情况进行讨论是解题的关键.
