四川省南充中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学（理）试卷 Word版含答案解析

南充高中2019级高二下期入学考试
数学试题（理科）
（时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量=（ ）
A． B．
C． D．
5．已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图
所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则该四棱锥的体积是（ ）
A．4 B． C． D．
6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，能得到的是（ ）
A． B． C． D．
7． 中，若 且，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
8．已知直线恒过定点A，点A也在直线上，其中均为
正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，
则该几何体的外接球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数，若，则的取值范围是（　 ）
A． B．
C． D．
11．若满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，
则的取值范围是（　 ）
A．（，） B．（，） C． D．
12．过椭圆右焦点F且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，M为弦AB的中点，
直线OM与椭圆相交，其中一个交点为C点，若（λ＞0），则实数λ的值为（　 ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，则__________．
14．已知直线与圆：相交于，两点，为坐标原点，且
，则实数的值为________.
15．分别是三棱锥的棱的中点，，，则异
面直线与所成的角为________.
16．设首项为1的数列的前n项和为，数列的前n项和为，
若，则使得成立的最小的n的值为________.
三、解答题：本题共6小题，共70分.
已知，，与夹角是．
（1）求的值及的值；
（2）当为何值时，.
已知数列的前项和为，．
（1）证明数列为等比数列并求其通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，
随机对该市15～65岁的人群抽样，回答问题统计结果如图
表所示．
组别 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的概率
第1组 [15,25) 5 0.5
第2组 [25,35)
0.9
第3组 [35,45) 27
第4组 [45,55)
0.36
第5组 [55,65) 3
（1）分别求出的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人?
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
如图1，在矩形中，是中点，将沿直线翻折到的位置，使得，如图2.
（1）求证：面PCE面ABCE；
（2）求与面所成角的正弦值.
设椭圆的方程为，点为坐标原点，点，的坐标分别为，，，直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点？若存在，求的值；若不存在，说明理由
已知三点??在圆上.为直线上的动点，与圆的另一个交点为与圆的另一个交点为.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交所得弦长为，求点的坐标；
（3）证明：直线过定点.
南充高中2019级高二下期入学考试
数学参考答案（理科）
A【详解】因为，所以2．A【详解】a∈R，则“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选A．
3．B【详解】解：当时，直线：即，直线：即，满足．
当时，直线与直线互相平行，
，解得实数．综上，，故选：．
4．B【解析】由题意结合向量的加法法则可得：
A【详解】由三视图可知，该四棱锥的高是3，记斜二测画法中的等腰梯形的上底为，高为，则斜二测中等腰梯形的腰为，而积，由斜二测画法的特点知直观图中底面梯形的高为，面积
，故四棱锥的体积，故选.
（也可用结论直接得出：，，）
6．D【解析】试题分析：A．，或，或与相交，故A不成立；B：由，知或，从而不成立，故B不成立；
C：，或，或与相交，故C不成立；
D：，故D成立；故选D．
7．C【详解】由,得,
所以得,所以.所以,所以,
即,所以,所以,即,所以,,即三角形为等腰直角三角形,选.
点睛：判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
8．D【解析】试题分析：变形为，所以过定点，代入直线得
，当且仅当时等号成立，取得最小值8
9．B【详解】根据三视图还原几何体如下:
设为的中点,则有,且平面,
设为的外心,为的外接圆半径,
则,故在中,有,即,
如图所示,过作,且,此时平面,
设的中点为,则,故点即为三棱锥的外接球球心,又,所以三棱锥的外接球半径,
所以三棱锥的外接球表面积,故选:B.
10．B【详解】当时，，则
当时，，，有或，则，
综上可知：的取值范围是或.故选：B.
11．B【详解】由已知可画出可行区域图，如图所示，由目标函数，而目标函数仅在可行区域顶点处取得最小值，且截距为正号，所以直线的位置可由直线绕点顺时针旋转到直线均可满足题意，而，即.故选B.
12．B【详解】设，,由题知：
，，即：.
与椭圆联立.
因为，所以.
将代入，得到：，.
，即：.与椭圆联立，解得：.
因为且，所以.故选：B
13．【详解】
又 ,本题正确结果：
14．【详解】设AB的中点为C,由题得
圆心到直线的距离为，
所以.故答案为
15．【详解】根据题意，取中点为，连接，如下图所示：
因为分别为中点，故可得//，//，
故可得即为与所成的角或其补角.
在中，.
故，故与所成的角为.故答案为：.
16．1010【详解】由题意得，，
当时，，
且当时也成立，
，
当时，，且当时也成立，
，
，，，，
使得成立的最小的n的值为1010.故答案为：1010
（1）；（2）
【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，
.
（2）因为，所以，
整理得，解得．
即当值时，．
（1）证明见解析，；（2）．
【详解】（1）证明：由已知可得，，令得，，
所以（），
所以当时，，整理得：，
化简得：（），
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式得：
（2）因为，所以，
，
则．
由错位相加法得，,
．所以
（1）；（2）人，人，1人；（3）．
【详解】（1）第1组人数， 所以，
第2组人数，所以，
第3组人数，所以，
第4组人数，所以，
第5组人数，所以.
（2）第2,3,4组回答正确的人的比为，所以第2,3,4组每组应各依次抽取人，人，1人.
（3）记抽取的6人中，第2组的记为，第3组的记为，第4组的记为， 则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，他们是：
，，，，，，，，，，，，，，.
其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：，，，，，，，，.故所求概率为.
20．（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：连结，
由图1可得
在图2中
又面PEC
面ABCE面PCE面ABCE
（2）以点为原点，分别以直线为轴，轴，以经过点且垂直于平面的直线为轴建立直角坐标系.
由题意可知，
设面的法向量为
则令得所以
所以直线与面所成角的正弦值为.
21．（1）（2）存在；
【详解】（1）设点的坐标为，，
，，又，，椭圆的方程为.
（2）依题意，设直线的方程为，代入，
得.
设，，则，.
假设存在实数，使得以为直径的圆恒过点，则.
又，，
∴，
即，将，代入，整理得，解得，
即当时，存在实数使得以为直径的圆恒过点.
22．（1）；（2）；（3）证明见解析.
【详解】解：（1）由于??
所以，故得，
点在以线段为直径的圆上，
即圆的标准方程为：；
（2）圆的半径为2，直线截圆所得弦长为，则圆心到直线的距离为.
设直线的方程为：，即.
，解得：..
则直线的方程为：，
当时，得点的坐标为；
（3）当直线斜率不存在时，设其方程为：.
取，由直线与交点的横坐标为6可得：，即此时直线的方程为：；
当直线斜率存在时，设的方程为：.
由得：.
由得：.
设，则.
且：.
直线的方程为：，直线的方程为：，
代入点的横坐标得：.
由于，故有：.
从而：，即：.
即：，
整理得：，解得或.
当时，直线为，过点，舍；
当时，直线为，过定点.综上：直线过定点.